小学六年级比和比的应用知识点及相关应用.pdf

精心整理精心整理第三单元比和比的应用知识要点（一）、比的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项前项，比号后面的数叫做比的，比号后面的数叫做比的后项后项。比的前项除以后项所得的比的前项除以后项所得的商商，叫做，叫做比值比值。例如例如 1515：10=1510=10=1510=23前项比号后项比值前项比号后项比值（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系（同类量的比）。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量（费同类量的比），例：路程速度=时间。4 4、区分比和比值、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6 6、比和除法、分数的联系：、比和除法、分数的联系：比比前项前项比号比号“：”后项后项比值比值除法除法被除数被除数除号除号“”“”除数除数商商分数分数分子分子分数线分数线“”分母分母分数值分数值7 7、比和除法、分数的区别：、比和除法、分数的区别：（1 1）意义不同：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。）意义不同：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。精心整理精心整理（2 2）表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数表示；比可以用分数表）表示方法不同：作为一种运算，除法算式不能用分数表示；比可以用分数表示；但分数不一定表示两个量的比。示；但分数不一定表示两个量的比。（3 3）结果表达不同：除法一般要求出商；比只有求比值时才通过计算求出商；而）结果表达不同：除法一般要求出商；比只有求比值时才通过计算求出商；而分数本身就是一个数值，无需计算。分数本身就是一个数值，无需计算。8 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0 0。（1 1）比的后项相当于除法算式中的除数，因为除数不能为）比的后项相当于除法算式中的除数，因为除数不能为 0 0，所以比的后项也不能，所以比的后项也不能为为 0.0.（2 2）比的后项相当于分数中的分母，因为分母不能为）比的后项相当于分数中的分母，因为分母不能为 0 0，所以比的后项也不能为，所以比的后项也不能为0.0.特殊情况：体育比赛中出现两队的分是特殊情况：体育比赛中出现两队的分是 2 2：0 0 等，这只是一种记等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。分的形式，不表示两个数相除的关系。（二）、比的基本性质（二）、比的基本性质1 1、根据比、除法、分数的关系：、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 0 除外），除外），商不变。商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 0 除外），分除外），分数值不变。数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0(0 除外除外)，比值不变。，比值不变。2 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。数比。3 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.4.