2025届北京师大附属实验中学数学九上期末学业水平测试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是 （ ）

A． B． C． D．1
2．如图是由5个完全相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )

A． B． C． D．
3．已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2+5
4．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　）

A． B． C． D．
6．把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）

A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
8．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①④
9．下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷个均匀的骰子，出现点向上 B．人中至少有人的生日相同
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．实数的绝对值是非负数
10．代数式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当a≤x≤a+5时，函数y的最小值为﹣1，则a的取值范围是_______．
12．已知实数满足，且，，则抛物线图象上的一点关于抛物线对称轴对称的点为__________．
13．在一个不透明的布袋中，有红球、白球共30个，除颜色外其它完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红球的频率稳定在40%，则随机从口袋中摸出一个是红球的概率是_____．
14．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 ▲ ．
15．二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为_______________________
16．从这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则点刚好落在第四象限的概率是_．
17．如图，已知等边的边长为4，，且.连结，并延长交于点，则线段的长度为__________.

18．如图，在中，，，，点为边上一点，，将绕点旋转得到（点、、分别与点、、对应），使，边与边交于点，那么的长等于__________.

三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程（2x+1）2=3（2x+1）
20．（6分）若关于的一元二次方程有实数根，
（1）求的取值范围：
（2）如果是符合条件的最小整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值.
21．（6分）解下列方程
（1）；
（2）.
22．（8分）近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注．相关人员对本地区15~65岁年龄段的市民进行了随机调查，并制作了如下相应的统计图．市民对“广场舞”噪音干扰的态度有以下五种：A．没影响 B．影响不大 C．有影响，建议做无声运动 D．影响很大，建议取缔 E．不关心这个问题

根据以上信息解答下列问题：
（1）根据统计图填空： ，A区域所对应的扇形圆心角为 度；
(2)在此次调查中，“不关心这个问题”的有25人，请问一共调查了多少人？
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若本地共有14万市民，依据此次调查结果估计本地市民中会有多少人给出建议？
23．（8分）一个二次函数的图象经过(3，1)，(0，-2)，(-2，6)三点．求这个二次函数的解析式并写出图象的顶点．
24．（8分）为了传承中华优秀传统文化，培养学生自主、团结协作能力，某校推出了以下四个项目供学生选择：.家乡导游；.艺术畅游；.体育世界；.博物旅行．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．学校对某班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解答下列问题：

（1）该班学生总人数是______人；
（2）将条形统计图补充完整，并求项目所在扇形的圆心角的度数；
（3）老师发现报名参加“博物旅行”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些参加博物旅行”的学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率．
25．（10分）问题发现：
（1）如图1，内接于半径为4的，若，则_______；

问题探究：
（2）如图2，四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值；
解决问题
（3）如图3，一块空地由三条直路（线段、AB、）和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.
26．（10分）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】本题考查概率的计算和中心对称图形的概念,根据中心对称图形的概念可以判定①③④是中心对称图形,4个图形任取一个是中心对称的图形的概率为P=,因此本题正确选项是C.
2、B
【分析】主视图就是从正面看，根据横竖正方形的个数可以得到答案.
【详解】主视图就是从正面看，视图有2层，一层3个正方形，二层左侧一个正方形.
故选B
本题考核知识点：三视图.解题关键点：理解三视图意义.
3、A
【解析】结合向左平移的法则，即可得到答案.
【详解】解：将抛物线y＝x2＋3向左平移2个单位可得y＝(x＋2)2＋3，
故选A.
此类题目主要考查二次函数图象的平移规律，解题的关键是要搞清已知函数解析式确定平移后的函数解析式，还是已知平移后的解析式求原函数解析式，然后根据图象平移规律“左加右减、上加下减“进行解答.
4、C
【分析】根据一元二次方程的定义依次判断后即可解答.
【详解】选项A，是一元一次方程，不是一元二次方程；
选项B，是二元二次方程，不是一元二次方程；
选项C，是一元二次方程；
选项D， 是分式方程，不是一元二次方程.
故选C.
本题考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程是解决问题的关键.
5、A
【解析】试题分析：S△AEF=AE×AF=，S△DEG=DG×DE=×1×（3﹣x）=，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG==，则y=4×（）=，∵AE＜AD，∴x＜3，综上可得：（0＜x＜3）．故选A．
考点：动点问题的函数图象；动点型．
6、D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

