椭圆的定义与标准方程基础练习(含答案).doc

椭圆的定义与标准方程

一．选择题（共19小题）
1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（　　）

A．

B．

C．

D．
或

2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（　　）

A．
椭圆
B．
双曲线
C．
抛物线
D．
圆

3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（　　）

A．
4
B．
5
C．
6
D．
10

4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（　　）

A．
椭圆
B．
双曲线
C．
抛物线
D．
线段

5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（　　）

A．
10
B．
8
C．
6
D．
不确定

6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（　　）

A．
16
B．
11
C．
8
D．
3

8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（　　）

A．
5个
B．
10个
C．
20个
D．
25个

9．方程=10，化简的结果是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（　　）

A．
[1，4]
B．
[2，6]
C．
[3，5]
D．
[3，6]

11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（　　）

A．
椭圆
B．
线段

C．
椭圆或线段或不存在
D．
不存在

12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）

A．
（x≠0）
B．
（x≠0）

C．
（x≠0）
D．
（x≠0）

13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（　　）

A．

B．

C．

D．

14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（　　）

A．
甲是乙成立的充分不必要条件
B．
甲是乙成立的必要不充分条件

C．
甲是乙成立的充要条件
D．
甲是乙成立的非充分非必要条件

15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）

A．
3＜m＜4
B．

C．

D．

16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（　　）条件．

A．
必要不充分
B．
充分不必要

C．
充要
D．
既不充分又不必要

17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（　　）

A．
椭圆
B．
双曲线
C．
抛物线
D．
无法确定

18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（　　）

A．
6
B．
4
C．
2
D．
与x，y取值有关

19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共7小题）
20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是　_________　．

21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|ACBC|=　_________　．

22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=　_________　．

23．若k∈Z，则椭圆的离心率是　_________　．

24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是　_________　．

25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是　_________　．

26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：
　　．

三．解答题（共4小题）
27．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）求f（1）的值
（2）判断f（x）的单调性
（3）若f（3）=﹣1，解不等式f（|x|）＜2

28．已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣t（t为常数）并且当x＞0时，f（x）＜t
（1）求证：f（x）是R上的减函数；
（2）若f（4）=﹣t﹣4，解关于m的不等式f（m2﹣m）+2＞0．

29．已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=﹣3．
（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；
（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．

30．已知函数是奇函数．
（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．

参考答案与试题解析

一．选择题（共19小题）
1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（　　）

A．

B．

C．

D．
或

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
由题意可知点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中 ，由此能够推导出点P的轨迹方程．
解答：
解：设点P的坐标为（x，y），
∵|PF1|+|PF2|=10＞|F1F2|=6，
∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，
其中 ，
故点M的轨迹方程为 ，
故选A．
点评：
本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．

2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（　　）

A．
椭圆
B．
双曲线
C．
抛物线
D．
圆

考点：
椭圆的定义；轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定。717384
专题：
计算题。
分析：
设动圆的半径为r，由相切关系建立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题．
解答：
解：x2+y2+6x+5=0配方得：（x+3）2+y2=4；x2+y2﹣6x﹣91=0配方得：（x﹣3）2+y2=100；
设动圆的半径为r，动圆圆心为P（x，y），
因为动圆与圆A：x2+y2+6x+5=0及圆B：x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，
则PA=r﹣2，PB=10﹣r．
∴PA+PB=8＞AB=6
因此点的轨迹是焦点为A、B，中心在（ 0，0）的椭圆．
故选A．
点评：
本题主要考查了轨迹方程．当动点的轨迹满足某种曲线的定义时，就可由曲线的定义直接写出轨迹方程．

3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（　　）

A．
4
B．
5
C．
6
D．
10

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
由椭圆方程求出a的值，再由椭圆的定义即|PF1|+|PF2|=2a进行求值．
解答：
解：∵，∴a=5，
由于点P到一个焦点的距离为5，由椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a﹣5=5．
故选B．
点评：
本题考查了椭圆的标准方程和定义的应用，属于基础题，比较简单．

