高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.3.doc

第三节　圆的方程

圆的方程
(1)掌握确定圆的几何要素．
(2)掌握圆的标准方程与一般方程．

知识点一　圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
,x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝

易误提醒　(1)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中易忽视右端为半径r的平方，而不是半径．
(2)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．
必备方法　求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
[自测练习]
1．圆x2＋y2－4x＋8y－5＝0的圆心与半径分别为(　　)
A．(－2,4)，5　　　　　　 B．(2，－4)，5
C．(－2,4)， D．(2，－4)，
解析：圆心坐标为(2，－4)，
半径r＝ ＝5.
答案：B
2．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
解析：法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即
＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
答案：(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
知识点二　点与圆的位置关系
1．确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．
2．三种关系：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上．
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外．
(3)(x0－a)2＋(y0－b)21或a<－1 D．a＝±1
解析：因为点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－15·高考北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：D
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)
A．2　　　　　　　　 B．8
C．4 D．10
解析：设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则，解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝4.故选C.
答案：C
3．(2015·广州测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析：∵圆心(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：A

待定系数法求圆的方程的三个步骤
(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组．
(3)解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求结果．

考点二　与圆有关的最值范围问题|
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：
1．斜率型最值问题．
2．截距型最值问题．
3．距离型最值问题．
4．距离和(差)的最值问题．
5．利用目标函数求最值．
探究一　斜率型最值问题
1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求的最大值和最小值．
解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.

探究二　截距型最值问题
2．在[探究一]条件下求y－x的最大值和最小值．

解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋最小值为－2－.
探究三　距离型最值问题
3．在[探究一]条件下求x2＋y2的最大值和最小值．
解析：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为
＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
探究四　距离和(差)最值问题
4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)
A．5－4　　　　　　　 B－1
C．6－2 D.
解析：圆心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，连接C′2C2与x轴交于点P，此时|PM|＋|PN|取得最小值，为|C′2C2|－1－3＝5－4.
答案：A
探究五　利用目标函数求最值
5．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)
A．9 B．8
C．4 D．2
解析：将x2＋y2－2y－5＝0化为x2＋(y－1)2＝6，圆心(0,1)，代入ax＋by＋c－1＝0得b＋c＝1.∴＋＝(b＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9.
答案：A

求解与圆有关的最值问题的两大规律
(1)借助几何性质求最值
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．

　　　　考点三　与圆有关的轨迹问题|

　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解]　(1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x0－2,2y0)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x′，y′)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法
(1)直接法：根据题设条件直接列出方程．
(2)定义法：根据圆的定义写出方程．
(3)几何法：利用圆的性质列方程．
(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

(2016·唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4.化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：A
　　25.方程思想在圆中的应用
【典例】　在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
[思维点拨]　曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴有3个交点，可设圆的一般式方程或标准式方程，通过列方程或方程组可求．
[解]　法一：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则有
解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
法二：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，
故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1，则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
[方法点评]　(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．
(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．
[跟踪练习]　已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为________．
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin ＝1，rcos ＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，
即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.
答案：x2＋2＝

A组　考点能力演练
1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8
D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，
∴圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：B
2．(2016·北京西城期末)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1,1)　　　　　 B．(－，)
C．(－，) D.
解析：∵(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则有(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－期末)在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，由题意知⇒a<－2，故选A.
答案：A
5．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)
A．30 B．18
C．6 D．5
解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的差为6.
答案：C
6．(2016·绍兴模拟)点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．
解析：圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1.
∴圆心C(－k，－1)，半径r＝1.
易知点P(1,2)在圆外．
∴点P到圆心C的距离为：
|PC|＝＝≥3.
∴|PC|min＝3.
∴点P和圆C上点的最小距离dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2.
答案：2
7．若圆C：x2－2mx＋y2－2y＋2＝0与x轴有公共点，则m的取值范围是__．
解析：圆C的标准方程为(x－m)2＋(y－)2＝m2＋m－2，依题意有
答案：[，＋∞)
8．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，则圆C的方程为________．
解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则k,2为x2＋Dx＋F＝0的两根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，
又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.
∴E＝－2k－1.
故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圆心坐标为.
∵圆C在点P处的切线斜率为1，
∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.
∴D＝1，E＝5，F＝－6.
∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
答案：x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
9．(2016·洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．
(1)求圆S的方程；
(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．
解：(1)线段AB的中垂线方程为y＝x，
由得所以圆S的圆心为S(4,4)，
圆S的半径为|SA|＝5，
故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.
(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0.
令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得8－5程．
解：(1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN(图略)，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A′，连接A′B，故|A′B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4.
所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a＝2，c＝，b＝1，则
曲线Γ的方程为＋y2＝1.
(2)因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，
则⊥.设B(x0，y0)，
则x0(x0－)＋y＝0.
又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±.
则kOB＝±，kAB＝∓，
则直线AB的方程为y＝±(x－)，
即x－y－＝0或x＋y－＝0.
B组　高考题型专练
1．(2014·高考北京卷)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.

答案：B
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.
答案：B
3．(2014·高考陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：根据题意得点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
4．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a>0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.
答案：2＋y2＝