12.3角的平分线的性质PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,12.3,角平分线的性质,1,旧知回顾,一条射线把,一个角,分成两个相等的角，这条,射线,叫做这个角的平分线,.,o,B,C,A,1,2,符号语言：,射线,OC,是,AOB,的角平分线,1=,2,1.,角平分线的定义：,2,2,、点到直线距离,:,从直线,外,一点到这条直线的,垂线段的长度,，叫做这个点到直线的距离,.,O,P,A,B,点,P,到直线,AB,的距离就是,垂线段,PO,的长度,旧知回顾,3,旧知回顾,3.,三角形的角平分线：,在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,如何做角平分线呢？,4,5,1,、如图，是一个角平分仪，其中,AB=AD,BC=DC,。,将点,A,放在角的顶点,AB,和,AD,沿着角的两边放下,沿,AC,画一条射线,AE,AE,就是角平分线，你能说明它的道理吗,?,情境问题,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？,活动,2,A,D,B,C,6,2,、,证明：,在,ACD,和,ACB,中,AD=AB,（已知）,DC=BC,（已知）,CA=CA,（公共边）,ACD ACB,（,SSS,）,CAD=CAB,（全等三角形的 对应角相等）,AC,平分,DAB,（角平分线的定义）,A,D,B,C,E,7尺规作角的平分线,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于,1/2,的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,OC,射线即为所求,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）,老师提示,:,作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握,.,8,A,为什么,OC,是角平分线呢？,O,想一想：,已知：,OM=ON,，,MC=NC,求证：,OC,平分,AOB,证明,：,在,OMC,和,ONC,中，,OM=ON,，,MC=NC,，,OC=OC,，,OMC ONC,（,SSS,）,MOC=NOC,即：,OC,平分,AOB,9,1,平分平角,AOB2,通过上面的步骤，得到射线,OC,以后，把它反向延长得到直线,CD,，直线,CD,与直线,AB,是什么关系？,3,结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,A,B,O,C,D,实践应用,10,角平分线有什么性质呢？,OC,是,AOB,的平分线，点,P,是射线,OC,上的任意一点，,1.,操作测量：取点,P,的三个不同的位置，分别过点,P,作,PDOA,，,PE OB,点,D,、,E,为垂足，,测量,PD,、,PE,的长,.,将三次数据填入下表：,2.,观察测量结果，猜想线段,PD,与,PE,的大小关系，,写出结论：,_,PD,PE,第一次,第二次,第三次,C,O,B,A,PD=PE,p,D,E,11,角平分线的性质：,角的平分线上的点 到角的两边的距离相等,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：,OC,是,AOB,的平分线，点,P,在,OC,上，,PD OA,，,PE OB,，垂足分别是,D,、,E.,求证：,PD=PE.,A,O,B,P,E,D,猜想：,C,数学符号表示已知和求证：,即,12,注意,特别是文字性叙述的几何证明题,13,P,A,O,B,C,E,D,1,2,已知：如图，,OC,平分,AOB,，点,P,在,OC,上，,PD,OA,于点,D,，,PEOB,于点,E,求证,:PD=PE,14,证明：,OC,平分,AOB,（已知）,1=2,（角平分线的定义）,PD OA,，,PE OB,（已知）,PDO=PEO,（垂直的定义）,在,PDO,和,PEO,中,PDO=PEO,（已证）,1=2,（已证）,OP=OP,（公共边）,PDO PEO,（,AAS,）,PD=PE,（全等三角形的对应边相等）,P,A,O,B,C,E,D,1,2,你还可以得到其他什么结论？,1.,先证所缺,条件,2.,写,齐条件,：一个中心三个基本点,1.OD=OE,2.PO,是,DPE,的平分线,15,O,D,E,P,P,到,OA,的距离,P,到,OB,的距离,角平分线上的点,几何语言描述：,OC,平分,AOB,，,且,PDOA,，,PEOB,PD=PE,A,C,B,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,角平分线的性质：,不必再证全等,作用：,判断线段相等的依据,.,16,如图，,AD,平分,BAC,（已知）,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,判断正误：,练习,1,17,如图，,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,18,AD,平分,BAC,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，（）,DB,DC,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,19,如图,OC,是,AOB,的平分线,点,P,在,OC,上,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,、,E,PD=4cm,则,PE=_cm.,A,D,O,B,E,P,C,4,随课巩固,20,例,1:,如图，在,ABC,中，,C,90,0,，,AD,平分,BAC,交,BC,于点,D,，若,BC,8,BD,5,，则点,D,到,AB,的距离为？,A,C,D,B,E,E,DE=CD=BC-BD=8-5=3,21,在,OAB,中，,OE,是它的角平分线，且,EA=EB,，,EC,、,ED,分别垂直,OA,，,OB,，垂足为,C,，,D.,求证：,AC=BD.,O,A,B,E,C,D,课堂练习,提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质,要证,AECBED,有哪些条件？需要先证吗？,请写出证明过程,22,例,2,：如图，,ABC,的角平分线,BM,、,CN,相交于点,P,。求证：点,P,到三角形三边的距离均相等。,A,B,C,P,E,D,F,M,N,例题讲解,N,D,N,A,B,C,P,D,N,A,B,C,P,D,N,E,F,A,B,C,P,D,N,A,B,C,P,A,B,C,P,点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段,23,证明：,过点,P,作,PD,、,PE,、,PF,分别,垂直于,AB,、,BC,、,CA,，垂足为,D,、,E,、,F,BF,是,ABC,的角平分线，点,P,在,BM,上,PD=PE,（,在角平分线上的点到角的两边的距离相等）,同理,PE=PF.,PD=PE,=PF.,即点,P,到边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,A,B,C,P,D,E,F,结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等,24,练习：,如图，,的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,25,F,G,H,证明：,过点,P,作,PG,、,PF,、,PH,分别垂直于,AB,、,BC,、,CA,，垂足为,G,、,F,、,H,BD,是,ABC,的角平分线，点,P,在,BM,上,PG=PF,（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）,同理,PF=PH.,PG=PF=PH.,即点,P,到边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,两外角平分线的交点到三边的距离相等,得到结论：,26,小结,:,及画一条已知直线的垂线；,2,：角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,判断线段相等的依据,.,1.,如何作一个已知角的角平分线,27,作业布置,28,