∵共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况，
∴从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：；故选：D．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
7、D
【解析】反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y1．故选D．
8、D
【解析】试题解析：∵AE=AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠AEP=90°﹣30°=60°，
∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，
∴∠EFB=90°﹣60°=30°，
∴EF=2BE，故①正确；
∵BE=PE，
∴EF=2PE，
∵EF＞PF，
∴PF＜2PE，故②错误；
由翻折可知EF⊥PB，
∴∠EBQ=∠EFB=30°，
∴BE=2EQ，EF=2BE，
∴FQ=3EQ，故③错误；
由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，
∴∠BFP=30°+30°=60°，
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，
∴∠PBF=∠PFB=60°，
∴△PBF是等边三角形，故④正确；
综上所述，结论正确的是①④．
故选D．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．
9、D
【分析】根据概率、平行线的性质、负数的性质对各选项进行判断．
【详解】A. 抛掷个均匀的骰子，出现点向上的概率为 ，错误．
B.367人中至少有人的生日相同，错误．
C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误．
D. 实数的绝对值是非负数，正确．
故答案为：D．
本题考查了必然事件的性质以及判定，掌握概率、平行线的性质、负数的性质是解题的关键．
10、B
【分析】根据二次根式和分式成立的条件得到关于x的不等式，求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得．
故选：B
本题考查了代数式有意义的条件，一般情况下，若代数式有意义，则分式的分母不等于1，二次根式被开方数大于等于1．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、﹣3≤a≤1
【分析】求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得．
【详解】解：∵二次函数y＝x1﹣4x+3＝（x﹣1）1﹣1，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＜1＜a+5时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝1时有最小值﹣1，
当a≥1时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a时有最小值﹣1，
∴a1﹣4a+3＝﹣1，
解得a＝1，
当a+5≤1时，则在a≤x≤a+5范围内，x＝a+5时有最小值﹣1，
∴（a+5）1﹣4（a+5）+3＝﹣1，
解得a＝﹣3，
∴a的取值范围是﹣3≤a≤1，
故答案为：﹣3≤a≤1．
本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12、
【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.
【详解】解：∵，，
∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线上，
∴抛物线的对称轴是直线：x=1，
∴点关于直线x=1对称的点为：（4，4）.
故答案为：（4，4）.
本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，根据题意判断出点（－1，0）与（3，0）在抛物线上、熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键.
13、1．
【分析】根据题意得出摸出红球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．
【详解】∵小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红球的频率稳定在40%，
∴口袋中红色球的个数可能是30×40%＝1个．
故答案为：1．
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14、．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0列出不等式求解.
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，得.
本题考查二次根式有意义的条件，牢记被开方数必须是非负数.
15、3
【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．
【详解】根据题意可得：A点的坐标为(1,0)，B点的坐标为(3,0)，C点的坐标为(0,3)，则AB=2，
所以三角形的面积=2×3÷2=3.
考点：二次函数与x轴、y轴的交点.
16、
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与P点刚好落在第四象限的情况即可求出问题答案．
【详解】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，其中（1，−2），（3，−2）点落在第四象限，
∴P点刚好落在第四象限的概率为，
故答案为：．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟记各象限内点的符号特点是解题关键．
17、1
【分析】作CF⊥AB，根据等边三角形的性质求出CF，再由BD⊥AB，由CF∥BD，得到△BDE∽△FCE，设BE为x，再根据对应线段成比例即可求解.
【详解作CF⊥AB，垂足为F，
∵△ABC为等边三角形，
∴AF=AB=2,
∴CF=
又∵BD⊥AB，∴CF∥BD，
∴△BDE∽△FCE，设BE为x，
∴,即
解得x=1
故填：1.

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是根据题意构造相似三角形进行求解.
18、
【分析】如图，作PH⊥AB于H．利用相似三角形的性质求出PH，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．
【详解】如图，作PH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=，
∴=，
∴AB=13，BC==12，
∵PC=3，
∴PB=9，
∵∠BPH∽△BAC
∴ ，
∴，
∴PH=，
∵AB∥B′C′，
∴∠HGC′=∠C′=∠PHG=90°，
∴四边形PHGC′是矩形，
∴CG′=PH=，
∴A′G=5-= ，
故答案为．
此题考查旋转变换，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

