定积分的概念与性质专题名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,定积分概念与性质,第1页,第五章 定积分,基本要求,了解定积分定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分概念,掌握用定积分表示一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等）方法.,第2页,2,第一节,定积分,概念与性质,定积分问题举例,定积分定义,关于函数可积性,定积分几何意义和物理意义,小结 思索题 作业,定 积 分,定积分性质,*,*,*,definite integral,第3页,3,1.,曲边梯形面积,定积分概念也是由大量实际问题,求由连续曲线,一、,定积分问题举例,抽象出,来,现举两例.,定积分概念与性质,第4页,4,用,矩形面积,梯形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想,以直代曲,显然,小矩形越多,矩形总面积越靠近曲边,定积分概念与性质,近似取代曲边梯形面积,第5页,5,采取以下四个步骤来求面积,A,.,(1),分割,(2),取近似,定积分概念与性质,长度为,为高小矩形,面积近似代替,第6页,6,(3),求和,这些小矩形面积之和可作为曲边梯形,面积,A,近似值.,(4),求极限,为了得到,A,准确值,取极限,形面积:,分割无限加细,定积分概念与性质,极限值就是曲边梯,第7页,7,2,.,求变速直线运动旅程,思想,以不变代变,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔,一个连续函数,求物体在这段时间内所经过旅程.,思绪,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段旅程再相加,便,得到旅程近似值,最终经过对时间无限,细分过程求得旅程准确值,定积分概念与性质,第8页,8,(1),分割,(3),求和,(4),取极限,旅程准确值,(2),取近似,定积分概念与性质,表示在时间区间,内走过旅程.,某时刻速度,第9页,9,二、定积分定义,设函数,f,(,x,)在,a,b,上有界,在,a,b,中任意插入,定义,若干个分点,把区间,a,b,分成,n,个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,假如不论对,(1),(2),(3),(4),上两例共同点:,2)方法一样;,1)量含有可加性,3)结果形式一样.,定积分概念与性质,第10页,10,被积函数,被积表示式,记为,积分和,怎样分法,也不论在小区间,上点,怎样取法,只要当,和,S,总趋于确定,极限,I,称这个极限,I,为函数,f,(,x,)在区间,a,b,上,定积分.,定积分概念与性质,积分下限,积分上限,积分变量,a,b,积分区间,第11页,11,(2),结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.,定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数,定积分概念与性质,相关;,注,无关.而与积分变量记号无关.,第12页,12,曲边梯形面积,曲边梯形面积负值,1.几何意义,定积分概念与性质,三、定积分几何意义和物理意义,第13页,13,几何意义,定积分概念与性质,各部分面积代数和.,取负号.,它是介于,x,轴、函数,f,(,x,)图形及两条,直线,x,=,a,x,=,b,之间,在,x,轴上方面积取正号;,在,x,轴下方面积,第14页,14,例,解,2.物理意义,t,=,b,所经过旅程,s.,o,x,y,作直线运动物体从时刻,t,=,a,到时刻,定积分概念与性质,定积分,表示以变速,第15页,15,定理1,定理2,或,记为,黎曼 德国数学家(18261866),四、,关于函数可积性,可积.,且只有有限个,可积.,当函数,定积分存在时,可积.,黎曼可积,第一类间,断点,充分条件,定积分概念与性质,第16页,16,例1,下面举例按定义计算定积分.,求函数,上定积分.,定积分概念与性质,第17页,17,定积分概念与性质,讨论定积分近似计算问题.,存在.,n,等分,用分点,分成,n,个长度相等,小区间,长度,取,有,每个小区间,对任一确定自然数,第18页,18,定积分概念与性质,取,如取,矩形法,公式,矩形法,几何意义,第19页,19,对定积分,补充要求,说明,定积分概念与性质,五、定积分性质,在下面性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限大小,第20页,20,证,(此性质能够推广到有限多个函数作和情况),性质1,定积分概念与性质,第21页,21,证,性质2,性质1和性质2称为,定积分概念与性质,线性性质,.,第22页,22,补充,例,(定积分对于积分区间含有可加性),则,性质3,定积分概念与性质,假设,相对位置怎样,上式总成立.,不论,第23页,23,证,性质4,性质5,定积分概念与性质,假如在区间,则,第24页,24,解,令,于是,比较积分值,和,大小.,例2,定积分概念与性质,第25页,25,性质5推论1,证,定积分概念与性质,假如在区间,则,于是,性质5,假如在区间,则,第26页,26,思考,比较以下积分大小.,(1),(2),(3),(4),(5)定积分概念与性质,第27页,27,证,说明,性质5推论2,定积分概念与性质,性质5,假如在区间,则,可积性是显然.,由,推论1,第28页,28,证,(此性质可用于预计积分值大致范围),性质6,分别是函数,最大值及最小值.,则,定积分概念与性质,第29页,29,定积分概念与性质,例3.,试证:,证:,设,则在,上,有,即,故,即,第30页,30,证,由闭区间上连续函数介值定理:,性质7(定积分中值定理）,定积分概念与性质,假如函数,在闭区间,连续,则在积分区间,最少存在一点,使下式成立:,积分中值公式,最少存在一点,使,即,第31页,31,定理用途,注,定积分概念与性质,性质7(定积分中值定理假如函数,在闭区间,连续,则在积分区间,最少存在一点,使下式成立:,1.不论从几何上,还是从物理上,都轻易了解,平均值公式,求,连续变量,平均值,要用到.,怎样去掉积分号来表示积分值.,2.实际上,第32页,32,积分中值公式几何解释,最少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边曲边梯形,面积,等于同一底边而高为,一个矩形面积.,定积分概念与性质,第33页,33,例5,若函数,上连续,且,证实:,定积分概念与性质,第34页,34,例6.,用定积分表示以下极限:,解,:,定积分概念与性质,第35页,35,3.,定积分性质,(注意估值性质、积分中值定理应用),4.,经典问题,(1)预计积分值;,(2)不计算定积分比较积分大小.,六、小结,1.定积分实质:,特殊和式极限.,2.定积分思想和方法:,以直代曲、以匀代变.,四步曲:,分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,定积分概念与性质,第36页,36,思索与练习,1.,用定积分表示下述极限:,解:,或,定积分概念与性质,第37页,37,思索:,怎样用定积分表示下述极限,提醒:,极限为 0!,定积分概念与性质,第38页,38,2.,P235 题3,3.,P236 题13,(2),(4),题13,(4),解:,设,则,即,定积分概念与性质,第39页,39,作业,习题5-1(234页),4.(3)(4)10.(3)12.(1),定积分概念与性质,第40页,40,