三角形的角.docx

9.2　三角形的内角和外角

1.理解三角形内角和定理的证明,掌握三角形内角和定理及其推论,并会用它们进行有关计算.
2.知道三角形的外角,经历三角形内角与外角之间关系的探究过程,了解三角形内角与外角的关系.
3.能够按边和角对三角形进行分类.

通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理和有条理的表达能力.

让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流,获得必需的数学知识,激发学习兴趣,培养学生的相互协作意识及数学表达能力.

【重点】　
三角形内角和定理的证明及其推论;三角形内角与外角之间的关系.
【难点】
三角形的内角和和外角和的推导过程;按照不同方法对三角形进行分类.
第课时

掌握三角形内角和定理及其推论.

通过多种方法探索三角形内角和定理.

培养学生的探索热情和创新精神.

【重点】　
三角形内角和定理的探索.
【难点】
通过添加辅助线的方法推导三角形内角和定理.

【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　回忆小学时学过的有关三角形的知识.

导入一:
1.量一量:一副三角板的每个角各是多少度?一个三角板三个内角的和各是多少?
2.猜一猜:任意一个三角形的三个内角和都相同吗?它是多少度呢?
3.动动手,仔细观察.
(1)拼拼看,将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角?
(2)小组内观察比较,会得出什么结论?

[设计意图]　学生根据探究步骤,依次进行猜想、测量、拼接等活动,获得对于三角形内角和的认识.
导入二:
请你来当法官:仔细阅读三角形红和三角形蓝的对话,看看谁说得有道理.
三角形蓝和三角形红见面了.
蓝炫耀地说:“我的面积比你大,所以我的内角和也比你大!”
红不服气地说:“那可不好说噢,你自己量量看!”
同学们,它们谁说得有道理?
[设计意图]　通过情境问题引发学生对三角形内角和的思考,激发学生学习的兴趣.

　　[过渡语]　在小学,我们已经知道三角形的三个内角之和是180°.怎样说理呢?
活动1　探索三角形内角和定理
思路一
1.拼图直观感受三角形内角和.
如图所示,在小学,我们通过剪拼发现了三角形的三个内角和等于180°.从这种剪拼过程中,你能得到什么启示?其中哪两条直线是平行的?

【追问】　你能用哪些方法说明图中的相关两条直线是平行的?
(提示:可以通过内错角或同位角相等判断.)
2.拼图说明三角形内角和定理.
如图所示,已知△ABC.延长BC到点D,过点C作直线CE∥AB,得到∠4和∠5.∠4和∠5与三角形的内角有什么关系?

把上述两图结合起来看,剪拼的过程相当于把∠2沿BC方向平移到∠5的位置,从而有AB∥CE.由此我们得到启发:如果延长BC到点D,过点C作直线CE∥AB,那么∠2与∠5是同位角,∠1与∠4是内错角.利用平行线的性质定理以及等量代换,就把三角形三个内角∠1,∠2与∠3的和转化成了∠3,∠4与∠5的和,而这三个角恰好构成一个平角.
3.推导三角形内角和定理.
如图所示,已知△ABC.对∠A+∠B+∠ACB=180°的说理过程如下:

延长BC到点D,作CE∥AB.
因为CE∥AB,
所以∠1=∠4(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠5(两直线平行,同位角相等).
因为∠3+∠4+∠5=180°(平角的定义),
所以∠1+∠2+∠3=180°(等量代换),
即∠A+∠B+∠ACB=180°.
三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.
4.三角形内角和定理的其他说理方法.
　　[过渡语]　在上面的推理过程中,关键是作一条与三角形某一边平行的辅助线.
请根据下图给出的图示(过点C作ED∥AB),对“三角形内角和等于180°”说理.

【思考】　(1)在上图中,相当于把∠A和∠B移到了哪个位置?
(2)过点A作ED∥BC,对“三角形内角和等于180°”进行说理可以吗?
(3)过点B作ED∥AC,对“三角形内角和等于180°”进行说理可以吗?
[设计意图]　通过小组讨论、直观教具演示等手段,激发了学生学习的兴趣,另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.
[知识拓展]　本定理尽管证明思路很多,但其基本思想是设法将三个角拼合在一起,组成一个平角.上述探索的意义旨在锻炼发散思维能力,证明的关键在于要善于联想,不断地总结、归纳规律,利用已有知识分析和解决问题.
思路二
　　[过渡语]　结合其他的拼接方法,你还能得到怎样的证明方法?还有其他的证明方法吗?
【师生活动】　学生根据已有的证明方法和拼接经验,自主思考三角形内角和定理的证明过程,最后小组讨论,师生交流得到证明方法,学生书写证明过程.
辅助线的作法:(1)延长BC,过点C作CN∥AB.

证明:因为CN∥AB,
所以∠ACN=∠A(两直线平行,内错角相等),
∠NCM=∠B(两直线平行,同位角相等),
因为∠ACB+∠ACN+∠NCM=180°,
所以∠A+∠B+∠ACB=180°.
(2)如图所示,在BC边上任取一点D,作DE∥AB,交AC于E,DF∥AC,交AB于F.

因为DF∥AC(已作),
所以∠1=∠C(两直线平行,同位角相等),
∠2=∠DEC(两直线平行,内错角相等).
因为DE∥AB(已作),
所以∠3=∠B,∠DEC=∠A(两直线平行,同位角相等).
所以∠A=∠2等量代换).
又因为∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),
所以∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
(3)如图所示,过A点任作直线l1,

过B点作l2∥l1,过C点作l3∥l1.
因为l1∥l3(已作),
所以∠1=∠2(两直线平行,内错角相等).
同理∠3=∠4.
又因为l1∥l2(已作),
所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补),
所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°(等量代换).
又因为∠2+∠3=∠ACB,
所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(等量代换).
师生总结并板书:三角形内角和定理:三角形内角和为180°.
活动2　例题讲解
　(教材第104页例1)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=65°,求∠C的度数.

解:因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角