龙岩市重点中学2024-2025学年数学九上期末统考试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，已知点是第一象限内横坐标为2的一个定点，轴于点，交直线于点，若点是线段上的一个动点，，，点在线段上运动时，点不变，点随之运动，当点从点运动到点时，则点运动的路径长是（ ）

A． B． C．2 D．
2．如图，PA与 PB 分别与圆O相切与A、B 两点，∠P=80o ，则∠C =（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60°
3．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121
4．一元二次方程的解是（ ）
A．5或0 B． 或0 C． D．0
5．如图，点的坐标为，点，分别在轴，轴的正半轴上运动，且，下列结论：
①
②当时四边形是正方形
③四边形的面积和周长都是定值
④连接，，则，其中正确的有（ ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
6．如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．24
7．为了解圭峰会城九年级女生身高情况，随机抽取了圭峰会城九年级100名女生，她们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm）
x＜150
150≤x＜155
155≤x＜160
160≤x＜165
x≥165
频数
2
23
52
18
5
根据以上结果，随机抽查圭峰会城九年级1名女生，身高不低于155cm的概率是（ ）
A．0.25 B．0.52 C．0.70 D．0.75
8．下列各式与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为（　　）

A． B． C． D．5
10．一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象经过点（﹣2，1），则k的值是（　　）
A．﹣1 B．2 C．1 D．0
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，则a=______.

12．若为一元二次方程的一个根，则__________．
13．如图，在中，是斜边的垂直平分线，分别交于点，若，则______．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．

15．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度．
16．如图所示，已知：点，，．在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的周长等于 ．

17．一元二次方程的根的判别式的值为____.
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC边上的中点，则△DEC的周长与△ABC的周长比等于_______．

三、解答题(共66分)
19．（10分）在一次篮球拓展课上，，，三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：每一次传球由三人中的一位将球随机地传给另外两人中的某一人．例如：第一次由传球，则将球随机地传给，两人中的某一人．
（1）若第一次由传球，求两次传球后，球恰好回到手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）
（2）从，，三人中随机选择一人开始进行传球，求两次传球后，球恰好在手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）
20．（6分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，过点D作DE⊥BD，交AB于点E，若BD＝10，tan∠ABD＝，cos∠DBC＝，求DC和AB的长．

21．（6分）如图，点B，E，C，F 在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：∠A=∠D．

22．（8分）（1）解方程：
（2）如图已知⊙的直径，弦与弦平行，它们之间的距离为7，且，求弦的长．

23．（8分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90º，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．

(1)求证:AE=CE ．
(2)若EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直径．
(3)若EF与⊙O相切于点E，点C在线段FD上，且CF:CD=2:1，求sin∠CAB ．
25．（10分）如图，反比例函数的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为,射线与轴交于点,与轴交于点轴， 垂足为．
求反比例函数的解析式;
求的长
在轴上是否存在点，使得与相似，若存在，请求出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．

26．（10分）如图1.正方形的边长为，点在上，且.

如图2.将线段绕点逆时针旋转，设旋转角为，并以为边作正方形，连接试问随着线段的旋转，与有怎样的数量关系？说明理由；

如图3，在的条件下，若点恰好落在线段上，求点走过的路径长(保留).

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据题意利用相似三角形可以证明线段就是点运动的路径（或轨迹），又利用∽求出线段的长度，即点B运动的路径长．
【详解】解：由题意可知，，点在直线上，轴于点，
则为顶角30度直角三角形，.
如下图所示，设动点在点（起点）时，点的位置为，动点在点（终点）时，点的位置为，连接，
∵，
∴
又∵，
∴（此处也可用30°角的）
∴∽，且相似比为，
∴
现在来证明线段就是点运动的路径（或轨迹）.

如图所示，当点运动至上的任一点时，设其对应的点为，连接，，
∵，
∴
又∵，
∴
∴∽
∴
又∵∽
∴
∴
∴点在线段上，即线段就是点运动的路径（或轨迹）.
综上所述，点运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为.
故选：
本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.
2、B
【分析】连接AO，BO，根据题意可得∠PAO=∠PBO=90°，根据∠P=80°得出∠AOB=100°，利用圆周角定理即可求出∠C．
【详解】解：连接AO，BO，
∵PA与 PB 分别与圆O相切与A、B 两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，
∴∠C=，
故选：B．