4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（　　）

A．
椭圆
B．
双曲线
C．
抛物线
D．
线段

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
转化思想。
分析：
计算出A、B两点的距离结合题中动点P到A、B两点距离之和为常数2，由椭圆的定义进而得到动点P的轨迹是线段．
解答：
解：由题意可得：A（﹣1，0）、B（1，0）两点之间的距离为2，
又因为动点P到A、B两点距离之和为常数2，
所以|AB|=|AP|+|AP|，即动点P在线段AB上运动，
所以动点P的轨迹是线段．
故选D．
点评：
解决此类问题的轨迹收视率掌握椭圆的定义，以及椭圆定义运用的条件|AB|＜|AP|+|AP|，A、B为两个定点，P为动点．

5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（　　）

A．
10
B．
8
C．
6
D．
不确定

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
由于点P在椭圆上，故其到两焦点距离之和为2a，从而得解．
解答：
解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8，
故选B．
点评：
本题主要考查椭圆定义的运用属于基础题．

6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程．
解答：
解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），
∴|F1F2|=2，
∵|F1F2|是|PF1|与PF2|的等差中项，
∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
即|PF1|+|PF2|=4，
∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，
∵2a=4，a=2
c=1
∴b2=3，
∴椭圆的方程是
故选C．
点评：
本题考查椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相关点法可以应用．

7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（　　）

A．
16
B．
11
C．
8
D．
3

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
根据A，B两点是椭圆上的两点，写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于4倍的a，根据AB的长度写出要求的结果．
解答：
解：∵直线交椭圆于点A、B，
∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a，
∴|AF1|+|BF1|=16﹣5=11，
故选B
点评：
本题考查椭圆的定义，是一个基础题，这里出现的三角形是一种特殊的三角形，叫焦三角形，它的周长是一个定值二倍的长轴长．

8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（　　）

A．
5个
B．
10个
C．
20个
D．
25个

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
根据a＜b，对A中元素进行分析可得到答案．
解答：
解：焦点位于y轴上的椭圆则，a＜b，
当b=2时，a=1；
当b=3时，a=1，2；
当b=4时，a=1，2，3；
当b=5时，a=1，2，3，4；
共10个
故选B．
点评：
本题主要考查椭圆的标准形式，此题的关键是根据条件得出a＜b．属基础题．

9．方程=10，化简的结果是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题；转化思想。
分析：
首先对等式进行化简，进而由椭圆的定义得到点P的轨迹是椭圆，再计算出a，b，c即可得到答案．
解答：
解：根据两点间的距离公式可得：
表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，
所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，
因为|F1F2|=2＜10，
所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，
所以b2=21．
所以椭圆的方程为：．
故选D．
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义，以及掌握形成椭圆的条件是|PF1|+|PF2|＞|F1F2|．

10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|PB|=8，则|PA|的取值范围是（　　）

A．
[1，4]
B．
[2，6]
C．
[3，5]
D．
[3，6]

考点：
椭圆的定义；椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
根据|PA|+|PB|=8，利用椭圆的定义，可知动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆，利用P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值，即可求出|PA|的最大值和最小值．
解答：
解：动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆
∵2c=2，∴c=1，
∴2a=8，∴a=4
∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值
∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5
∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5
故选C．
点评：
本题的考点是椭圆的定义，考查椭圆定义的运用，解题的关键是理解椭圆的定义．

11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（　　）

A．
椭圆
B．
线段

C．
椭圆或线段或不存在
D．
不存在

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
根据题意可得|PF1|+|PF2|=6，由于|F1F2|=6，所以可得点P在线段F1F2上运动，进而得到答案．
解答：
解：由题意可得：动点P满足条件|PF1|+|PF2|=6，
又因为|F1F2|=6，
所以点P的轨迹是线段F1F2．
故选B．
点评：
本题考查椭圆的定义，在判断是否是椭圆时要注意前提条件．考查计算能力．

12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）

A．
（x≠0）
B．
（x≠0）

C．
（x≠0）
D．
（x≠0）

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
解答：
解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a=6，c=4
∴b2=20，
∴椭圆的方程是
故选B．
点评：
本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．