化简比：化简比：两个整数的比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公两个整数的比：用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。因数。（1）两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比，再化简。依据比的基本性质：精心整理精心整理（2）用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。如：1510=1510=3223（三）比的应用按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。分配。如：已知两个量为如：已知两个量为 A A、B B，A A 的的 B B 比为比为，则总份数可以看做单位，则总份数可以看做单位“1”=a+b“1”=a+b，A A 是是:a bB B 的的，B 是是 A 的的，A 是单位是单位“1”的（），的（），B 是单位是单位“1”的（）。的（）。baab解题方法：解题方法：（1）把比看作分得的份数，先求出每份是多少再解答：先求出总份数，再求出每）把比看作分得的份数，先求出每份是多少再解答：先求出总份数，再求出每份是多少，最后求出各部分对应的具体数量。份是多少，最后求出各部分对应的具体数量。（2）转化成分书问题来解决：先根据比求出总份数，再求出各部分占总量的几分）转化成分书问题来解决：先根据比求出总份数，再求出各部分占总量的几分之几，最后求出各部分的数量。之几，最后求出各部分的数量。基础练习：基础练习：1鸡的只数与鸭的只数比是鸡的只数与鸭的只数比是 4：7。（1）鸡的只数是鸭的只数的）鸡的只数是鸭的只数的。（2）鸭的只数是鸡鸭总数的）鸭的只数是鸡鸭总数的。（3）鸭的只数是鸡的只数的（）倍。）鸭的只数是鸡的只数的（）倍。2.故事书的本数是连环画的故事书的本数是连环画的。125（1）连环画的本数与故事书本数的比是）连环画的本数与故事书本数的比是。（2）故事书的本数与这两种书的总本数的比是）故事书的本数与这两种书的总本数的比是。3.小红看一本书，已经看的页数与未看的页数的比是小红看一本书，已经看的页数与未看的页数的比是 5：3。精心整理精心整理（1）已看的页数占未看页数的）已看的页数占未看页数的。（。（2）未看页数占已看页数的）未看页数占已看页数的。（3）已看页数占全书页数的）已看页数占全书页数的。（。（4）未看的页数占全书页数的）未看的页数占全书页数的。例例 1：一种混泥土搅拌的：一种混泥土搅拌的水泥、沙子和石子的比是水泥、沙子和石子的比是 2：3：5。其中水泥有。其中水泥有 32 吨，还吨，还需要沙子和石子各是多少吨？需要沙子和石子各是多少吨？（题型（题型 1：已知单位：已知单位“1”中各部分的比和其中的一个分量，求另外几个分量）中各部分的比和其中的一个分量，求另外几个分量）解析：这里把混泥土看作单位解析：这里把混泥土看作单位“1”，其中水泥占混泥土的（），沙子占混泥土的，其中水泥占混泥土的（），沙子占混泥土的（），石子占混泥土的（），根据水泥有（），石子占混泥土的（），根据水泥有 2 吨和对应单位吨和对应单位“1”的分率是（），的分率是（），根根据据“已知量已知量已知量占单位已知量占单位“1”的几分之几的几分之几=单位单位“1”的量的量”可以先求出这种混可以先求出这种混泥土的总数量，再求出泥土的总数量，再求出沙子和石子的数量。沙子和石子的数量。例例 2：水泥、沙子和石子的比是水泥、沙子和石子的比是 2：3：5。要搅拌。要搅拌 20 吨这样的混凝土，需要水泥、吨这样的混凝土，需要水泥、沙子和石子各是多少吨？沙子和石子各是多少吨？（题型（题型 2：已知单位：已知单位“1”中各部分的比和总数量的具体数量，分别求出几个分量）中各部分的比和总数量的具体数量，分别求出几个分量）解析：这里把混泥土看作单位解析：这里把混泥土看作单位“1”，其中水泥占混泥土的（），沙子占混泥土的，其中水泥占混泥土的（），沙子占混泥土的（），石子占混泥土的（），根据总数量混泥土单位（），石子占混泥土的（），根据总数量混泥土单位“1”有有 20 吨，可以求出水泥、吨，可以求出水泥、沙子和石子的数量。