高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.2.doc

第二节　两直线的位置关系

两条直线的位置关系
(1)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
(2)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
(3)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

知识点一　两直线的位置关系

斜截式
一般式
方程
y＝k1x＋b1
y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
垂直
k1＝－或k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
平行
k1＝k2且b1≠b2
或

易误提醒　两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
[自测练习]
1．已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的取值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．2 D．－2
解析：因为直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以＝≠0，解得m＝－，故选A.
答案：A
2．直线2x＋my＝2m－4与直线mx＋2y＝m－2垂直的充要条件是(　　)
A．m＝2 B．m＝－2
C．m＝0 D．m∈R
解析：由题意得，2m＋2m＝0，得m＝0.故选C.
答案：C
知识点二　两直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
必记结论　(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
[自测练习]
3．过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．
解析：联立得交点P(1，－3)．
设过点P且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0，则3×1－3＋m＝0，解得m＝0.
答案：3x＋y＝0
知识点三　几种距离
1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ .
2．点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
易误提醒　在解题过程中，点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式．特别是在两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数要对应相等．
[自测练习]
4．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为(　　)
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
解析：当所求直线l与线段OA垂直时，原点到直线的距离最大．∵kOA＝2，∴kl＝－.∴所求直线方程为：y－2＝－(x－1)．即x＋2y－5＝0.
答案：A
5．已知两平行线l1：2x＋3y＝6，l2：2x＋3y－1＝0，则l1与l2间距离为________．
解析：d＝＝＝.
答案：

考点一　两直线的位置关系|

1．(2016·安阳模拟)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：若a＝1，则直线l1：x＋2y－1＝0，直线l2：x＋2y＋4＝0，故两直线平行；若直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则＝≠，解得a＝1或a＝－2.故“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件．
答案：A
2．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．3x＋2y－1＝0　　　　 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：由条件知kl＝－，∴l：y－2＝－(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0，选A.
答案：A
3．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为(　　)
A．0 B．2
C．4 D.
解析：由直线垂直可得a2＋(b＋2)(b－2)＝0，
变形可得a2＋b2＝4，
由基本不等式可得4＝a2＋b2≥2ab，
∴ab≤2，当且仅当a＝b＝时取等号，
∴ab的最大值为2.
答案：B

判断两直线平行或垂直的两个策略
(1)设A2B2C2≠0，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件为＝≠.更一般地，两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件为A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0.
(2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系，注意斜率不存在的情况不能忽略．

考点二　距离问题|

　直线l经过点P(2，－5)且与点A(3，－2)和点B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．
[解]　当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x＝2，点A到直线l的距离为d1＝1，点B到直线l的距离为d2＝3，不符合题意，故直线l的斜率必存在．
∵直线l过点P(2，－5)，
∴设直线l的方程为y＋5＝k(x－2)．
即kx－y－2k－5＝0.
∴点A(3，－2)到直线l的距离
d1＝＝，
点B(－1,6)到直线l的距离
d2＝＝.
∵d1∶d2＝1∶2，∴＝，
∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17.
∴所求直线方程为x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0.

求解距离问题的注意点
解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．

设a，b是关于x的方程x2sin θ＋xcos θ－2＝0(θ∈R)的两个互异实根，直线l过点A(a，a2)，B(b，b2)，则坐标原点O到直线l的距离是(　　)
A．2　　　　　　　　 B．2|tan θ|
C. D．2|sin θcos θ|
解析：由二元一次方程根与系数的关系可得
直线l的斜率k＝＝a＋b，
故直线l的方程为y－a2＝(a＋b)(x－a)，
即(a＋b)x－y－ab＝0.
故原点O到直线l的距离
d＝＝
＝＝2.
答案：A

考点三　对称问题|
对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：
1．点关于点对称．
2．点关于线对称．
3．线关于线对称．
4．对称问题的应用．
探究一　点关于点的对称问题
1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为(　　)
A．11　　　　　　　　　 B．10
C．9 D．8
解析：依题意a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，故则A(4,8)，B(－4,2)，所以|AB|＝＝10，故选B.
答案：B
探究二　点关于线对称问题
2．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小．
解：设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则解得
故A′(－2,8)．
P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，
为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解方程组得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
探究三　线关于线对称问题
3．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(2)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解：(1)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点为M′(a，b)，则

解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由
得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(2)在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M(1,1)，N(4,3)，
则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上．
易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
探究四　对称问题的应用
4．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为＝，
即10x－3y＋8＝0.

