定积分的应用-2名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,定积分应用课件,第1页,回顾,用定积分求曲边梯形面积问题：,及直线,所围成曲边梯形面积,其求解步骤以下：,a,b,x,y,o,一、定积分微元法,第2页,a,b,x,o,第一步：分割,将区间,任意分成,个小区间,由此曲边梯形就对应地分成,个小曲边梯形。,第二步：近似,形面积之和,即,所求曲边梯形面积,A,为每个小曲边梯,为底,小矩形面积,近似代替小曲边梯形面积,第3页,第三步：求和,第四步：取极限,总结：,上述四步中，由第一步知，,相关，,部分量和，,可加性,.,分成许多小区间，,面积,A,这个量就对应地分成许多部分量，,假如把区间,含有,这种性质称为所求量,A,对区间,则所求,而,A,是全部,a,b,x,o,所求面积,A,这个量与,第4页,就是定积分被积表示式,a,b,x,o,上述第二步中近似表示式,可确定定积分被积表示式,方法是：,于是有,再将区间,则,可写为,称,为面积,A,微元，,于是,即,记为,第5页,普通地，当所求量F符合以下条件：,以上方法称为,这就给出了定积分被积表示式,于是,“,微元法”,第6页,微元法处理实际问题普通步骤以下：,(1),依据问题详细情况，,选取一个变量,比如取,为积分变量，,并确定它改变区间,以上步骤要熟练掌握,!,第7页,如：平面图形面积；,引力和平均值,;,液体压力；,变力做功；,平面曲线弧长；,体积；,注意,微元法处理实际问题使用对象：,含有可加性量,等等,.,第8页,二、平面图形面积,1,）假如,则,S,S,即,（一）、在直角坐标系下面积问题,第9页,如图,则,第10页,熟记,用微元法：,第11页,c,d,熟记,用微元法：,第12页,所围成图形,例,1,计算由抛物线,面积,A.,解,用微元法,第13页,确定积分区间：,解,方法一：选择,x,作积分变量,1,从而得到积分区间,区间上任取一小区,间,dA,面积微元,第14页,o,x,y,确定积分区间：,面积微元,方法二：选择,y,作积分变量,解得,y=0,y=1,从而得到积分区间,区间上任取一小区,间,1,y,y+dy,dA,第15页,解,求两曲线交点,选 为积分变量,选,x,作积分变量时，需求,两块面积,y,y+dy,作面积微元,dA,dA,成图形面积,.,第16页,解,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,注意：,第17页,假如曲边梯形曲边,方程为参数方程：,o,曲边梯形面积,由上例可知：,第18页,解,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,注意：,练习,第19页,面积微元,曲边扇形面积,（二）、在极坐标系下面积问题,所围成图形，,称为曲边扇形,.,解,用微元法,第20页,解,第21页,解,所围平面图形面积,A.,例,2,求心形线,第22页,解,由对称性知总面积,=4,倍第一象限部分面积,求双纽线,所围平面图形面积,.,练习,第23页,2.,在极坐标系下面积问题,第24页,三、体积,旋转体,圆柱,圆锥,圆台,（一）、旋转体体积,由一个平面图形绕这个平面内一条,直线旋转一周而成立体,这直线叫做,旋转轴,第25页,取横坐标,x,为积分变量,普通地,轴所围成曲边梯形,及,x,轴旋转一周而成,绕,x,由连续曲线,直线,立体,它改变区间为,对应于,上任一小区,小曲边梯形,绕,x,轴旋转而成薄片,近似地等于以,f(x),为底面半径、,dx,为高圆柱体,体积，,即体积微元为,于是，在闭区间,a,b,上作定积分，,得所求旋转体,体积为,体积,第26页,例,1圆锥体体积,解,直线 方程为,利用旋转体体积公式，,知：,第27页,例,2,计算椭圆,绕,x,轴旋转而形成旋转体,体积,.,解,这个旋转体能够看成,以半个椭圆,绕,x,轴旋转而成立体,取积分变量为,x,利用,旋转体体积公式,，知：,所求体积为,第28页,求星形线,绕,x,轴旋转,组成旋转体体积,.,解,由,旋转体体积公式,，知：,练习,第29页,类似地，假如旋转体是由连续曲线,),(,y,x,j,=,直线,c,y,=,、,d,y,=,及,y,轴所围成曲边梯形,绕,y,轴旋转,体积为,熟记,一周而成立体，,第30页,例,3,旋转一周而成旋转体,体积,.,图形,解,第31页,（二）、平行截面面积为已知立体体积,设一立体位于 过点,x=a,x=b 且垂直于 x 轴两平面之间，,从而,用垂直于,x,轴任一平面截此立体所得截面积,A(x),是,x,已知函数，,x,取,x 为积分变量，在区间 a,b 上任取一小区间,过其端点作垂直 x 轴平面，,x,x+dx,作体积微元：,x,x+dx,x,x+dx,，,以,A(x),为底，,dx,为高作柱体，,用微元法：,第32页,解,取坐标系如图,底半圆方程为,截面面积,立体体积,第33页,而垂直于底面上一条固,定直径全部截面都是等边三角形立体体积,.,解,设截面面积为,取坐标系如图,底圆方程,练习,第34页,解,设截面面积为,第35页,c,d,恰当,选择积分变量,有利于简化积分运算,.,小结,1.,在直角坐标系下面积问题,注意：,第36页,2.,旋转体体积,3.,平行截面面积为已知立体体积,平面图形绕 轴旋转一周而成立体体积,平面图形绕 轴旋转一周而成立体体积,(,掌握,),(,了解,),第37页,求摆线,一拱与,0,=,y,所围成,x,轴,旋转组成旋转体体积,.,解,图形绕,练习,第38页,