沙子和石子的数量。例例 3：一个直角三角形的两个锐角度数的比是：一个直角三角形的两个锐角度数的比是 2?：1，这两个锐角分别是多少度？，这两个锐角分别是多少度？（题型（题型 3：已知两个量的比和他们的和，求出几个分量）：已知两个量的比和他们的和，求出几个分量）解析：关键要知道直角三角形的两个锐角的和是（）。这里把三角形的两个锐角的解析：关键要知道直角三角形的两个锐角的和是（）。这里把三角形的两个锐角的和看作单位和看作单位“1”，根据两个锐角度数的比是，根据两个锐角度数的比是 2?：1 可分别找出其中一个锐角占单可分别找出其中一个锐角占单位位“1”的（），另一个锐角占单位的（），另一个锐角占单位“1”的（），再求出这两个锐角分别是多少度。的（），再求出这两个锐角分别是多少度。例例 4：有两堆货物。甲堆比乙堆多：有两堆货物。甲堆比乙堆多 18 吨。甲堆与乙堆重量的比是吨。甲堆与乙堆重量的比是 9：5，两堆货物，两堆货物各有多少吨？各有多少吨？（题型（题型 4：已知两个量的比和它们的差，求这两个量分别是多少）：已知两个量的比和它们的差，求这两个量分别是多少）解析：可以把两堆货物的总重量看作单位解析：可以把两堆货物的总重量看作单位“1”，甲堆货物占单位，甲堆货物占单位“1”的（），乙的（），乙堆货物占单位堆货物占单位“1”的（），两堆货物的差量的（），两堆货物的差量 18 吨占单位吨占单位“1”的分率是（），根的分率是（），根据据“已知量已知量已知量占单位已知量占单位“1”的几分之几的几分之几=单位单位“1”的量的量”，再分别求出这两，再分别求出这两个分量。个分量。精心整理精心整理(四四)能力拓展能力拓展1.1.学校四、五、六年级共学校四、五、六年级共 140140 人参加旅行活动。四、五年级的人数比是人参加旅行活动。四、五年级的人数比是 2 2：3 3，五、，五、六年级的人数比是六年级的人数比是 4 4：5 5，问四、五、六年级各有多少人参加活动？，问四、五、六年级各有多少人参加活动？解析：解析：第一步：第一步：第二步：第二步：第三部：四、五、六三个年级的人数比为：第三部：四、五、六三个年级的人数比为：。45:1:32解：设五年级的人数为单位解：设五年级的人数为单位 1 1，则：四年级人数是五年级人数的，则：四年级人数是五年级人数的，六年级人数是，六年级人数是23五年级人数的五年级人数的。所以有：。所以有：54140（+1+）=48（人）（人）235448=32（人）（人）2348=60（人）（人）54答：四、五、六年级各有答：四、五、六年级各有 32 人、人、48 人、人、60 人参加了旅行活动。人参加了旅行活动。小结：这是一道连比的实际问题，要根据其中一个中间量（五年级人数），一小结：这是一道连比的实际问题，要根据其中一个中间量（五年级人数），一般都把中间量看做单位般都把中间量看做单位“1”“1”，来找出三个年级的人数比。，来找出三个年级的人数比。举一反三举一反三长方体棱长之和是长方体棱长之和是 8888 厘米，它的长和宽的比是厘米，它的长和宽的比是 2 2：1 1，宽与高的比是，宽与高的比是 3 3：2 2。这个长。这个长方体的表面积是多少平方厘米？方体的表面积是多少平方厘米？2.2.同学们到达森林公园，平均分成同学们到达森林公园，平均分成 3 3 组准备给森林公园植树。第一、二、三小组平组准备给森林公园植树。第一、二、三小组平均植均植 1 1 棵树的时间分别是棵树的时间分别是 2 2 分钟、分钟、3 3 分钟、分钟、4 4 分钟。现在有分钟。现在有 130130 棵树要植，如果规棵树要植，如果规定三个小组要用同样多的时间完成任务，每组各应植多少棵树？定三个小组要用同样多的时间完成任务，每组各应植多少棵树？