13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
先根据椭圆的方程可知a和b，进而求得c，则椭圆的离心率可得．最后根据椭圆的第二定义可知P到焦点的距离与P到一条准线的距离之比为离心率，求得答案．
解答：
解：根据椭圆方程可知a=4，b=3，c==
∴e==
由椭圆的定义可知P到焦点的距离与P到一条准线的距离之比为离心率
故P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为=
故选D．
点评：
本题主要考查了椭圆的第二定义的应用．考查了考生对椭圆的基础知识的理解和灵活运用．属基础题．

14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（　　）

A．
甲是乙成立的充分不必要条件
B．
甲是乙成立的必要不充分条件

C．
甲是乙成立的充要条件
D．
甲是乙成立的非充分非必要条件

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
阅读型。
分析：
当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值．
解答：
解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，
命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆
∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，
再加上这个和大于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，
而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，
∴甲是乙成立的必要不充分条件
故选B．
点评：
本题考查椭圆的定义，解题的关键是注意在椭圆的定义中，一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离之和．

15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　）

A．
3＜m＜4
B．

C．

D．

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
进而根据焦点在y轴推断出4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，求得m的范围．
解答：
解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，
解得：．
故选D．
点评：
本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．

16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（　　）条件．

A．
必要不充分
B．
充分不必要

C．
充要
D．
既不充分又不必要

考点：
椭圆的定义；必要条件、充分条件与充要条件的判断。717384
专题：
计算题。

分析：
先看mn＞0时，当n＜0，m＜0时方程不是椭圆的方程判断出条件的非充分性；再看当mx2+ny2=mn为椭圆时利用椭圆的定义可知m＞0，n＞0，从而可知mn＞0成立，判断出条件的必要性．
解答：
解：当mn＞0时．方程mx2+ny2=mn可化为=1，当n＜0，m＜0时方程不是椭圆的方程，故“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的不充分条件；
当mx2+ny2=mn为椭圆时，方程可化为=1，则m＞0，n＞0，故mn＞0成立，
综合可知“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的必要不充分条件．
故选A
点评：
本题主要考查了椭圆的定义，必要条件，充分条件与充要条件的判断．考查了学生分析推理能力和分类讨论的思想．

17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（　　）

A．
椭圆
B．
双曲线
C．
抛物线
D．
无法确定

考点：
椭圆的定义；圆锥曲线的共同特征。717384
专题：
数形结合。
分析：
将动点M的方程进行等价转化，即 ，等式左边为点M到定点的距离，等式右边为点M到定直线的距离的，由椭圆定义即可判断M点的轨迹曲线为椭圆．
解答：
解：∵10=|3x+4y+2|，，即 ，
其几何意义为点M（x，y）到定点（1，2）的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的，

由椭圆的定义，点M的轨迹为以（1，2）为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆，
故选A．
点评：
本题考察了椭圆的定义，解题时要能从形式上辨别两点间的距离公式和点到直线的距离公式．

18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（　　）

A．
6
B．
4
C．
2
D．
与x，y取值有关

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题；证明题。
分析：
将点C（x，y）满足的方程两边平方，得4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2，整理得：．可得点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a2=4，b2=3，得c=．可知点AB恰好此椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=
2a=4．因此得到正确选项．
解答：
解：∵点C（x，y）满足，
∴两边平方，得4（x﹣1）2+4y2=（x﹣4）2，整理得：3x2+4y2=12．
∴点C（x，y）满足的方程可化为：．
所以点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a2=4，b2=3，得c=．
因此该椭圆的焦点坐标为A（﹣1，0），B（1，0），
根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4．
故选B
点评：
本题给出一个含有根式和绝对值的方程，将其化简得到圆锥曲线的标准方程，从而得到距离和为定值．着重考查了椭圆的定义和曲线与方程的知识，属于基础题．

19．在椭圆中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的定义；椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
先根据椭圆的定义求得|PF1|+|PF2|=2a，进而根据|PF1|=2|PF2|求得|PF2|利用椭圆的几何性质可知|PF2|≥a﹣c，求得a和c的不等式关系，进而求得e的范围，最后根据e＜1，综合可求得椭圆离心率的取值范围．
解答：
解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得，

