江苏省南京市秦淮区四校联考2024-2025学年数学九上期末达标检测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在-2,-1,0,1这四个数中，最小的数是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．已知关于x的函数y＝x2＋2mx＋1，若x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥－1 D．m≤－1
3．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择：
方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；
方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元（第6个月末发薪水10000元）；
但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（ ）
A．方案一 B．方案二
C．两种方案一样 D．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二
5．对于方程，下列说法正确的是（　 　）
A．一次项系数为3 B．一次项系数为-3
C．常数项是3 D．方程的解为
6．4的平方根是（ ）
A．2 B．–2 C．±2 D．±
7．一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． C．10或11 D．不能确定
8．某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是(　　)

A．轴对称 B．平移 C．绕某点旋转 D．先平移再轴对称
10．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，若∠ABO＝35°，则∠C的度数为（　　）

A．70° B．65° C．55° D．45°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．

12．反比例函数的图象在一、三象限，函数图象上有两点A(，y1，)、B(5，y2)，则y1与y2，的大小关系是__________
13．已知，=________．
14．如图，已知反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=________________．
15．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为____．

16．如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为___________．

17．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝_____度．

18．两个相似多边形的一组对应边分别为2cm和3cm，那么对应的这两个多边形的面积比是__________
三、解答题(共66分)
19．（10分）《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根高丈的标杆和，两竿之间的距步，成一线，从处退行步到，人的眼睛贴着地面观察点，三点成一线；从处退行步到，从观察点，三点也成一-线．试计算山峰的高度及的长． (这里步尺，丈尺，结果用丈表示) ．怎样利用相似三角形求得线段及的长呢？请你试一试!

20．（6分）已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求m的值.
21．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．

22．（8分）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
23．（8分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，．

（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已如函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
24．（8分）某玩具商店以每件60元为成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件.
(1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？
25．（10分）2018年12月1日，贵阳地铁一号线正式开通，标志着贵阳中心城区正式步入地铁时代，为市民的出行带来了便捷，如图是贵阳地铁一号线路图(部分)，菁菁与琪琪随机从这几个站购票出发.
（1）菁菁正好选择沙冲路站出发的概率为
（2）用列表或画树状图的方法，求菁菁与琪琪出发的站恰好相邻的概率.

26．（10分）如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用表示） ．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】根据正数大于0，负数小于0，负数绝对值越大值越小即可求解.
【详解】解：在、、、这四个数中，
大小顺序为：，
所以最小的数是.
故选A.
此题考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用正负数的性质及数轴可以解决问题.
2、C
【解析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵函数的对称轴为x=，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴-m≤1，即m≥-1
故选：C．
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3、A
【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．
【详解】解：原方程可化为：，
，，，
，
方程由两个不相等的实数根．
故选A．
本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
4、B
【分析】根据题意分别计算出方案一和方案二的第n年的年收入，进行大小比较，从而得出选项.
【详解】解：第n年：
方案一： 12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元，
第一年：20000元
第二年：20500元
第三年：21000元
第n年：20000+500（n-1）=500n+19500元，
方案二：6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元，
第一年：20125元
第二年：20375元
第三年：20625元
第n年：10000+250（n-1）+10000+250（n-1）+125=500n+19625元，
由此可以看出方案二年收入永远比方案一，故选方案二更划算；
故选B.
本题考查方案选择，解题关键是准确理解题意根据题意列式比较方案间的优劣进行分析.
5、B
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再求出其一次项系数、二次项系数及常数项即可．
【详解】∵原方程可化为2x2−3x＝0，
∴一次项系数为−3，二次项系数为2，常数项为0，方程的解为x=0或x=，
故选：B．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项是解答此题的关键．
6、C
【分析】根据正数的平方根的求解方法求解即可求得答案．
【详解】∵（±1）1=4，
∴4的平方根是±1．
故选：C．
7、B
【分析】直接利用因式分解法解方程，进而利用三角形三边关系得出答案．
【详解】∵，
∴，
解得：，
∵一个三角形的两边长为3和5，
∴第三边长的取值范围是：，即，
则第三边长为：3，
∴这个三角形的周长为：．
故选：B．
本题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边关系是解题关键．
8、C
【详解】由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，然后根据两边长均不小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C．
9、A
【分析】根据对称，平移和旋转的定义，结合等边三角形的性质分析即可．
【详解】解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，
故选：A．
本题考查了图形的变换：旋转、平移和对称，等边三角形的性质，掌握图形的变换是解题的关键．
10、C
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，
∴∠BAO=∠ABO=35°，
∴∠O=180°-35°×2=110°，
∴∠C=∠O=55°．
故选：C．
本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、70
【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°．
又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°．
12、
【分析】根据反比例函数的性质，双曲线的两支分别位于第一、第三象限时k>0，在每一象限内y随x的增大而减小，可得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，
∴在每一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：.
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
13、
【分析】先去分母，然后移项合并，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法.
14、-1
【解析】试题解析：设点A的坐标为(m，n)，因为点A在y=的图象上，所以，有mn＝k，△ABO的面积为＝1，∴=1，∴=1，∴k=±1，由函数图象位于第二、四象限知k<0，∴k=-1．
考点：反比例外函数k的几何意义.
15、1
【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ=6、MQ=8，
∴OM=10，
又∵MP′=4，
∴OP′=6，
∴AB=2OP′=1，
故答案为：1．
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
16、

