福建省龙岩市长汀县2025届数学九年级第一学期期末预测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分
1．下列事件中，必然事件是（ ）
A．抛掷个均匀的骰子，出现点向上 B．人中至少有人的生日相同
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．实数的绝对值是非负数
2．如图，在△中，∥，如果，，，那么的值为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
4．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
5．已知反比例函数的图象经过点，小良说了四句话，其中正确的是（ ）
A．当时， B．函数的图象只在第一象限
C．随的增大而增大 D．点不在此函数的图象上
6．在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，而它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（ ）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上 C．两根不平行 D．两根平行倒在地上
7．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点.如，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（　　）

A．（-3，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
9．方程x(x-1)＝2(x-1)2的解为（ ）
A．1 B．2 C．1和2 D．1和-2
10．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B，与反比例函数（k＞0）在第一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C，若，则△OEF与△CEF的面积之比是（　　）

A．2：1 B．3：1 C．2：3 D．3：2
11．已知抛物线（其中是常数，）的顶点坐标为．有下列结论：
①若，则；
②若点与在该抛物线上，当时，则；
③关于的一元二次方程有实数解．
其中正确结论的个数是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程x2﹣6x+8=0的两个根，则这个△ABC的周长是_____．
14．反比例函数（）的图象如图所示，点为图象上的一点，过点作轴，轴，若四边形的面积为4，则的值为______.

15．已知二次函数y＝ax2+3ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣4，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是___．
16．小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是_________．

17．抛物线y=2x2﹣4x+1的对称轴为直线__．
18．如图，在△ABC中，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针旋转30°得到△FGC，则图中阴影部分的面积为_____．

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．

20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．

（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．
21．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使.求证：四边形EBFC是菱形.

22．（10分）如图，外接，点在直径的延长线上，

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径
23．（10分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少.
24．（10分）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)．

(1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度；
(2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．

25．（12分）已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（-1，0），与y轴交于点C，求直线BC与这个二次函数的解析式；
（3）在直线BC上方的抛物线上有一动点D，DEx轴于E点，交BC于F，当DF最大时，求点D的坐标，并写出DF最大值．

26．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点.

（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）当，，求的长.
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据概率、平行线的性质、负数的性质对各选项进行判断．
【详解】A. 抛掷个均匀的骰子，出现点向上的概率为 ，错误．
B.367人中至少有人的生日相同，错误．
C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误．
D. 实数的绝对值是非负数，正确．
故答案为：D．
本题考查了必然事件的性质以及判定，掌握概率、平行线的性质、负数的性质是解题的关键．
2、B
【分析】由平行线分线段成比例可得到，从而AC的长度可求.
【详解】∵∥
∴
∴
∴
故选B
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.
3、C
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
【详解】解：如图，连接OC、OD．

∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD=DA=4，
∴弧AD=弧CD=弧BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4，
∴⊙O的周长=2×4π=8π．
故选：C．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等．．
4、C
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则可对①②进行判断；利用判别式的意义可对③进行判断；利用平方差公式得到（a+b）2-b2=（a+b-b）（a+b+b），然后把b=-2a代入可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴b=-2a＜0，所以①正确；
∴b+2a=0，所以②错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，所以③正确；
∵（a+b）2-b2=（a+b-b）（a+b+b）=a（a+2b）=a（a-4a）=-3a2＜0，
∴（a+b）2＜b2，所以④正确．
故选：C．
考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5、D
【分析】利用待定系数法求出k，即可根据反比例函数的性质进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（3，2），
∴k=2×3=6，
∴，
∴图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故A，B，C错误，
∴点不在此函数的图象上，选项D正确；
故选：D．
本题考查反比例函数图象上的点的特征，教育的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6、C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在变，依此进行分析.
【详解】在同一时刻，两根竿子置于阳光下，但看到他们的影长相等，那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，而竿子长度不等，故两根竿子不平行，故答案选择C.
本题考查投影的相关知识，解决此题的关键是掌握平行投影的特点.
7、C
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= ∠AOB，可求得答案．
【详解】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：

由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
8、A
【解析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解．
【详解】连接AQ，AP．