根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，即a≤3c
，故，即，又e＜1，
故该椭圆离心率的取值范围是．
故选B．
点评：
本题主要考查了椭圆的定义，考查了学生对基础知识的理解和掌握．

二．填空题（共7小题）
20．方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是　k＞3　．

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
根据题意，方程+=1表示椭圆，则，解可得答案．
解答：
解：方程+=1表示椭圆，
则，
解可得 k＞3，
故答案]为k＞3．
点评：
本题考查椭圆的标准方程，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同．

21．已知A（﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=　4　．

考点：
椭圆的定义。717384
分析：
由题意得 ，即点C（x，y）到点B（1，0）的距离比上到x=4的距离，等于常数 ，点C（x，y）在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，求出a值，利用|AC|+|BC|=2a 求出它的值．
解答：
解：由条件 ，可得 ，
即点C（x，y）到点B（1，0）的距离比上到x=4的距离，等于常数 ，按照椭圆的第二定义，
点C（x，y）在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，故 c=1，=，∴a=2，
|AC|+|BC|=2a=4，
故答案为：4．
点评：
本题考查椭圆的第二定义，以及椭圆的简单性质．

22．设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=　10　．

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
先确定椭圆中2a=10，再根据椭圆的定义，可得PF1+PF2=2a=10，故可解．
解答：
解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10
∵P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，
∴根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10
故答案为：10
点评：
本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆的定义，属于基础题．

23．若k∈Z，则椭圆的离心率是　　．

考点：
椭圆的定义；椭圆的简单性质。717384
专题：
计算题。
分析：
先根据椭圆方程中分母均大于0且二者不相等求得k的范围，进而根据k是整数求得k的值代入，即可求得a和c，椭圆的离心率可得．
解答：
解：依题意可知解得﹣1＜k＜且k≠1
∵k∈Z，
∴k=0
∴a=，c==，e==
故答案为
点评：
本题主要考查了椭圆的定义和求椭圆的离心率问题．属基础题．

24．P为椭圆=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是　[7，13]　．

考点：
椭圆的定义。717384
专题：
计算题。
分析：
由题设知椭圆 +=1的焦点分别是两圆（x+2）2+y2=1和（x﹣2）2+y2=1的圆心，由此能求出|PM|+|PN|的最小值、最大值．
解答：
解：依题意，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=4和（x﹣3）2+y2=1的圆心，
所以（|PM|+|PN|）max=2×5+3=13，
（|PM|+|PN|）min=2×5﹣3=7，
则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]
故答案为：[7，13]．
点评：
本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．

25．在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是　　．

考点：
椭圆的定义。717384
分析：
利用椭圆第二定义．若在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则该点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍．
解答：
解：由椭圆+=1易得
椭圆的左准线方程为：x=，右准线方程为：x=
∵P点到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，
则P点到左准线的距离是它到右准线距离的二倍，
即x+=2（﹣x）
解得：x=
故答案为：
点评：
本题考查的知识点是椭圆的第二定义：平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）．故它到左焦点的距离是它到右焦点距离的比，等于该点到左准线的距离是它到右准线距离的比．

26．已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M过定点P（﹣1，0）且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：
　=1　．

考点：
椭圆的定义；轨迹方程。717384
专题：
计算题；数形结合。
分析：
根据P（﹣1，0）在⊙Q内，可判断出⊙M与⊙Q内切，设⊙M的半径是为r，则可表示出|MQ|，进而根据⊙M过点P，求得|MP|=r，利用|MQ|=4|MP|，根据椭圆的定义可知其轨迹为椭圆，且焦点和长轴可知，进而求得椭圆方程中的b，则椭圆方程可得．
解答：
解：P（﹣1，0）在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M（x，y），
⊙M的半径是为r，则：|MQ|=4﹣r，又⊙M过点P，
∴|MP|=r，
∴|MQ|=4﹣|MP|，即|MQ|+|MP|=4，
可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2．
∴b==
∴椭圆方程为：=1
故答案为：=1
点评：
本题主要考查了椭圆的定义．考查了学生对数形结合思想的运用和对椭圆基础知识的掌握．