解析：各小组在相同时间（取解析：各小组在相同时间（取 1 1 分钟）内各植（）棵树；分钟）内各植（）棵树；则三个小组的工作效率比为（：）；最后按照比例分配。则三个小组的工作效率比为（：）；最后按照比例分配。解：有题意可知；解：有题意可知；三个小组的工作效率比是三个小组的工作效率比是：，化简得：，化简得：121314工作效率比为工作效率比为 6：4：3；则；则精心整理精心整理130（6+4+3）=10（棵）（棵）一组：一组：610=60（棵）（棵）二组：二组：410=40（棵）（棵）三组：三组：310=30（棵）（棵）答：每组各应植树答：每组各应植树 60 棵、棵、40 棵、棵、30 棵。棵。举一反三：举一反三：加工一个零件，甲、乙、丙所用时间分别是加工一个零件，甲、乙、丙所用时间分别是 6 6 分钟、分钟、7 7 分钟、分钟、8 8 分钟，现在有分钟，现在有 365365个零件需要加工，如果规定个零件需要加工，如果规定 3 3 人用同样多的时间完成各自的任务，各应加工多少零人用同样多的时间完成各自的任务，各应加工多少零件？件？3.3.小明读一本书，已读的和未读的页数之比是小明读一本书，已读的和未读的页数之比是 5 5：4 4。如果再读。如果再读 2727 页，已读的和未页，已读的和未读的页数之比是读的页数之比是 2 2：1 1。这本书有多少页？。这本书有多少页？解析：这本书的总页数是不变的量，转换过程中可以把总页数看作单位解析：这本书的总页数是不变的量，转换过程中可以把总页数看作单位“1”“1”，已已读的和未读的页数之比是读的和未读的页数之比是 5 5：4 4，也就是已读的占（）份，未读的占（）份，已读的，也就是已读的占（）份，未读的占（）份，已读的页数占总页数的（）；如果再读页数占总页数的（）；如果再读 2727 页，已读的和未读的页数之比是页，已读的和未读的页数之比是 2 2：1 1，已读的，已读的页数和未读的页数都变了，他们的份数也变了，此时已读的占（）份，未读的占页数和未读的页数都变了，他们的份数也变了，此时已读的占（）份，未读的占（）份，已读的页数占总页数的（）。（）份，已读的页数占总页数的（）。小结：在把关于比的问题转化为份数问题时，同城把体重的不变量看作单位小结：在把关于比的问题转化为份数问题时，同城把体重的不变量看作单位“1”。举一反三：举一反三：甲乙两袋糖果之比是甲乙两袋糖果之比是 3:2，如果把甲袋糖果拿出，如果把甲袋糖果拿出 5kg 放入乙袋，这时甲乙之比是放入乙袋，这时甲乙之比是1:1，两袋糖果各重多少？，两袋糖果各重多少？比和比的应用比和比的应用一、填空。一、填空。1 1两个数（）又叫做两个数的比。两个数（）又叫做两个数的比。2 2把把 7.87.8：3.93.9 化成最简单的整数比是（），比值是（）。化成最简单的整数比是（），比值是（）。3 3():1 16 6()24()2418:()18:()834.155（）（）=5:8=5:8=（）（）f()5 5甲数是乙数的甲数是乙数的 1.51.5 倍，甲数与乙数的比是（）。倍，甲数与乙数的比是（）。精心整理精心整理6 6把把 2 2：5 5 的前项加上的前项加上 6 6，要使比值不变，比的后项应扩大到原来的（）倍。，要使比值不变，比的后项应扩大到原来的（）倍。7 7正方形的周长和边长的比是（）。正方形的周长和边长的比是（）。8 88.4:5 的前项扩大到原来的的前项扩大到原来的 5 倍，要使比值不变，后项应该（），如果前项加上倍，要使比值不变，后项应该（），如果前项加上12，要使比值不变，后项应加上（）。，要使比值不变，后项应加上（）。9.女生人数占男生人数的女生人数占男生人数的，则男生与女生人数的比是（），男生占总人数的，则男生与女生人数的比是（），男生占总人数的F(5)（）。（）。10.李明与王华身高的比是李明与王华身高的比是 6：5，李明比王华高（）；王华比李明矮，李明比王华高（）；王华比李明矮()。11.