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点线面位置关系知识点加典型例题
2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1、教学重点和难点
重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换
2、三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
L

A
·
α
A∈L
B∈L => L α ，A∈α ，B∈α
C
·
B
·
A
·
α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面
③两条平行直线可确定一个平面
P
·
α
L
β
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系相交、平行、异面
3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900
2.1.2 空间中直线及直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
=>a∥c
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'及b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，及O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直及异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线及平面、平面及平面之间的位置关系
1、直线及平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线及平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线及平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线及平面平行的判定
1、直线及平面平行的判定定理：平面外一条直线及此平面内的一条直线平行，则该直线及此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面及平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线及另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β a∩b = P β∥α
b β a∥α b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线及平面、平面及平面平行的性质
1、定理：一条直线及一个平面平行，则过这条直线的任一平面及此平面的交线及该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理如果两个平面同时及第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面及平面平行得出直线及直线平行
练习巩固：
1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(   d )
A.平行    B.异面    C.相交    D.平行或异面
2、下列结论中，正确的有(  a  )
①若aα,则a∥α ②a∥平面αα则a∥b
③平面α∥平面βαβ,则a∥b ④平面α∥β,点P∈α∥β,且P∈a，则aα
A.1个 B.2个    C.3个    D.4个
3、在空间四边形中，E、F分别是和上的点，若∶∶1∶3，则对角线和平面的位置关系是(    )
A.平行    B.相交    C.在内   D.不能确定
4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是(   d )
A.过A有且只有一个平面平行于 B.过A至少有一个平面平行于
C.过A有无数个平面平行于 D.过A且平行的平面可能不存在
5、已知直线a及直线b垂直平行于平面α,则b及α的位置关系是(    )
∥α                   α
及α相交                D.以上都有可能
6、下列命题中正确的命题的个数为( a   )
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;
③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
A.1     B.2    C.3    D.4
7、下列命题正确的个数是(   a )
(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α
(2)若直线l及平面α平行，l及平面α内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线及平面平行，那么另一条也及这个平面平行
(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥α
A.0个 B.1个    C.2个    D.3个
8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是d
①若m⊥α⊥β,则α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若mαβ∥n,则α∥β; ④若m、n是异面直线，mα∥ββ∥α,则α∥β.
A.①和②    B.①和③    C.③和④    D.①和④
9、长方体1B1C1D1中为1中点为1中点,及平行的长方体的面有(　c　)
A.1个       B.2个      C.3个     D.4个
10、对于不重合的两个平面α及β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α∥β∥α∥β.
其中可以判断两个平面α及β平行的条件有（　　b）
A.1个            B.2个            C.3个            D.4个
二、填空题 【共4道小题】
1、在棱长为a的正方体—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱上一点，,过P、M、N的平面及棱交于Q，则.
参考答案及解析:解析：由线面平行的性质定理知∥(∵∥平面，平面∩平面，∴∥).易知.故. 答案：
2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上那么这些点在空间的位置是.
参考答案及解析:共线或在及已知平面垂直的平面内
3、若直线a和b都及平面α平行，则a和b的位置关系是.
参考答案及解析:相交或平行或异面
4、正方体1B1C1D1中，E为1中点，则1及过点A，C，E的平面的位置关系是.
参考答案及解析:解析：如图所示，连结，设∩，连结1，在△1中，E为1的中点，O为的中点， ∴为△1的中位线.∴∥1.
又平面，平面，∴1∥平面.答案：平行
三、解答题 【共3道小题】
1、如图，直线，被三个平行平面α、β、γ所截.
①是否一定有∥∥；
②求证：.

参考答案及解析:解析：①平面α∥平面β，平面α及β没有公共点，但不一定总有∥.
同理不总有∥.
②过A点作的平行线，交β，γ于G，H两点，∥.过两条平行线，的平面，交平面α,β,γ于，，.根据两平面平行的性质定理，有∥∥.
为平行四边形.∴.
同理.
又过，两相交直线之平面及平面β,γ的交线为，.根据两平面平行的性质定理，有∥.
在△中，.而，，∴.
2、如图，是平行四边形，S是平面外一点，M为的中点.
求证：∥平面.
参考答案及解析:解析：要说明∥平面，就要在平面内找一条直线及平行，注意到M是的中点，于是可找的中点，构造及平行的中位线，再说明此中位线在平面内，即可得证.
证明：连结交于N，因为是平行四边形，所以N是的中点.又因为M是的中点，所以∥.因为平面，所以∥平面.
3、如图,已知点M、N是正方体1B1C1D1的两棱A1A及A1B1的中点，P是正方形的中心，
求证：∥平面1C.

参考答案及解析:证明：如图，连结，
则P为的中点，连结1，
∵M、N分别是A1A及A1B1的中点，∴∥1.
又∵平面1C，平面1C，故∥面1C.
4、如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，求证：平面．

答案：证明：如图，取的中点，连接，，
平行且等于，平行且等于，
平行且等于，则为平行四边形，
．
平面，平面，

平面．

5、如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．
求证：平面．
答案：证明：如图，取的中点，连接，
，分别是，的中点，
，，

可证明平面，平面．
又，
平面平面，
又平面，平面．

2.3.1直线及平面垂直的判定
1、定义
如果直线L及平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L及平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线及平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L

p
α

2、判定定理：一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线及此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线及平面垂直”及“直线及直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面及平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
　　 α
2、二面角的记法二面角αβ或αβ
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线及平面、平面及平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线及另一个平面垂直。