根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）．
故选A．
此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．
9、C
【分析】利用因式分解法求解可得．
【详解】x（x-1）=2（x-1）2，
x（x-1）-2（x-1）2=0，
（x-1）（x-2x+2）=0，即（x-1）（-x+2）=0，
∴x-1=0或-x+2=0，
解得：x=1或x=2，
故选：C．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10、A
【分析】根据E，F都在反比例函数的图象上设出E，F的坐标，进而分别得出△CEF的面积以及△OEF的面积，然后即可得出答案．
【详解】解：设△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，过点F作FG⊥BO于点G，EH⊥AO于点H，

∴GF∥MC，
∴＝，
∵ME•EH＝FN•GF，
∴＝＝，
设E点坐标为：（x，），则F点坐标为：（3x，），
∴S△CEF＝（3x﹣x）（﹣）＝，
∵S△OEF＝S梯形EHNF+S△EOH﹣S△FON＝S梯形EHNF＝（+）（3x﹣x）＝k
∴＝＝．
故选：A．
此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出E，F的点坐标是解题关键，有一定难度，要求同学们能将所学的知识融会贯通．
11、C
【分析】利用二次函数的性质一一进行判断即可得出答案.
【详解】解：①抛物线（其中是常数，）顶点坐标为，
，
，

，
∴c＞＞0

．
故①小题结论正确；
②顶点坐标为，
点关于抛物线的对称轴的对称点为
点与在该抛物线上，
，
，
，
当时，随的增大而增大，

故此小题结论正确；
③把顶点坐标代入抛物线中，得，
一元二次方程中，

，
关于的一元二次方程无实数解．
故此小题错误．
故选：C．
本题是一道关于二次函数的综合性题目，具有一定的难度，需要学生熟练掌握二次函数的性质并能够熟练运用.
12、A
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】过点F作FG⊥AB于点G，

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的长为．故选A．
本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、11
【详解】∵，
∴（x－2）（x－4）=1．
∴x－2=1或x－4=1，即x1=2，x2=4.
∵等腰△ABC的腰长与底边长分别是方程的两个根，
∴当底边长和腰长分别为2和4时，满足三角形三边关系，此时△ABC的周长为：2+4+4=11；
当底边长和腰长分别为4和2时，由于2+2=4，不满足三角形三边关系，△ABC不存在.
∴△ABC的周长=11.
故答案是：11
14、4
【分析】根据反比例函数的性质得出，再结合图象即可得出答案.
【详解】表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积

反比例函数（）的图象在第一象限

故答案为：4.
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数中，的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积.
15、（1，0）．
【分析】先根据二次函数解析式求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性即可求出它与x轴的另一个交点的坐标.
【详解】二次函数y＝ax2+3ax+c的对称轴为：
x＝﹣＝﹣，
∵二次函数y＝ax2+3ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣4，0），
∴它与x轴的另一个交点坐标与（﹣4，0）关于直线x＝﹣对称，其坐标是（1，0）．
故答案是：（1，0）．
此题考查的是已知二次函数图像与x轴的一个交点坐标，求与x轴的另一个交点坐标，掌握抛物线是轴对称图形和抛物线的对称轴公式是解决此题的关键.
16、（3.76，0）
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC=1.1，
∴DE=3.76，
∴E（3.76，0）．
故答案为：（3.76，0）．
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
17、x=1
【详解】解：∵y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x=1，
故答案为：x=1．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
18、
【解析】根据旋转的性质可知△FGC的面积=△ABC的面积，观察图形可知阴影部分的面积就是扇形CAF的面积．
【详解】解：由题意得，△FGC的面积=△ABC的面积，∠ACF=30º，AC=4，
由图形可知，阴影部分的面积=△FGC的面积+扇形CAF的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积=扇形CAF的面积=.
故答案为：.
本题考查了旋转的性质，不规则图形及扇形的面积计算.

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证；
（3）易知是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.
【详解】（1）连接AD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．

又∵DC=BD，
AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC．
（2）连接OD．

∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（3）由（1）得

是等边三角形

在中，

根据勾股定理得

本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.
20、（1）见解析；（2）MF＝.
【分析】（1）如图，连接OE，OF，由垂径定理可知，根据圆周角定理可求出∠DOF=60°，根据三角形内角和定理可得∠OFD=90°，即可得FD为⊙O的切线；（2）如图，连接OM，由中位线的性质可得OM//AE，根据平行线的性质可得∠MOB＝∠A＝30°，根据垂径定理可得OM⊥BE，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，利用勾股定理可求出OM的长，根据三角形内角和可得∠DOF=60°，即可求出∠MOF=90°，利用勾股定理求出MF的长即可.
【详解】（1）如图，连接OE，OF，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠DOF＝∠DOE，
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OFD＝90°，
∴OF⊥FD．
∴FD为⊙O的切线.

