2025届江西省南昌市初中教育集团化联盟数学九年级第一学期期末考试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为( )
A．sinA＝3sinA′ B．sinA＝sinA′ C．3sinA＝sinA′ D．不能确定
2．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为( )

A．(－2，2) B．(－2，4) C．(－2，2) D．(2，2)
3．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点AB的坐标分别为（-1，0），（0， ）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’，则点B的对应点B’的坐标是（    ）

A．（1，0） B．（，） C．（1，） D．（-1，）
6．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，把△EFO放大为原来的2倍，则E点的对应点坐标为（　　）

A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）
C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在一张矩形纸片中，对角线，点分别是和的中点，现将这张纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，若的延长线恰好经过点，则点到对角线的距离为（ ）.

A． B． C． D．
10．的绝对值是（ ）
A． B．2020 C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知锐角α，满足tanα=2，则sinα=_____．
12．若是关于的方程的一个根，则的值为_________________.
13．如图，与中，，，，，AD的长为________.

14．如图,∠MON=90°,直角三角形ABC斜边的端点A,B别在射线OM,ON上滑动,BC=1,∠BAC=30°,连接OC.当AB平分OC时,OC的长为______．

15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为_____．

16．若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值是________.
17．如图，在△ABC和△APQ中，∠PAB=∠QAC，若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC，则这个条件可以是_______．

18．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了_________m．
三、解答题(共66分)
19．（10分）计算：
（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；
（2）cos245°+sin60°tan45°+sin1．
20．（6分）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润（元）最大，最大是多少元？
21．（6分）已知关于的方程，若方程的一个根是–4，求另一个根及的值.
22．（8分）如图，在中，是高.矩形的顶点、分别在边、上，在边上，，，.求矩形的面积.

23．（8分）已知关于x的方程．
求证：不论m为何值，方程总有实数根；
当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
24．（8分）果农周大爷家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，他记录了10天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系如图所示，日销量P（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示

（1）请直接写出p与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在这10天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元．

25．（10分）解一元二次方程

26．（10分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，装载速度（吨/天）与装完货物所需时间（天）之间的函数关系如图．

（1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据相似三角形的性质，可得∠A=∠A′，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【详解】解：由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，得
Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
∠A=∠A′，sinA=sinA′
故选：B．
本题考查了锐角三角函数的定义，利用相似三角形的性质得出∠A=∠A′是解题关键．
2、A
【分析】作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA=OB=4，AC=OC=2，∠BOA=60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC=2，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．
【详解】解：作BC⊥x轴于C，如图，

∵△OAB是边长为4的等边三角形
∴OA=OB=4，AC=OC=1，∠BOA=60°，
∴A点坐标为（-4，0），O点坐标为（0，0），
在Rt△BOC中，BC= ，
∴B点坐标为（-2，2）；
∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，
∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为（-2，2），
故选：A．
本题考查了坐标与图形变化-旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
3、A
【解析】分别画出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断．
【详解】A、主视图和左视图都为矩形的，所以A选项正确；
B、主视图和左视图都为等腰三角形，所以B选项错误；
C、主视图为矩形，左视图为圆，所以C选项错误；
D、主视图是矩形，左视图为三角形，所以D选项错误．
故选：A．
本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．
4、A
【详解】是同弧所对的圆周角和圆心角，，因为圆心角∠BOC=100°，所以圆周角∠BAC=50°
本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答
5、C
【分析】根据A点的坐标，得出OA的长，根据平移的条件得出平移的距离，根据平移的性质进而得出答案.
【详解】∵A（-1,0），∴OA=1, ∵一个直角三角板的直角顶点与原点重合,现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB’,∴平移的距离为1个单位长度，∴则点B的对应点B’的坐标是（1，）.
故答案为 ：C.
此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点.
6、D
【分析】根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为.
【详解】摸到红球的概率=，
故选：D.
此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键.
7、B
【分析】E（﹣4，1）以O为位似中心，按比例尺1：1，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，1）的坐标同时乘以1或﹣1．
【详解】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，1）的坐标同时乘以1或﹣1．
所以点E′的坐标为（8，﹣4）或（﹣8，4）．
故选：B．
本题主要考查根据位似比求对应点的坐标，分情况讨论是解题的关键．
8、A
【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选A．
9、B
【分析】设DH与AC交于点M，易得EG为△CDH的中位线，所以DG=HG，然后证明△ADG≌△AHG，可得AD=AH，∠DAG=∠HAG，可推出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，然后设BH=a，则BC=AD=AH=2a，利用勾股定理建立方程可求出a，然后在Rt△AGM中，求出GM，AG，再求斜边AM上的高即为G到AC的距离.
【详解】如图，设DH与AC交于点M，过G作GN⊥AC于N，

