天津市南开区南开大附属中学2024-2025学年九年级数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从地出发，向地匀速行驶.甲比乙早出发分钟；甲到达地并休息了分钟后，乙追上了甲.甲、乙同时从地以各自原速继续向地行驶.当乙到达地后，乙立即掉头并提速为原速的倍按原路返回地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向地行驶，到达地就停止.若甲、乙间的距离(米)与甲出发的时间(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．甲、乙提速前的速度分别为米/分、米/分.
B．两地相距米
C．甲从地到地共用时分钟
D．当甲到达地时，乙距地米
2．矩形ABCD中，AB＝10，，点P在边AB上，且BP:AP=4:1，如果⊙P是以点P 为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（ ）
A．点B、C均在⊙P外 B．点B在⊙P外，点C在⊙P内
C．点B在⊙P内，点C在⊙P外 D．点B、C均在⊙P内
3．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A．点A在圆外 B．点A在圆上
C．点A在圆内 D．不能确定
4．的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．下列两个变量成反比例函数关系的是（ ）
①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h；
②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h；
③面积为定值的矩形的长与宽；
④圆的周长与它的半径．
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
6．如图，为线段上一点，与交与点，，交与点，交与点，则下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
7．数据60，70，40，30这四个数的平均数是（　　）
A．40 B．50 C．60 D．70
8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
9．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（ ）
A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥
10．已知的直径是8，直线与有两个交点，则圆心到直线的距离满足（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．
12．某工厂去年10月份机器产量为500台，12月份的机器产量达到720台，设11、12月份平均每月机器产量增长的百分率为x，则根据题意可列方程_______________
13．飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距离是______m
14．正五边形的中心角的度数是_____．
15．若，则的值是______.
16．某居民小区为了解小区500户居民家庭平均月使用塑料袋的数量情况，随机调查了10户居民家庭月使用塑料袋的数量，结果如下(单位：只)：65，70，85，74，86，78，74，92，82，1．
根据统计情况，估计该小区这500户家庭每月一共使用塑料袋_________只．
17．如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF的长为______．

18．在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．

（1）直接写出点B的坐标是　 ；
（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
（4）在x轴上方，抛物线l上是否存在一点P，使由点A，C，B，P构成的四边形为中心对称图形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（6分）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圆的半径.

21．（6分）如图，已知抛物线y=－x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－x+3交于C、D两点．连接BD、AD．

（1求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．
22．（8分）某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．
23．（8分）如图，在中，AD是BC边上的高，。

（1）求证：AC＝BD
（2）若，求AD的长。
24．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点，取EF中点G，连接DG并延长交AB于点M，延长EF交AC于点N。
（1）求证：∠FAB和∠B互余；
（2）若N为AC的中点，DE=2BE，MB=3，求AM的长.

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB．延长DC交AB的延长线于点P．
（1）求证：PC2＝PA•PB；
（2）若3AC＝4BC，⊙O的直径为7，求线段PC的长．

26．（10分）如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】设出甲、乙提速前的速度，根据“乙到达Ｂ地追上甲”和“甲、乙同时从Ｂ出发，到相距900米”建立二元一次方程组求出速度即可判断A，然后根据乙到达C的时间求A、C之间的距离可判断B，根据乙到达C时甲距C的距离及此时速度可计算时间判断C，根据乙从C返回A时的速度和甲到达C时乙从C出发的时间即可计算路程判断出D．
【详解】A.设甲提速前的速度为米/分，乙提速前的速度为米/分，
由图象知，当乙到达B地追上甲时，有：，化简得：，
当甲、乙同时从B地出发，甲、乙间的距离为900米时，有：，化简得：，
解方程组：，得：，
故甲提速前的速度为300米/分，乙提速前的速度为400米/分，故选项A正确
B.由图象知，甲出发23分钟后，乙到达C地，
则A、C两地相距为：（米），故选项B正确；
C.由图象知，乙到达C地时，甲距C地900米，这时，甲提速为（米/分），
则甲到达C地还需要时间为：（分钟），
所以，甲从A地到C地共用时为：（分钟），故选项C错误；
D.由题意知，乙从C返回A时，速度为：（米/分钟），
当甲到达C地时，乙从C出发了2.25分钟，
此时，乙距A地距离为：（米），故选项D正确．
故选：C．
本题为方程与函数图象的综合应用，正确分析函数图象，明确特殊点的意义是解题的关键．
2、A
【分析】根据BP=4AP和AB的长度求得AP的长度，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长；根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可
【详解】根据题意画出示意图，连接PC，PD，如图所示