对称问题主要包括中心对称和轴对称
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．

　　18.忽视斜率不存在致误
【典例】　直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．
[解析]　法一：当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，
直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．
∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
[答案]　x＋3y－5＝0或x＝－1
[易误点评]　易漏掉k不存在这一情形．
[防范措施]　在求直线方程时，不论是平行、垂直还是距离问题都应数形结合判断直线的斜率是否存在．
[跟踪练习]　已知点P(a,2)(a<2)到直线x＝2的距离为1，则点P到直线 x－y＋2＝0的距离为________．
解析：由已知2－a＝1，解得a＝1.所以P(1,2)．
故点P到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝.
答案：

A组　考点能力演练
1．(2016·南宁模拟)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)
A．3x＋4y＋5＝0　　　　 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为3x－4(－y)＋5＝0.即3x＋4y＋5＝0.
答案：A
2．(2015·浙江名校联考)已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，∴a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
3．直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为1，且与直线x－3y＋1＝0垂直，则a＋b等于(　　)
A. B．－
C．4 D．－2
解析：由题意知解得所以a＋b＝4.
答案：C
4．若三条直线x－2y＋3＝0,3x＋4y－21＝0,2x＋3y－k＝0交于一点，则k的值等于(　　)
A．13 B．14
C．15 D．16
解析：由得交点P(3,3)，代入2x＋3y－k＝0，得k＝15.
答案：C
5．(2016·济南模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　)
A. B．5
C. D．15
解析：设P1P2中点P(x，y)，则x＝，
y＝.
∵x1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0.
∴(x1＋x2)－(y1＋y2)＝20
即x－y＝10.∴y＝x－10.∴P(x，x－10)
∴P到原点的距离d＝
＝ ≥＝5.
答案：B
6．若过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________．
解析：∵过点A，B的直线平行于直线2x＋y＋2＝0，
∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.
答案：－8
7．(2016·重庆检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
解析：直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝.
答案：
8．直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为________．
解析：由
解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，
∴可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k－1＝0.
在直线l上任取一点(1,2)，
由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，
由点到直线的距离公式得＝，
解得k＝(k＝2舍去)，
∴直线l2的方程为x－2y＝0.
答案：x－2y＝0
9．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
10．(2016·东营模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a>－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．
解：(1)当直线l经过坐标原点时，
该直线在两坐标轴上的截距都为0，
此时a＋2＝0，解得a＝－2，
此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；
当直线l不经过坐标原点，
即a≠－2且a≠－1时，
由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，
解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
(2)由直线方程可得M，N(0,2＋a)，因为a>－1，
所以S△OMN＝××(2＋a)＝×
＝≥×＝2，
当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
B组　高考题型专练
1．(2014·高考福建卷)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：依题意，得直线l过点(0,3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0，故选D.
答案：D
2．(2013·高考天津卷)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．－ B．1
C．2 D.
解析：由切线与直线ax－y＋1＝0垂直，得过点P(2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax－y＋1＝0平行，所以＝a，解得a＝2.
答案：C
3．(2015·高考广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析：设所求直线的方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，则＝，所以c＝±5，故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
答案：A
4．(2015·高考湖南卷)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
解析：圆x2＋y2＝r2的圆心为原点，则圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为＝1，在△OAB中，点O到边AB的距离d＝rsin 30°＝＝1，所以r＝2.
答案：2