【分析】根据从反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段和坐标轴所围成的矩形的面积是，且保持不变，进行解答即可．
【详解】由题意得，
∵反比例函数图象在第二象限
∴
∴反比例函数的解析式为y＝－．
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数k的几何意义，即可完成.
17、1
【分析】由题意先根据旋转的性质得到∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，则可判断△CAA′为等腰直角三角形，所以∠CAA′＝45°，然后利用三角形外角性质计算出∠CB′A′，从而得到∠B的度数．
【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′＝90°，CA＝CA′，∠B＝∠CB′A′，
∴△CAA′为等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∵∠CB′A′＝∠B′AC+∠1＝45°+20°＝1°，
∴∠B＝1°．
故答案为：1．
本题考查旋转的性质，注意掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
18、4：9
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可．
【详解】解：因为两个三角形相似，
∴较小三角形与较大三角形的面积比为（ ）2= ，
故答案为：.
此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、BH=18450丈，AH=753丈．
【分析】根据“平行线法”证得△BCF∽△HAF、△DEG∽△HAG，然后由相似三角形的对应边成比例即可求解．
【详解】∵AH∥BC，
∴△BCF∽△HAF，
∴，
又∵DE∥AH，
∴△DEG∽△HAG，
∴，
又∵BC=DE，
∴，
即，
∴BH=30750(步)，30750步=18450丈，
BH=18450丈，
又∵，步，
∴AH=(步)，1255步=753丈，
AH=753丈．
本题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．
20、m1=,m2=.
【解析】根据一元二次方程有两个相等实数根得△=0,再表示出含m的一元二次方程,解方程即可.
【详解】解：∵原方程有两个相等的实数根，即△=0,
△=4－4（）=0,整理得：,
求根公式法解得：m=,
∴m1=,m2=.
本题考查了含参一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉求根公式和根的判别式是解题关键.
21、详见解析．
【分析】△DEH与△ABC均为直角三角形，可利用等角的余角相等再求出一组锐角对应相等即可．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠D+∠DHE＝∠B+∠BHF＝90°
而∠BHF＝∠DHE，
∴∠D＝∠B，
又∵∠DEH＝∠C＝90°，
∴△DEH∽△BCA．
此题考查的是相似三角形的判定和互余的性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和等角的余角相等是解决此题的关键．
22、 (1)见解析；（1）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）c1=a1+ab+b1
【解析】试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（1）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠1，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠1=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（1）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：

∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c1=（a+b）1+（b）1，
∴c1=a1+ab+b1．

考点：1.全等三角形的判定与性质；1.勾股定理.
23、（1）；（2）函数图象见解析，性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）不等式的解集为或
【分析】（1）根据待定系数法进行求解函数的表达式；
（2）结合（1），将函数的表达式写成分段形式，然后进行画图，进而求解；
（3）结合（2）中的函数图象直接写出不等式的解集．
【详解】解：（1）∵当时，，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴该函数的图象如图所示

性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）由函数图象可知，写出不等式的解集为或．
本题考查待定系数法求函数的表达式，反比例函数的图象与性质，一元一次不等式与一次函数的关系，学会画函数的图象与运用数形结合的思想是解题的关键．
24、 (1)每件玩具的售价为80元；(2)每件玩具的售价为85元时，每天盈利最多，最多盈利1250元.
【分析】（1）根据题意，可以得到关于x的一元二次方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：(1)设每件玩具的售价为元，
，解得：，，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴，
答：每件玩具的售价为80元；
(2)设每件玩具的售价为元时，利润为元，
，
即当时，有最大值为1250元，
答：当每件玩具的售价为85元时，商店每天盈利最多，最多盈利1250元.
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
25、（1）；（2）
【分析】（1）根据概率公式，即可求解；
（2）记火车站为A，沙冲路为B，望城坡为C，新村为D，然后采用列表法列出所有可能的情况，找出满足条件的情况，即可得出其概率.
【详解】（1）P（选择沙冲路站出发）=；
（2）记火车站为A，沙冲路为B，望城坡为C，新村为D
列表如下：

由图可知共有16种等可能情况，满足条件的情况是6种
P（菁菁与琪琪出发的站恰好相邻）=
此题主要考查概率的求解，熟练掌握，即可解题.
26、扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44．
【解析】试题分析：设扇形OAB的圆心角为n°，然后根据弧长AB等于纸杯上开口圆周长和弧长CD等于纸杯下底面圆周长，列关于n和OF的方程组，解方程组可得出n和OF的值，然后根据纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积，计算即可．
试题解析： 设扇形OAB的圆心角为n°
弧长AB等于纸杯上开口圆周长：
弧长CD等于纸杯下底面圆周长：
可列方程组，解得
所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm
纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即
S纸杯表面积
=
=
考点：锥的侧面展开图、弧长公式、扇形面积公式．