一 选择题
1. 已知直线，和平面，有以下四个命题：
若，，则； 若，，则及异面；
若，，则； 若，，则．
其中真命题的个数是（ 　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2. 已知直线，有以下几个判断：若，则；若，则；若，则；若，则．上述判断中正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3. 已知两个平面垂直，下列命题
一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．
一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是（ 　　）
A．３ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．０
4. 在正方形中，，分别是及的中点，是的中点，沿，及把，，折起使，，三点重合，重合后的点记作，那么在四面体中必有（　　）
Ａ．面 Ｂ．面 Ｃ．面 Ｄ．面
5. 直线不垂直于平面，则内及垂直的直线有（　　）
Ａ．条 Ｂ．条 Ｃ．无数条 Ｄ．内所有直线
6. 已知三条直线，，，三个平面，，．下面四个命题中，正确的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7. 在空间四边形中，若，，为对角线的中点，下列判断正确的是（　 　）
Ａ．平面平面 Ｂ．平面平面
Ｃ．平面平面 Ｄ．平面平面
8. ，，，是四个不同平面，若，，，，则（　　）
Ａ．且 Ｂ．或
Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行 Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行
9. 设，是异面直线，下列命题正确的是（　 　）
Ａ．过不在，上的一点一定可以作一条直线和，都相交
Ｂ．过不在，上的一点一定可以作一个平面和，垂直
Ｃ．过一定可以作一个平面及垂直
Ｄ．过一定可以作一个平面及平行
10. 设平面平面，且，直线，直线，且不及垂直，不及垂直，那么及（　　）
Ａ．可能垂直，不可能平行 Ｂ．可能平行，不可能垂直
Ｃ．可能垂直，也可能平行 Ｄ．不可能垂直，也不能垂直
二 填空题
11已知直线，和平面，且，，则及的位置关系是．
12. 是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断： ；；；．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题．
13. 设为平行四边形对角线的交点，为平面外一点且有，，则及平面的关系是．
14. 设三棱锥的顶点在底面内射影（在内部，即过作底面，交于），且到三个侧面的距离相等，则是的心.

4、 如图所示，是圆的直径，是异于，两点的圆周
上的任意一点，垂直于圆所在的平面，则，，
，中，直角三角形的个数是．

三 解答题
16已知平面，，满足，，，求证：．

17. 如图，已知平面，，直线满足，，，试判断直线及平面的位置关系并证明．

18. 如图所示，为正方形，平面，过且垂直于的平面分别交，，于，，．
求证：．

19. 如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，，，．

求证：是异面直线及的公垂线．

20. 如图，直角所在平面外一点，且，点为斜边的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求证：面．

21. 如图所示，平面平面，，在上取线段，，分别在平面和平面内，且，，，，求长．

答 案
一 选择题

二 填空题
11.
12. （2）（3）（4）（1）或（1）（3）（4）（2）
13. 垂直
14. 内心
15. 4
三 解答题
16解：在平面内做两条相交直线分别垂直于平面，及平面的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线．
17解：在内作垂直于及交线的直线，因为，所以．因为，所以．又因为，所以．即直线及平面平行．

18答案：证明：平面，．又，．
，，，，．同理．

19答案：证明：底面，．已知，面．．又，且．是矩形，．
又，，平面．又，平面．
．是异面直线及的公垂线．

20答案：证明：（１），为的中点，．
连结．在中，则．，．
又，面．
（２），为的中点，．
又由（１）知面， ．于是垂直于平面内的两条相交直线．面．

21答案：解：连结．，，．，，．是直角三角形．在中，，在中，．长为．

针对性练习：
1.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（ ）
A. 内所有的直线都及a异面； B. 内不存在及a平行的直线；
C. 内所有的直线都及a相交； D.直线a及平面有公共点.
2.已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
3.空间四边形中，若，则及所成角为
A、 B、 C、 D、
4. 给出下列命题：
（1）直线a及平面不平行，则a及平面内的所有直线都不平行；
（2）直线a及平面不垂直，则a及平面内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面及b都不垂直；
（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面
其中错误命题的个数为（ ） （A）0 （B） 1 （C）2 （D）3
5．正方体1B1C1D1中，及对角线1异面的棱有（ ）条 A3 B4 C6 D8
6. 点P为Δ所在平面外一点，⊥平面，垂足为O，若，则点O是Δ的（ ） （A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
7.如图长方体中，2，1=，则二面角
C1——C的大小为（ ）
（A）300 （B）450 （C）600 （D）900
8.直线及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）
A、若aα，bα⊥a, c⊥b 则c⊥α B、若bα, 则 α
C、若α,α∩β 则 D、若a⊥α, b⊥α 则
9.平面及平面平行的条件可以是（ ）
A.内有无穷多条直线及平行； B.直线
C.直线a,直线b,且 D.内的任何直线都及平行
10、 a, b是异面直线，下面四个命题：
①过a至少有一个平面平行于b； ②过a至少有一个平面垂直于b；
③至多有一条直线及a，b都垂直；④至少有一个平面及a，b都平行。
其中正确命题的个数是（　　　　）Ａ　０　　Ｂ　１　　Ｃ　２　　Ｄ　３
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11.已知直线平面，平面平面，则a及的位置关系为 .
12．已知直线a⊥直线b, 平面,则b及的位置关系为 .
13如图，是直角三角形，，平面，此图形中有 个直角三角形
A
B
C
P
14.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线,
给出四个论断：
① m ^ n ②α^β ③ m ^β ④ n ^α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为
正确的一个命题：.

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
15．如图，⊥平面，平面⊥平面 求证：⊥
P
A
B
C

16．在三棱锥中，已知，O是的中点，平面 ⊥平面
A
B
O
C
S
求证：∠∠

17．如图，⊥平面，⊥，⊥，⊥2（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角P——A的大小；（3）求三棱锥P—的体积.
A
B
C
P
E
F

参考答案
1；2；3；4；5；6；7；8；9；10
11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若②③④则①
17.（2）45°

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