（2）如图，连接OM，MF，
∵O是AB中点，M是BE中点，
∴OM∥AE．
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵OM过圆心，M是BE中点，
∴OM⊥BE．
∴MB=OB=1，
∴OM==，
∵∠OFD=90°，∠D=30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠MOF＝∠DOF+∠MOB=90°，
∴MF＝＝＝．

本题考查切线的判定与性质、垂径定理、三角形中位线的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题关键.
21、见解析.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得BH=HC，结合已知条件，从而得出四边形EBFC是平行四边形，再根据得出四边形EBFC是菱形．
【详解】证明：，

，
∴四边形EBFC是平行四边形
又，
∴四边形EBFC是菱形.
本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
22、（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）根据AB是直径证得∠CAD+∠ABD=90°，根据半径相等及证得∠ODB+∠BDC=90°，即可得到结论；
（2）利用证明△ACD∽△DCB，求出AC，即可得到答案.
【详解】（1）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠ABD=90°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∵，
∴∠ODB+∠BDC=90°，即OD⊥CD，
∴是的切线；

（2）∵，∠C=∠C，
∴△ACD∽△DCB，
∴，
∵，
∴AC=4.5，
∴的半径=.
此题考查切线的判定定理，相似三角形的判定及性质定理，圆周角定理，正确理解题意是解题的关键.
23、（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是1；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润；
（2）根据配方法，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）w＝（x﹣30）•y
＝（﹣x+60）（x﹣30）
＝﹣x2+30x+60x﹣1800
＝﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+1，
∵﹣1＜0，
当x＝45时，w有最大值，最大值是1．
（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，
解得x1＝40，x2＝50，
∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
24、 (1) 20米；(2) 25米．
【分析】（1）∠BDC=45°，可得DC=BC=20m，；
（2）设DC=BC=xm，可得tan50°=≈1.2，解得x的值即可得建筑物BC的高．
【详解】解：（1）∵∠BDC=45°，
∴DC=BC=20m，
答：建筑物BC的高度为20m；
（2）设DC=BC=xm，
根据题意可得：tan50°=≈1.2，
解得：x=25，
答：建筑物BC的高度为25m．
本题考查解直角三角形的应用．
25、（1）m>-1；（2）y=-x+3，y=-x2+2x+3；（3）D（），DF=
【分析】（1）利用判别式解答即可；
（2）将点A的坐标代入抛物线y=-x2+2x+m即可求出解析式，由抛物线的解析式求出点B（3,0），设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b中即可求出直线BC的解析式；
（3）由点D在抛物线上，设坐标为（x，-x2+2x+3），F在直线AB上，坐标为（x，-x+3） ，得到DF=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x=，利用顶点式解析式的性质解答即可.
【详解】（1）当抛物线与x轴有两个交点时，∆>0，即4+4m>0，
∴m>-1；
（2）∵点A(-1，0)在抛物线y=-x2+2x+m上，
∴-1-2+m=0，
∴m=3，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，且C(0，3)，
当x=0时，-x2+2x+3=0，
解得x=-1，或x=3
∴B（3,0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b中，得:
，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3;
（3）点D在抛物线上，设坐标为（x，-x2+2x+3），F在直线AB上，坐标为（x，-x+3） ，
∴DF=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x=，
∴当时，DF最大，为，此时D的坐标为（）.
此题考查了利用判别式已知抛物线与坐标轴的交点个数求未知数的取值范围，利用待定系数法求函数解析式，利用顶点式解析式的性质求出线段的最值.
26、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）5.
【分析】（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP＝∠EQC，则可证得△BPE∽△CEQ；
（2）只要证明△BPE∽△EPQ，可得∠BEP＝∠EQP，且∠BEP＝∠CQE，可得结论；
（3）由相似三角形的性质可求BE＝3＝EC，可求AP＝4，AQ＝3，即可求PQ的长．
【详解】解：（1）和是两个等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，

（2），
,
，
，
,
，
，且,
，
平分
（3）
，且，，
，

，
，
，
，，
.
本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．