2024年广东省湛江市徐闻县九上数学期末质量检测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．方程是关于的一元二次方程，则的值不能是（ ）
A．0 B． C． D．
2．二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一三、四象限
3．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．则k的取值范围为（　　）
A．k＞﹣ B．k＞4 C．k＜﹣1 D．k＜4
4．计算（的结果为（ ）
A．8﹣4 B．﹣8﹣4 C．﹣8+4 D．8+4
5．在△中，∠，如果，，那么cos的值为（ ）

A． B．
C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，则cosA的值为( )

A． B． C． D．
7．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（ ）

A．的三边高线的交点处
B．的三角平分线的交点处
C．的三边中线的交点处
D．的三边中垂线线的交点处
8．如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则( )

A．2 B． C． D．
9．已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为 1.6 m，并测得BC=2.2 m ，CA=0.8 m, 那么树DB的高度是（ ）

A．6 m B．5.6 m C．5.4 m D．4.4 m
10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴的正半轴交于点C．现有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③2a﹣b＞0；④3a+c＝0，其中，正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
12．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．5、6、﹣8 B．5，﹣6，﹣8 C．5，﹣6，8 D．6，5，﹣8
二、填空题（每题4分，共24分）
13．将抛物线C1：y＝x2﹣4x+1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到将抛物线C2，则抛物线C2的解析式为：____．
14．如图，在中，，是边上的中线，，则的长是__________．

15．方程x2＝4的解是_____．
16．已知关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1，x2，且，则 a的值为 ．
17．在一个不透明的袋子中，装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同。搅匀后从中随机一次摸出两个球，则摸到的两个球都是白球的概率是____．
18．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．

三、解答题（共78分）
19．（8分）计算:
(1)
(2)
20．（8分）定义：
我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．
求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．

21．（8分）佩佩宾馆重新装修后,有间房可供游客居住，经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满，当每间房每天的定价每增加元时,就会有一间房空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每间房每天支出元的各项费用．设每间房每天的定价增加元，宾馆获利为元．
(1)求与的函数关系式(不用写出自变量的取值范围) ;
(2)物价部门规定，春节期间客房定价不能高于平时定价的倍,此时每间房价为多少元时宾馆可获利元?
22．（10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC=　 　度，∠BPC=　 　度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋3）x＋m2＋2＝0。
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值。
24．（10分）在菱形中，，延长至点，延长至点，使，连结，，延长交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．

25．（12分）如图，已知点D是的边AC上的一点，连接，，．
求证：∽；
求线段CD的长．

26．己知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,顶点为．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）判断的形状．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【详解】解：是关于的一元二次方程，则
解得m≠
故选C．
本题考查一元二次方程的概念，注意二次项系数不能为零．
2、C
【解析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣＞1，＜1．∴＜1，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限．故选C．
3、A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0；即可得出关于k的一元一次不等式；解之即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×k2=4k+1＞0，∴k＞﹣．
故选A．
本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4、B
【分析】先按照平方差公式与完全平方公式计算，同时按照二次根式的除法计算，再合并即可得到答案．
【详解】解：

故选B．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法与二次根式的除法运算是解本题的关键．
5、A
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而可求.
【详解】∵∠，，
∴
∴
故选A
本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.
6、B
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
；
故选：B.
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
7、D
【分析】根据题意知，猫应该蹲守在到三个洞口的距离相等的位置上，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．
【详解】解：根据三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，可知猫应该蹲守在△ABC三边的中垂线的交点上．
故选：D．
考查了三角形的外心的概念和性质．要熟知三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
8、B
【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1,AC= ,在直角三角形ACD中即可求得的值.
【详解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，

则CD=1，AC=
在直角三角形ACD中

故选：B
本题考查的是网格中的锐角三角函数，关键是创造直角三角形，尽可能的把直角三角形的顶点放在格点.
9、A
【分析】先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．
【详解】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE=∠ABD=90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A=∠A，∠ACE=∠ABD=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴，即
，解得BD=6m．
故选A．
本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．
10、B
【分析】由抛物线的开口方向，判断a与0的关系；由对称轴与y轴的位置关系，判断ab与0的关系；由抛物线与y轴的交点，判断c与0的关系，进而判断abc与0的关系，据此可判断①．由x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，再结合图象x＝﹣2时，y＞0，即可得4a﹣2b+c与0的关系，据此可判断②．根据图象得对称轴为x＝﹣＞﹣1，即可得2a﹣b与0的关系，据此可判断③．由x＝1时，y＝a+b+c，再结合2a﹣b与0的关系，即可得3a+c与0的关系，据此可判断④．
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即ab＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，
故①正确；
②如图，当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
③对称轴为x＝﹣＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，
故③错误；
④∵当x＝1时，y＝0，
∴0＝a+b+c，
又∵2a﹣b＜0，即b＞2a，
∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0，
故④错误．
综上所述，①②正确，即有2个结论正确．
故选：B．
本题考查二次函数图象位置与系数的关系．熟练掌握二次函数开口方向、对称轴、与坐标轴交点等性质，并充分运用数形结合是解题关键．
11、C
【解析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
【详解】黑色区域的面积=3×33×12×23×1=4，所以击中黑色区域的概率．
故选C．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
12、C
【解析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.
【详解】5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8，
故选C．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、y＝（x+1）2﹣1
【分析】先确定抛物线C1：y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为（2，﹣3），再利用点平移的坐标变换规律，把点（2，﹣3）平移后对应点的坐标为（﹣1，﹣1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线C1：y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为（2，﹣3），把点（2，﹣3）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后所得对应点的坐标为（-1，﹣1），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣1，
故答案为y＝（x+1）2﹣1．
此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数平移的特点.
14、10
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半直接求解即可.
【详解】解：∵在中，，是边上的中线
∴
∴AB=2CD=10
故答案为：10
本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握直角三角形的性质是本题的解题关键.
15、
【分析】直接运用开平方法解答即可．
【详解】解：∵x2＝4
∴x＝=．
故答案为．
本题主要考查了运用开平方法求解一元二次方程，牢记运用开平方法求的平方根而不是算术平方根是解答本题的关键也是解答本题的易错点．
16、1．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0 的两个实根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，x1x2=-a，
∴
∴a=1．
17、.
【分析】用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图如下：

∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，
∴P（两个球都是白球），
故答案为：．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18、1
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．
【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=1米．
故答案为1．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．

三、解答题（共78分）
19、 (1);(2)
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）解:

.
或
解之:
（2）解:将原方程整理为:

或，
解之:
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2．
【解析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；
（2）先判断出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出结论；
（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE•FG，再判断出EQ=FE，继而求出FG•FE=8，即可得出结论．
【详解】（1）由图1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或，
∴CD=10或CD=2.5
同理：当∠CAD=90°时，AD=2.5或AD=10，
（2）∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△BDC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

（3）如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似，
∵∠EFH=∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴，
∴FH2=FE•FG，
过点E作EQ⊥FG于Q，
∴EQ=FE•sin60°=FE，
∵FG×EQ=2，
∴FG×FE=2，
∴FG•FE=8，
∴FH2=FE•FG=8，
∴FH=2．
【点睛】本题考查了相似三角形的综合题，涉及到新概念、相似三角形的判定与性质等，正确理解新概念，熟练应用相似三角形的相关知识是解题的关键.
21、（1）；（2）每间房价为元时，宾馆可获利元
【分析】(1)根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案；
(2)代入(1)求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的.
【详解】解：由题意得

答: 与的函数关系式为：
由可得：
令，即
解得

解得

此时每间房价为: (元)
答:每间房价为元时，宾馆可获利元。
本题考查的是盈利问题的二次函数式及二次函数的最值问题，通常做法是先列出二次函数式，然后利用y最值或化成顶点式进行求解.用代数表示每间房间的利润和房间数是关键.
22、（1）60；60；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；
（2）利用（1）中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；
（3）利用（2）证得的两三角形全等判定△PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
故答案为60， 60；
（2）∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC，
∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP；
（3）作PH⊥CM于H，

∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S梯形PBCM=（PB+CM）×PH=×(2+3)×=.

本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相关的性质与判定定理.
23、（1）；（1）1
【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（1）利用根与系数的关系可得出x1+x1=1m+3，x1•x1=m1+1，结合x11+x11=31+x1x1即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【详解】解：（1）∵方程x1-（1m+3）x+m1+1=0有实数根，
∴△=[-（1m+3）]1-4（m1+1）=11m+1≥0，
解得：．
（1）∵方程x1-（1m+3）x+m1+1=0的两个根分别为x1、x1，
∴x1+x1=1m+3，x1•x1=m1+1，
∵x11+x11=31+x1x1，
∴(x1+x1)1-1x1•x1=31+x1x1，
即m1+11m-18=0，
解得：m1=1，m1=-14（舍去），
∴实数m的值为1．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式△≥0是解题的关键．
24、（1）见详解；（2）60°
【分析】(1)先判断出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BF，然后利用“边角边”证明即可； 
(2)由△ACE≌△CBF，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠F，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．
【详解】（1）证明：∵菱形，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识；熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键
25、（1）参见解析；（2）1．
【分析】（1）利用两角法证得两个三角形相似；
（2）利用相似三角形的对应线段成比例求得CD长．
【详解】（1）∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A（公共角），
∴△ABD∽△ACB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，
∵相似三角形的对应线段成比例 ，∴=，即＝，
解得：CD＝1．
26、（1）顶点；（2）是直角三角形．
【分析】（1）根据点A和点B的坐标设函数解析式为两点式，再将点C的坐标代入求出a的值，最后再将两点式化为一般式即可得出答案；
（2）根据BCD三点的坐标分别求出BC、CD和BD边的长度即可得出答案.
【详解】解：（1）设，将代入解析式得：

顶点
（2）

是直角三角形．
本题考查的是二次函数，难度适中，解题关键是根据题目意思灵活设出二次函数的解析式.