∵E、F分别是CD和AB的中点，
∴EF∥BC
∴EG为△CDH的中位线
∴DG=HG
由折叠的性质可知∠AGH=∠B=90°
∴∠AGD=∠AGH=90°
在△ADG和△AHG中，
∵DG=HG，∠AGD=∠AGH，AG=AG
∴△ADG≌△AHG（SAS）
∴AD=AH，AG=AB，∠DAG=∠HAG
由折叠的性质可知∠HAG=∠BAH，
∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=∠BAD=30°
设BH=a，
在Rt△ABH中，∠BAH=30°
∴AH=2a
∴BC=AD=AH=2a，AB=
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
即
解得
∴DH=2GH=2BH=，AG=AB=
∵CH∥AD
∴△CHM∽△ADM
∴
∴AM=AC=，HM=DH=
∴GM=GH-HM=
在Rt△AGM中，
∴
故选B.
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形与相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是求出∠BAH=30°，再利用勾股定理求出边长.
10、B
【分析】根据绝对值的定义直接解答．
【详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2121|＝2121，
故选：B．
本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是1．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】分析：根据锐角三角函数的定义，可得答案．
详解：如图，由tanα==2，得a=2b，由勾股定理，得：
c==b，sinα===．
故答案为．

点睛：本题考查了锐角三角函数，利用锐角三角函数的定义解题的关键．
12、
【分析】将x=2代入方程，列出含字母a的方程，求a值即可.
【详解】解：∵x=2是方程的一个根，
∴，
解得，a=.
故答案为：.
本题考查方程解的定义，理解定义，方程的解是使等式成立的未知数的值是解答此题的关键.
13、
【分析】先证明△ABC∽△ADB，然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.
【详解】∵，，
∴△ABC∽△ADB，
∴,
∵，，
∴，
∴AD=.
故答案为：.
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
14、．
【分析】取AB中点F，连接FC、FO，根据斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质得到AB垂直平分OC，利用特殊角的三角函数即可求得答案.
【详解】如图，设AB交OC于E，取AB中点F，连接FC、FO，
∵∠MON=∠ACB=90°
∴FC=FO(斜边上的中线等于斜边的一半)，
又AB平分OC，
∴CE=EO，ABOC(三线合一)
在中，BC=1, ∠ABC=90，
∴，
∴
∴
故答案为：

本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，综合性较强，但难度不大，构造合适的辅助线是解题的关键．
15、40°或70°或100°．
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先连结AP，如图，由旋转的性质得OP=OB，则可判断点P、C在以AB为直径的圆上，利用圆周角定理得∠BAP=∠BOP=α，∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，然后分类讨论：当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°；当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，；当CP=CA时，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，再分别解关于α的方程即可．
【详解】连结AP，如图，

∵点O是AB的中点，∴OA=OB，∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴点P、C在以AB为直径的圆上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，
当AP=AC时，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°，解得α=40°；
当PA=PC时，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；
当CP=CA时，∠CAP=∠CPA，即α+20°=70°，解得α=100°，
综上所述，α的值为40°或70°或100°．故答案为40°或70°或100°．
考点：旋转的性质.
16、1
【分析】把x=2代入已知方程求得2a+b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是x=2，
∴4a+2b-8=0，
则2a+b=4，
∴2020+2a+b=2020+(2a+b)=2020+4=1．
故答案是：1．
本题考查了一元二次方程的解定义，以及求代数式的值，解题时，利用了“整体代入”的数学思想．
17、∠P=∠B（答案不唯一）
【分析】要使△APQ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC可知∠PAQ=∠BAC，还需的条件可以是∠B=∠P或∠C=∠Q或．
【详解】解：这个条件为：∠B=∠P
∵∠PAB=∠QAC，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P，
∴△APQ∽△ABC，
故答案为：∠B=∠P或∠C=∠Q或．
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18、1．
【详解】解：如图：