一份稿件，甲要一份稿件，甲要 4 小时打完，乙要小时打完，乙要 5 小时打完，甲和乙所用的时间的比是（），小时打完，甲和乙所用的时间的比是（），工作效率的比是（）。工作效率的比是（）。12.一箱苹果，吃了一箱苹果，吃了，已吃了的和剩下的比是（），比值是（）。，已吃了的和剩下的比是（），比值是（）。F(2)二、判断题。（对的在括号里打二、判断题。（对的在括号里打“”“”，错的打，错的打“”“”）1 1比的前项和后项同时乘上或除以相同的数，比值不变。（）比的前项和后项同时乘上或除以相同的数，比值不变。（）2 23 3 小时：小时：1515 分分1 1：5 5。（）。（）3.3.一杯盐水，盐占盐水的一杯盐水，盐占盐水的，盐和水的比是，盐和水的比是 1919。（）。（）914.4.比的后项不能是比的后项不能是 0 0。（）（）三、选择题。（把正确答案的序号填在括号里。）三、选择题。（把正确答案的序号填在括号里。）1 1把把 2020 克糖放入克糖放入 100100 克水中，糖与糖水的比是（）。克水中，糖与糖水的比是（）。A A1 1：5B5B1 1：6 6 C C1 1：4 42 2 女生人数是男生人数的女生人数是男生人数的，女生人数与全班人数的比是（）。，女生人数与全班人数的比是（）。54A A4 4：5B5B5 5：9 9 C C4 4：9 94 4甲数和乙数的比是甲数和乙数的比是 4:54:5，则乙数比甲数多（）。，则乙数比甲数多（）。A A20%B20%B80%C80%C25%25%5 5一项工程，甲队独做一项工程，甲队独做 4 4 天完成，乙队独做天完成，乙队独做 6 6 天完成，甲、乙工作效率的比是天完成，甲、乙工作效率的比是（）。（）。A A：B B2 2：3 3 C C3 3：2 24161四、计算四、计算1 1求比值，并化简。求比值，并化简。精心整理精心整理：0.1250.125：0.270.27438741530 0.2 25 5 吨吨：2 25 5 千千克克小小时时：6 60 0 分分1 10 0 千千米米：8 80 00 0 米米32七、应用题七、应用题1.1.一套西装一套西装 320 元，其中裤子的价格是上衣的元，其中裤子的价格是上衣的，上衣和裤子的价格各是多少元？，上衣和裤子的价格各是多少元？53一个长方形花园，周长是一个长方形花园，周长是 98 米，长和宽的比是米，长和宽的比是 4:3，这个花园的面积是多少平，这个花园的面积是多少平方米？方米？3用用 120cm 的铁丝做一个长方体的框架。长宽高的比是的铁丝做一个长方体的框架。长宽高的比是 3:2:1,。这个长方体的长、。这个长方体的长、宽、高分别是多少？宽、高分别是多少？4甲乙两个工程队共修路甲乙两个工程队共修路 360 米，甲乙两队所修的长度比是米，甲乙两队所修的长度比是 5：4，甲队比乙队多，甲队比乙队多修了多少米？修了多少米？5.妈妈比小明大妈妈比小明大 24 岁，今年妈妈与小明的年龄比是岁，今年妈妈与小明的年龄比是 5:1，小明和妈妈的年龄各是几，小明和妈妈的年龄各是几岁？岁？6配制一种消毒药，药液和水的比是配制一种消毒药，药液和水的比是 1：50，要配制这种消毒药，要配制这种消毒药 300 千克，需要千克，需要药液和水各多少千克？药液和水各多少千克？7配制一种消毒药，药液和水的比是配制一种消毒药，药液和水的比是 1：50，现有药液，现有药液 300 千克，需要加水多少千克，需要加水多少千克？千克？8配制一种消毒药，药液和水的比是配制一种消毒药，药液和水的比是 1：50，现有水，现有水 300 千克，需要加药液多少千克，需要加药液多少千克？千克？9.一瓶盐水，盐和水的重量比是一瓶盐水，盐和水的重量比是 1?：24，如果再放入，如果再放入 75 克水，这时盐与水的重量克水，这时盐与水的重量比是比是 1?：27，原来瓶内盐水重多少千克？，原来瓶内盐水重多少千克？10.甲、乙、丙三位同学共有图书甲、乙、丙三位同学共有图书 108 本，乙比甲多本，乙比甲多 18 本，乙与丙的图书数之比是本，乙与丙的图书数之比是5?