本题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟知切线的性质以及圆周角定理的内容．
3、C
【详解】试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×=增长后的数量.由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，故答案为：C
考点：一元二次方程的应用
4、B
【解析】根据因式分解法即可求出答案．
【详解】∵5x2=x，
∴x(5x﹣1)=0，
∴x=0或x．
故选：B．
本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5、A
【分析】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，易得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=1证得△APM≌△BPN，可对①进行判断，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM=2，当OA=OB时，OA=OB=1，然后可对②作出判断，由△APM≌△BPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=2，然后依据AP和PB的长度变化情况可对四边形OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断．
【详解】过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，

∵P(1，1)，
∴PN=PM=1．
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，
则四边形MONP是正方形，
∴OM=ON=PN=PM=1，
∵∠MPN=∠APB=90°，
∴∠MPA=∠NPB．
在△MPA≌△NPB中，
，
∴△MPA≌△NPB，
∴PA=PB，故①正确．
∵△MPA≌△NPB，
∴AM=BN，
∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2．
当OA=OB，即OA=OB=1时，
则点A、B分别与点M、N重合，此时四边形OAPB是正方形，故②正确．
∵△MPA≌△NPB，
∴．
∵OA+OB=2，PA=PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误．
∵∠AOB+∠APB=180°，
∴点A、O、B、P共圆，且AB为直径，所以AB≥OP，故④错误．
故选：A．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，圆周角定理，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON
6、C
【解析】试题分析：x=-1时，y=6，x=-3时，y=2，所以点A（-1，6），点B（-3，2），应用待定系数法求得直线AB的解析式为y=2x+8，直线AB与x轴的交点C（-4，0），所以OC=4，点A 到x轴的距离为6，所以△AOC的面积为=1．
故选C．
考点：待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形．
7、D
【分析】直接利用不低于155cm的频数除以总数得出答案．
【详解】∵身高不低于155cm的有52+18+5=1(人)，
∴随机抽查圭峰会城九年级1名女生，身高不低于155cm的概率是：=0.1．
故选：D．
本题考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
8、A
【分析】根据同类二次根式的概念即可求出答案．
【详解】解：（A）原式＝2，故A与是同类二次根式；
（B）原式＝2，故B与不是同类二次根式；
（C）原式＝3，故C与不是同类二次根式；
（D）原式＝5，故D与不是同类二次根式；
故选：A．
此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
9、C
【解析】设，，所以，易证，利用相似三角形的性质可求出的长度，以及，再证明，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出的长度.
【详解】解：设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C.
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型.
10、B
【分析】函数经过点（﹣1，1），把点的坐标代入解析式，即可求得k的值．
【详解】解：根据题意得：﹣1（k﹣1）+3＝1，
解得：k＝1．
故选B．
本题主要考查了函数的解析式与图象的关系，满足解析式的点一定在图象上，图象上的点一定满足函数解析式．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】由图可知，甲2秒跑了8米，可以求出甲的速度，根据乙100秒跑完了全程可知乙的速度，根据经过时间a秒，乙追上了甲，可列出方程解出a的值．
【详解】解：由图象可得：甲的速度为8÷2=4米/秒，
根据乙100秒跑完了全程可知乙的速度为：160÷100=1.6米/秒，
经过a秒，乙追上甲，可列方程，
∴，
故答案为：1．
本题考查了行程问题中的数量关系的应用，追及问题在生活中的应用，认真分析函数图象的实际意义是解题的关键．
12、-2
【分析】把x=1代入已知方程可得关于m的方程，解方程即可求得答案.
【详解】解：∵为一元二次方程的一个根，
∴，
解得：m=－2.
故答案为：－2.
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于应知应会题型，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题关键.
13、2
【分析】连接BF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，再根据等边对等角的性质求出∠ABF=∠A，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBF，再根据三角函数的定义即可求出CF．
【详解】如图，连接BF，

∵EF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∴，
，
在△BCF中，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角函数的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
14、2
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2，
故答案为2.
15、1
【分析】根据题意首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n，再由正多边形的中心角=，即可得出答案．
【详解】解：∵正多边形的每一个外角都等于1°，
∴正多边形的边数为：，
∴这个正多边形的中心角为：.
故答案为：1．
本题考查正多边形的性质和多边形外角和定理以及正多边形的中心角的计算方法，熟练掌握正多边形的性质并根据题意求出正多边形的边数是解决问题的关键．
16、
【解析】∵OB=，OC=1，∴BC=2，∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°．
在Rt△CAA1中，AA1=OC=，同理得：B1A2=A1B1=，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．第n个等边三角形的周长等于.
17、1.
【解析】直接利用根的判别式△=b2-4ac求出答案．
【详解】一元二次方程x2+3x=0根的判别式的值是：△=32-4×1×0=1．
故答案为1．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
18、1：1．
【分析】先根据三角形中位线定理得出DE∥AB，DE＝AB，可推出△CDE∽△CAB，即可得出答案．
【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝＝．
故答案为：1：1．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、（1），树状图见解析；（2），树状图见解析
【分析】（1）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可．
（2）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可．
【详解】解：（1）画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在手中的只有2种情况，
∴两次传球后，球恰在手中的概率为．
（2）根据题意画树状图如下：