∵AB=10,点P在边AB上，BP:AP=4:1
∴AP=2 , BP=8
又∵AD=
∴圆的半径PD=
PC=
∵PB=8>6, PC=>6
∴点B、C均在⊙P外
故答案为：A
本题考查了点和圆的位置关系的判定，根据点和圆心之间的距离和半径的大小关系作出判断即可
3、C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选C．
4、A
【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交．
【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
5、C
【分析】根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h是成正比例关系，故不符合题意；
②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h是反比例函数关系；故符合题意；
③面积为定值的矩形的长与宽；是反比例函数关系；故符合题意；
④圆的周长与它的半径，是成正比例关系，故不符合题意．
故选：C．
本题考查了反比例函数的解析式，解答本题的关键是根据题意列出函数关系式来进行判断，本题属于基础题型．
6、A
【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角，故可进行判断.
【详解】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP.
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD.
∵∠CPD=∠A=∠B，∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠CPD+∠C
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP.
故结论中错误的是A，故选A.
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.
7、B
【分析】用四个数的和除以4即可.
【详解】（60+70+40+30）÷4=200÷4=50.
故选B.
本题重点考查了算术平均数的计算，希望同学们要牢记公式，并能够灵活运用.
数据x1、x2、……、xn的算术平均数：=(x1+x2+……+xn).
8、D
【分析】过点作x轴的垂线，垂足为M，通过条件求出，MO的长即可得到的坐标.
【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M，

∵，，
∴，，
∴，
在直角△中， ，
，
∴，，
∴OM=2+1=3，
∴的坐标为.
故选：D.
本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
9、B
【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．
【详解】由题意可得：﹣x+2=，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
解不等式组，得t＞．
故选：B．

点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
10、B
【分析】先求出圆的半径,再根据直线与圆的位置关系与d和r的大小关系即可得出结论．
【详解】解:∵的直径是8
∴的半径是4
∵直线与有两个交点
∴0≤d＜4（注：当直线过圆心O时，d=0）
故选B．
此题考查的是根据圆与直线的位置关系求圆心到直线的距离的取值范围，掌握直线与圆的位置关系与d和r的大小关系是解决此题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.
考点：概率公式．
12、
【分析】根据增长率公式即可列出方程.
【详解】解：根据题意可列方程为：，
故答案为：.
本题考查一元二次方程的应用——增长率问题.若连续两期增长率相同，那么a(1+x)2=b，其中a为变化前的量，b为变化后的量，增长率为x．
13、6
【分析】先求出飞机停下时，也就是滑行距离最远时，s最大时对应的t值，再求出最后2s滑行的距离.
【详解】由题意，
y＝60t－t2，
＝−（t−20）2＋600，
即当t＝20秒时，飞机才停下来．
∴当t=18秒时，y=−（18−20）2＋600=594m，
故最后2s滑行的距离是600-594=6m
故填：6.
本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值,再根据题意进行求解．
14、72°．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．
【详解】解：正五边形的中心角为： ．
故答案为72°．
此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
15、
【分析】根据合比性质：，可得答案．
【详解】由合比性质，得，
故答案为：．
本题考查了比例的性质，利用合比性质是解题关键．
16、2
【分析】先求出10户居民平均月使用塑料袋的数量，然后估计500户家庭每月一共使用塑料袋的数量即可．
【详解】解：10户居民平均月使用塑料袋的数量为：(65+70+85+74+86+78+74+92+82+1)÷10＝80，
∴500×80=2（只），
故答案为2．
本题考查统计思想，用样本平均数估计总体平均数，10户居民平均月使用塑料袋的数量是解答本题的关键．
17、
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】，
，
，
，
解得，
故答案为：．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
18、、
【分析】由，可知A、C、B、M四点共圆，AB为圆的直径，则是弦AC所对的圆周角，此时需要对M点的位置进行分类讨论，点M分别在直线AC的两侧时，根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补可得两种结果．
【详解】解：∵在中，，，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵点在外，且，
即∠AMB=90°
∵
∴A、C、B、M四点共圆，
①如图，当点M在直线AC的左侧时，

,
∴；
②如图，当点M在直线AC的右侧时，

∵，
∴，
故答案为：135°或45°．
本题考查了圆内接四边形对角互补和同弧所对的角相等，但解题的关键是要先根据题意判断出A、C、B、M四点共圆．

三、解答题(共66分)
19、（1）点B的坐标为（3，1）；（2）y＝x2﹣x﹣23）点A1在抛物线上；理由见解析；（4）存在，点P（﹣2，1）．
【分析】（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，通过证明△BDC≌△COA即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，从而得知B坐标；
（2）利用待定系数法，将B坐标代入即可求得；
（3）画出旋转后的图形，过点作x轴的垂线，构造全等三角形，求出的坐标代入抛物线解析式即可进行判断；
（4）由抛物线的解析式先设出P的坐标，再根据中心对称的性质 与线段中点的公式列出方程求解即可．
【详解】（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠CAO，
又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，
在△BDC和△COA中：
∵∠BDC=∠COA，∠BCD＝∠CAO，CB=AC，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），
∴1＝9a﹣3a﹣2，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（3）旋转后如图1所示，过点A1作A1M⊥x轴，
∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，
∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，
∴A1，B，C共线，
在三角形BDC和三角形A1CM中：
∵∠BDC=∠A1MC=90°，∠BCD=∠A1CM，A1C=BC,
∴△BDC≌△A1CM
∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1，
∴OM＝1，
∴点A1（﹣1，﹣1），
把点x＝﹣1代入y＝x2﹣x﹣2，
y＝﹣1，
∴点A1在抛物线上．