：4，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？11.盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是 2?：3，红球个数与白球个，红球个数与白球个数的比是数的比是 4?：5。已知三种颜色的球共。已知三种颜色的球共 175 个，红球有多少个？个，红球有多少个？“1”的（），再求出这两个锐角分别是多少度。的（），再求出这两个锐角分别是多少度。例例 4：有两堆货物。甲堆比乙堆多：有两堆货物。甲堆比乙堆多 18 吨。甲堆与乙堆重量的比是吨。甲堆与乙堆重量的比是 9：5，两堆货物，两堆货物各有多少吨？各有多少吨？（题型（题型 4：已知两个量的比和它们的差，求这两个量分别是多少）：已知两个量的比和它们的差，求这两个量分别是多少）精心整理精心整理解析：可以把两堆货物的总重量看作单位解析：可以把两堆货物的总重量看作单位“1”，甲堆货物占单位，甲堆货物占单位“1”的（），乙的（），乙堆货物占单位堆货物占单位“1”的（），两堆货物的差量的（），两堆货物的差量 18 吨占单位吨占单位“1”的分率是（），根的分率是（），根据据“已知量已知量已知量占单位已知量占单位“1”的几分之几的几分之几=单位单位“1”的量的量”，再分别求出这两，再分别求出这两个分量。个分量。(四四)能力拓展能力拓展1.1.学校四、五、六年级共学校四、五、六年级共 140140 人参加旅行活动。四、五年级的人数比是人参加旅行活动。四、五年级的人数比是 2 2：3 3，五、，五、六年级的人数比是六年级的人数比是 4 4：5 5，问四、五、六年级各有多少人参加活动？，问四、五、六年级各有多少人参加活动？解析：解析：第一步：第一步：第二步：第二步：第三部：四、五、六三个年级的人数比为：第三部：四、五、六三个年级的人数比为：。45:1:32解：设五年级的人数为单位解：设五年级的人数为单位 1 1，则：四年级人数是五年级人数的，则：四年级人数是五年级人数的，六年级人数是，六年级人数是23五年级人数的五年级人数的。所以有：。所以有：54小结：这是一道连比的实际问题，要根据其中一个中间量（五年级人数），一小结：这是一道连比的实际问题，要根据其中一个中间量（五年级人数），一般都把中间量看做单位般都把中间量看做单位“1”“1”，来找出三个年级的人数比。，来找出三个年级的人数比。举一反三举一反三长方体棱长之和是长方体棱长之和是 8888 厘米，它的长和宽的比是厘米，它的长和宽的比是 2 2：1 1，宽与高的比是，宽与高的比是 3 3：2 2。这个长。这个长方体的表面积是多少平方厘米？方体的表面积是多少平方厘米？2.2.同学们到达森林公园，平均分成同学们到达森林公园，平均分成 3 3 组准备给森林公园植树。第一、二、三小组平组准备给森林公园植树。第一、二、三小组平均植均植 1 1 棵树的时间分别是棵树的时间分别是 2 2 分钟、分钟、3 3 分钟、分钟、4 4 分钟。现在有分钟。现在有 130130 棵树要植，如果规棵树要植，如果规定三个小组要用同样多的时间完成任务，每组各应植多少棵树？定三个小组要用同样多的时间完成任务，每组各应植多少棵树？解析：各小组在相同时间（取解析：各小组在相同时间（取 1 1 分钟）内各植（）棵树；分钟）内各植（）棵树；则三个小组的工作效率比为（：）；最后按照比例分配。则三个小组的工作效率比为（：）；最后按照比例分配。解：解：举一反三：举一反三：加工一个零件，甲、乙、丙所用时间分别是加工一个零件，甲、乙、丙所用时间分别是 6 6 分钟、分钟、7 7 分钟、分钟、8 8 分钟，现在有分钟，现在有 365365个零件需要加工，如果规定个零件需要加工，如果规定 3 3 人用同样多的时间完成各自的任务，各应加工多少零人用同样多的时间完成各自的任务，各应加工多少零件？件？