1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,第三节 泰勒级数,一、问题提出,二、泰勒定理,三、初等函数泰勒展开,四、泰勒级数间接展法,五、小结,1/23,1,一、问题提出,上一节最终我们了解到，任意一个含有非零半径幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数，这个性质是很主要，但在解析函数研究上，幂级数之所以主要，还在于这个性质逆命题也是成立。,2/23,2,设 在区域,D 内解析，是 D 中一点，,在,D,中,以 为心，,r 为半径任意做一个圆周K,在 K 中取点 ，依据Cau
2、chy 积分公式有,r,D,K,对问题分析：,对 K,上 ，有,3/23,3,4/23,4,轻易证实：,5/23,5,这个公式就称为 在 泰勒展开式，它,右端级数就称为 在 泰勒级数。,圆周K半径能够任意增大，只要 K在D内。,所以，假如 到D边界最端距离为d，,那么 在 泰勒展开式在圆域,内成立。假如右端泰勒级数收敛,半径是 R，则必有 。,6/23,6,二、泰勒定理,在区域,D 内解析，是 D 中一点，R 为 到 D 边界最短距离，则当,时，,其中,定理：,7/23,7,说明：,（1）展式是唯一,若另有展式：,则有，,所以，,8/23,8,从而收敛圆,半径等于 到离它最近f(z)奇点之间,
3、距离。,（2）,f(z)在收敛圆周上必有奇点，,例：若,收敛半径为,1，,收敛圆为,9/23,9,（3）幂级数理论只有在复数域内才弄得完全明白。,例：在实数域内便不了解为何 时，,有展式,而对于独立变数 上式左端值都是确定，这个现象从复变函数观点看，就能够完全解释清楚，因为 有两个奇点 故收敛半径为1。,10/23,10,三、初等函数泰勒展开,1.将 展成 幂级数。,（复平面内处处成立）,11/23,11,2.将 展成 幂级数。,（复平面内处处成立）,12/23,12,类似，,以上用是直接展法，惯用间接法将函数展成,幂级数。,3.将 展成 幂级数。,13/23,13,4.将 展成 幂级数。,奇
4、点为原点和负实轴，,离z=0最近,奇点是-1，所以 在 内可展成,幂级数。,14/23,14,小结：,15/23,15,（z为任意复数）,（z为任意复数）,16/23,16,四、泰勒级数间接展法,要求熟记下面两个求和公式：,17/23,17,例1 把函数 展开成幂z级数,解：,因为函数在单位圆周 上有奇点 ，,而在 内处处解析，所以它在 内,能够展开成,z 幂级数，由,等式两边逐项微分，即可得到所求展式,18/23,18,例2 把函数 展开成 z幂级数,解：函数有奇点 ，所以,R=1,函数在,内处处解析，所以它在 内能够展开成 z 幂级数，如图,19/23,19,1,2,20/23,20,例 将函数 在,展成泰勒级数。,解：,因为函数f(z)只有一个奇点z=0，所以它在,内可展成 幂级数。,21/23,21,五、小结,本节介绍了泰勒定理初等函数幂,级数展开及幂级数间接展法。熟练,利用已知泰勒展式并用间接展法将,函数展开幂级数。,放映结束，按Esc退出.,22/23,22,第 十 三 次 作 业,P143,11.(1)(2)(4),12.(1)(2)(3)(5),13.,23/23,23,
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