三、解答题(共66分)
19、x1=-，x2=1
【解析】试题分析：分解因式得出（2x+1）（2x+1﹣3）=0，推出方程2x+1=0，2x+1﹣3=0，求出方程的解即可．
试题解析：解：整理得：（2x+1）2－3（2x+1）=0，分解因式得：（2x+1）（2x+1﹣3）=0，即2x+1=02x+1﹣3=0，解得：x1=﹣，x2=1．
点睛：本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解答此题的关键是把一元二次方程转化成解一元一次方程，题目比较典型，难度不大．
20、（1）且；（2）.
【分析】（1）根据跟的判别式进行计算即可；
（2）先求出最小整数m，然后解出的解，再分情况进行判断.
【详解】解：（1）化为一般式：方程有实数根
∴
解得：且，
（2）由（1）且，若是最小整数
∴
方程变形为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根
①当时，，∴
②当时，，∴，（舍去，∵）
综上所示，
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，熟练掌握相关内容是解题的关键.
21、（1），；（2），．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先变形为（2x-1）2-（x-3）2=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1），
或，
所以，；
（2），
，
或，
所以，．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
22、（1）32，1；（2）500人；（3）补图见解析；（4）5.88万人．
【解析】分析：分析：（1）用1减去A，D，B，E的百分比即可，运用A的百分比乘360°即可．（2）用不关心的人数除以对应的百分比可得．（3）求出25-35岁的人数再绘图．（4）用14万市民乘C与D的百分比的和求解．
本题解析：（1）m%=1-33%-20%-5%-10%=32%，所以m=32，
A区域所对应的扇形圆心角为：360°×20%=1°，
故答案为32，1．
（2）一共调查的人数为：25÷5%=500(人).
（3）(3)500×(32%+10%)=210(人)
25−35岁的人数为：210−10−30−40−70=60(人)

（4）14×(32%+10%)=5.88(万人)
答：估计本地市民中会有5.88万人给出建议．
23、二次函数为，顶点．
【分析】先设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求a，b，c的值，得到二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数的图象经过，可设所求二次函数为，
由已知，函数的图象不经过，两点，可得关于、的二元一次方程组
解这个方程，得
∴二次函数为：；
化为顶点式得：
∴顶点为：．
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法以及顶点公式求法等知识，难度不大．
24、（1）50；（2）作图见解析，；（3．
【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）用总人数减去其它项目的人数求出C项目的人数，然后补全条形统计图；用360乘以B项目所占的百分比即可求出B项目所在扇形的圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）调查的总人数为(人)．
故答案为：50.．
（2）项目的人数为(人)．
补全条形统计图如图，

项目所在扇形的圆心角的度数为．
（3）画树状图如图，
，
∴．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
25、（1）；（2）四边形ABCD的面积最大值是；（3）存在，其最大值为.
【分析】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，利用求出∠AOH=∠AOB=，根据OA=4，利用余弦公式求出AH，即可得到AB的长；
（2）连接AC，由得出AC=，再根据四边形的面积= ，当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，得到BD是直径，再将AC、BD的值代入求出四边形面积的最大值即可；
（3）先证明△ADM≌△BMC,得到△CDM是等边三角形，求得等边三角形的边长CD，再根据完全平方公式的关系得出PD=PC时PDPC最大，根据CD、∠DPC求出PD，即可得到四边形周长的最大值.
【详解】（1）连接OA、OB，作OH⊥AB于H，
∵，
∴∠AOB=120.
∵OH⊥AB，
∴∠AOH=∠AOB=，AH=BH=AB，
∵OA=4，
∴AH=，
∴AB=2AH=.
故答案为：.

（2）∵∠ABC=120,四边形ABCD内接于，
∴∠ADC=60，
∵的半径为6，
∴由（1）得AC=,
如图，连接AC，作DH⊥AC,BM⊥AC,
∴四边形的面积= ,
当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，连接BD，则BD是的直径，

∴BD=2OA=12，BD⊥AC，
∴四边形的面积=.
∴四边形ABCD的面积最大值是
（3）存在；
∵千米，千米，，
∴△ADM≌△BMC,
∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,
∵∠BCM+∠BMC=180-∠B=120，
∴∠AMD+∠BMC=120，
∴∠DMC=60，
∴△CDM是等边三角形，
∴C、D、M三点共圆，
∵点P在弧CD上,
∴C、D、M、P四点共圆，
∴∠DPC=180-∠DMC=120，
∵弧的半径为1千米，∠DMC=60，
∴CD=,
∵,
∴,
∴,
∴当PD=PC时，PD+PC最大，此时点P在弧CD的中点，交DC于H ,
在Rt△DPH中，∠DHP=90,∠DPH60，DH=DC=,
∴，
∴四边形的周长最大值=DM+CM+DP+CP=.
此题是一道综合题，考查圆的性质，垂径定理，三角函数，三角形全等的判定及性质，动点最大值等知识点.（1）中问题发现的结论应用很主要，理解题意在（2）、（3）中应用解题，（3）的PD+PC最大值的确定是难点，注意与所学知识的结合才能更好的解题.
26、（1）；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）根据题意得，，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，，
，
∴当时，w随x的增大而增大，
当时，，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．