（4）设点P（t， t2﹣t﹣2），
点A（0，2），点C（1，0），点B（3，1），
若点P和点C对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点A对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
无解，
若点P和点B对应，由中心对称的性质和线段中点公式可得：
，，
解得：t＝﹣2，
t2﹣t﹣2＝1
所以：存在，点P﹣2，1）．
本题主要考查了抛物线与几何图形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
20、（1）答案见解析；（2）13cm
【分析】（1）根据垂径定理，即可求得圆心；
（2）连接OA，根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长．
【详解】解：（1）连接BC，作线段BC的垂直平分线交直线CD与点O，
以点O为圆心，OA长为半径画圆，
圆O即为所求；

（2）如图，连接OA

∵OD⊥AB
∴AD=AB=12cm
设圆O半径为r，则OA=r，OD=r-8
直角三角形AOD中，AD2+OD2=OA2
∴122+(r-8)2=r2
∴r=13
∴圆O半径为13cm
本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握圆中任意两条弦的垂直平分线的交点即为圆心.
21、（1）m=2 ；（2）P（1+，－9）或P（1－，－9）
【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用方程组首先求出点D坐标．由面积关系，推出点P的纵坐标，再利用待定系数法求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+mx+3过（3，0），
∴0=-9+3m+3，
∴m=2
（2）由，得，，
∴D（，-），
∵S△ABP=4S△ABD，
∴AB×|yP|=4×AB×，
∴|yP|=9，yP=±9，
当y=9时，-x2+2x+3=9，无实数解，

当y=-9时，-x2+2x+3=-9，解得：x1=1+，x2=1-，
∴P（1+，-9）或P（1-，-9）．
22、（1）；（2）销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元；（3）44≤x≤56
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案；
（3）利用w=3640，进而解方程，再利用二次函数增减性得出答案．
【详解】解：（1）y与x之间的函数关系式为：
把（35，350），（55，150）代入得：
由题意得：
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：．
（2）设销售利润为W元
则W=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），
W =﹣10x2+1000x﹣21000
W =﹣10（x﹣50）2+4000
∴当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．
（3）令W =3640
∴﹣10（x﹣50）2+4000=3640
∴x1=44，x2=56

如图所示，由图象得：
当44≤x≤56时，每天利润不低于3640元．
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
23、（1）证明见解析；（2）1
【分析】（1）由于tanB＝cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC＝BD；
（2）设AD＝12k，AC＝13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
【详解】（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝，cos∠DAC＝，
又∵tanB＝cos∠DAC，
∴＝，
∴AC＝BD；
（2）在Rt△ADC中，sinC＝，
故可设AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝＝5k，
∵BC＝BD＋CD，又AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝11k，
由已知BC＝12，
∴11k＝12，
∴k＝，
∴AD＝12k＝12×＝1．
此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．
24、（1）见解析；（2）AM=7
【解析】（1）根据等腰三角形三线合一可证得AD⊥BC，根据直角三角形两锐角互余可证得结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE即可得∠GDE=∠GED，证明△DBM∽△ECN，根据相似三角形的性质即可求得NC，继而可求AM.
【详解】解：（1） ∵AB=AC，AD为∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠FAB+∠B=90°.
（2）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，
∵DE=2BE，
∴BD=CD3BE，
∴CE=CD+DE=5BE，
∵∠EDF=90°，点G是EF的中点，
∴DG=GE，
∴∠GDE=∠GED，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DBM∽△ECN，

∵MB=3，
∴NC=5，
∵N为AC的中点，
∴AC=2CN=10，
∴AB=AC=10,
∴AM=AB-MB=7.
本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.熟练掌握等腰三角形三线合一是解决（1）的关键；（2）问的关键是能证明△DBM∽△ECN.
25、（1）见解析；（2）PC＝1．
【分析】（1）证明△PAC∽△PCB，可得，即可证明PC2=PA•PB；
（2）若3AC=4BC，则，由（1）可求线段PC的长．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，
∴∠PDA=90°，∠DAC=∠BAC．
∵∠PCA=∠PDA+∠DAC，∠PBC=∠ACB+∠BAC，
∴∠PCA=∠PBC．
∵∠BPC=∠CPA，
∴△PAC∽△PCB，
∴，
∴PC2=PA•PB；
（2）∵3AC=4BC，
∴．
设PC=4k，则PB=3k，PA=3k+7，
∴(4k)2=3k(3k+7)，
∴k=3或k=0(舍去)，
∴PC=1．
本题考查了三角形相似的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
26、周长＝32，面积＝32．
【分析】由在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，又由对角线AC＝1，即可求得此菱形的边长，进而可求出菱形的周长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的的一半即可求出其面积．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝1．
∴菱形ABCD的周长＝4×1＝32，
∵BO＝＝4，
∴BD＝2BO＝1，
∴菱形ABCD的面积＝×1×＝32．
本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．