由题意得，BC：AC=3：2．
∴BC：AB=3：3．
∵AB=10，
∴BC=1．
故答案为：1
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

三、解答题(共66分)
19、（1）0；（2） ．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值化简得出答案．
【详解】（1）（﹣1）2017﹣2﹣1+sin30°+（π﹣314）0；
=﹣1﹣++1
=0；
（2）cos245°+sin60°tan45°+sin1
=（）2+×1+（）2
=++
=．
本题考查了实数运算，掌握实数运算是解题的关键．
20、（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价1.5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元．
【分析】(1) 设每次下降百分率为，，得方程，求解即可
(2)根据销售利润=销售量×(售价−−进价)，列出每天的销售利润W(元))与涨价元之间的函数关系式．即可求解．
【详解】解：（1）设每次下降百分率为，根据题意，得
，
解得（不合题意，舍去）
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克涨价元，由题意得：

∵，开口向下，有最大值，
∴当（元）时，（元）
答：每千克水果应涨价1．5元时，商场获得的利润最大，最大利润是6125元．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案
21、1，-2
【解析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.
【详解】
考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识.
22、
【分析】根据相似三角形对应边比例相等性质求出EF,EH的长，继而求出面积.
【详解】解：如图：

∵四边形是矩形，AD交EH于点Q,
∴
∴
∴
设，则
∴解得：.
所以，.
∴
本题考查的知识点主要是相似三角形的性质，利用相似三角形对应边比例相等求出有关线段的长是解题的关键.
23、（1）见解析；（2）.
【解析】计算根的判别式，证明；
因式分解求出原方程的两个根，根据m为整数、两个不相等的正整数根得到m的值．
【详解】，
，
，
，
即，
不论m为何值，方程总有实数根．
，
，，
方程有两个不相等的正整数根，
.
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法解决的关键是用因式分解法求出方程的两个根．
24、（1）p=20x+200(0＜x≤1且x为整数)；（2）y=；（3）在这1天中，第1天销售额达到最大，最大销售额是4元
【分析】（1）从表格中的数据上看，是一次函数，用待定系数法可得p与x的函数关系式；
（2）是分段函数，利用待定系数法可得y与x的函数关系式；
（3）根据销售额=销量×销售单价，列函数关系式，并配方可得结论．
【详解】（1）由表格规律可知：p与x的函数关系是一次函数，
∴设解析式为：p=kx+b，
把(1，220)和(3，260)代入得：，
∴，
∴p=20x+200，

∴p与x的函数关系式为：p=20x+200(0＜x≤1且x为整数)
（2）①当0＜x≤8时，设y与x的解析式为：y=kx+b(k≠0)
把(2，13)和(8，1)代入得：，
解得：，
∴解析式为：yx+14(k≠0)；
②当8＜x≤1时，y=1．
综上所述：y与x(x为整数)的函数关系式为：y；
（3）设销售额为w元，
当0＜x≤8时，w=py=(x+14)(20x+200)=﹣1x2+180x+2800=﹣1(x﹣9)2+361．
∵x是整数且0＜x≤8，
∴当x=8时，w有最大值为：﹣1(8﹣9)2+361=3600，
当8＜x≤1时，w=py=1(20x+200)200x+3．
∵x是整数，200＞0，
∴当8＜x≤1时，w随x的增大而增大，
∴当x=1时，w有最大值为：200×1+3=4．
∵3600＜4，
∴在这1天中，第1天销售额达到最大，最大销售额是4元．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
25、（1）x1＝1，x2＝3，（2）
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求一元二次方程即可．
【详解】（1）

即
∴或
∴
（2）

本题主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法并灵活应用是解题的关键．
26、（1）；（2）80吨
【分析】（1））设y与x之间的函数表达式为y= ，然后根据待定系数法求出解析式，然后根据k确定x的取值范围；
（2）将x=5代入函数解析式求得y的值，即可解答．
【详解】解：（1）由图像可知与成反比例函数设
∵过点，
∴
∴与之间的函数表达式为；
∴自变量的取值范围：
（2）∵当时，
答：平均每天至少要卸80吨货物.
本题考查了反比例函数的应用，弄清题意、确定反比例函数的解析式是解答本题的关键．