∴共有12种等可能的结果，第二次传球后，球恰好在手中的有4种情况，
∴第二次传球后，球恰好在手中的概率是．
【分析】本题主要考查了树状图求概率的方法，正确掌握树状图求概率的方法是解题的关键．
20、DC=6；AB=，
【分析】如图，作EH⊥AC于H．解直角三角形分别求出DE，EB，BC，CD，再利用相似三角形的性质求出AE即可解决问题．
【详解】如图，作EH⊥AC于H．

∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∵tan∠ABD＝＝，BD＝10，
∴DE＝5，BE＝＝＝5，
∵∠C＝90°，cos∠DBC＝＝，
∴BC＝8，CD＝＝＝6，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴AB＝AE+BE=+5＝．
本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
21、证明见解析；
【解析】试题分析：由BE=CF可证得BC=EF，又有AB=DE，AC=DF，根据SSS证得△ABC≌△DEF⇒∠A=∠D．
证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，
又∵AB=DE，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF．
∴∠A=∠D．
考点：全等三角形的判定与性质．
22、（1）；（2）1．
【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可
（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM，根据题意求出ON，根据勾股定理、垂径定理计算即可．
【详解】（1）解：∵

或

（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，
则
∵
∴点在同一条直线上，
在中
∴
在中，
∵
∴
本题考查了解一元二次方程、垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
23、（1）y=60+10x；（2）定价为33元，最大利润是810元．
【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．
【详解】解：（1）根据题意，得：y=60+10x，
（2）设所获利润为W，则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）
=﹣10x2+60x+720
=﹣10（x﹣3）2+810，
∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，
答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．
本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．
24、（1）见解析；（2）2cm；（3）
【分析】（1）连接DE，根据可知：是直径，可得，结合点D是AC的中点，可得出ED是AC的中垂线，从而可证得结论；
（2）根据，可将AE解出，即求出⊙O的直径；
（3）根据等角代换得出，然后根据CF:CD=2:1，可得AC=CF，继而根据斜边中线等于斜边一半得出，在中，求出sin∠CAB即可．
【详解】证明：（1）连接，

，
，
∴是直径
∴，即，
又∵ 是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴；
（2）在 和中，
，
故可得，
从而 ，即，
解得：AE=2；
即⊙O的直径为2．
（3），
，
， 是的中点，
，
，
在中，．
故可得．
本题主要考查圆周角定理、切线的性质及相似三角形的性质和应用，属于圆的综合题目，难度较大，解答本题的关键是熟悉各个基础知识的内容，并能准确应用．
25、（1）；（2）2；（3），
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）过点作于点M，求出点B的坐标，从而得，进而得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当轴时，， ②当时，，分别求出点P的坐标，即可．
【详解】∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
过点作于点M，
把代入，得：，
∴，
，
，

∴；
∵AD⊥y轴，
∴AD∥x轴，
∴∠1=∠OEC=∠DAC=30°，
①当轴时，，此时：；
②当时，，
，

∴．
综上所述：，．

本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合，掌握反比例函数的性质与相似三角形的性质，是解题的关键．
26、（1）；（2）
【分析】(1)利用已知条件得出，从而可得出结论
(2) 连接，交于连接，可得出CG=AG，接着可证明是等边三角形.，再找出，最后利用弧长公式求解即可.
【详解】解：.
理由如下：
由题意，可知.
又，
.
.
如图，连接，交于连接.

四边形是正方形，
与互相垂直平分.
点在线段上，
垂直平分.
.
由题意，知，
.
又正方形的边长为，
.
，即是等边三角形.

.
.
则点走过的路径长就是以为圆心，长为半径，且圆心角为105°的一段弧的弧长.
即
所以点走过的路径长是.
本题是一道利用旋转的性质来求解的题目，考查到的知识点有全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定，旋转的性质以及求弧长的公式.综合性较强.