三．解答题（共4小题）
27．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）求f（1）的值
（2）判断f（x）的单调性
（3）若f（3）=﹣1，解不等式f（|x|）＜2

考点：
抽象函数及其应用。717384
分析：
（1）令x1=x2代入可得f（1）=0
（2）设x1＞x2＞0 则，，代入即可得证．
（3）先根据f（3）=﹣1将2化为f（），进而由函数的单调性解不等式．
解答：
解：（1）令x1=x2得f（1）=0
（2）设x1＞x2＞0 则，∴
所以f（x）在（0，+∞）为减函数；
（3）∵f（1）=0，f（3）=﹣1∴
∴
∴
所以原不等式的解集为，或．
点评：
本题主要考查抽象函数求值和单调性的问题．根据函数单调性解不等式是考查的重点．

28．已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣t（t为常数）并且当x＞0时，f（x）＜t
（1）求证：f（x）是R上的减函数；
（2）若f（4）=﹣t﹣4，解关于m的不等式f（m2﹣m）+2＞0．

考点：
抽象函数及其应用。717384
专题：
计算题；证明题。
分析：
（1）设出两个自变量，将一个自变量用另一个自变量表示，利用已知条件，比较出两个函数值的大小，利用函数单调性的定义得证．
（2）将自变量4用2+2表示，利用已知条件求出f（2）值，将不等式中的﹣2用f（2）代替，利用函数的单调性将不等式中的法则脱去，解二次不等式求出m的范围．
解答：
解：（1）证明：设x1＜x2则
f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣t﹣f（x1）=f（x2﹣x1）﹣t
∵x2﹣x1＞0
∴f（x2﹣x1）＜t
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）是R上的减函数
（2）f（4）=f（2）+f（2）﹣t=﹣4﹣t
∴f（2）=﹣2
由f（m2﹣m）＞﹣2=f（2）
得m2﹣m＜2
解之得：原不等式解集为{m|﹣1＜m＜2}
点评：
本题考查证明抽象不等式的单调性唯一用的方法是单调性的定义；利用单调性解抽象不等式，先想法将不等式变为
f（m）＞f（n）形式．

29．已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=﹣3．
（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；
（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．

考点：
抽象函数及其应用。717384
分析：
（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件．
（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中x1、x2的任意性，可使结论得证．
（3）由1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在[m、n]上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域．
解答：
（1）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，f（x2）=f[x1+（x2﹣x1）]，
于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x2）=f（x1）+f（x2﹣x1）．
∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0．∴f（x2﹣x1）＜0．
∴f（x2）=f（x1）+f（x2﹣x1）＜f（x1）．
故函数y=f（x）是单调减函数．
（2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），
∴若令x=x′=0，则f（0）=f0）+f（0）．
∴f（0）=0．
再令x′=﹣x，则可得f（0）=f（x）+f（﹣x）．
∵f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x）．故y=f（x）是奇函数．
（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，
∴y=f（x）在[m，n]上也为单调减函数．
∴y=f（x）在[m，n]上的最大值为f（m），最小值为f（n）．
∴f（n）=f[1+（n﹣1）]=f（1）+f（n﹣1）=2f（1）+f（n﹣2）═nf（1）．
同理，f（m）=mf（1）．
∵f（3）=﹣3，∴f（3）=3f（1）=﹣3．
∴f（1）=﹣1．∴f（m）=﹣m，f（n）=﹣n．
因此，函数y=f（x在[m，n]上的值域为[﹣n，﹣m]．
点评：
（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数．
（2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数．
（3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少．

30．已知函数是奇函数．
（1）求a的值；（2）求证f（x）是R上的增函数；（3）求证xf（x）≥0恒成立．

考点：
奇偶性与单调性的综合。717384
分析：
（1）由函数是奇函数，其定义域为R，根据定义在R上奇函数图象必过原点，可得f（0）=0，解方程可求出a值；
（2）根据（1）的结论化简函数的解析式，并任取R上两个实数x1，x2，且x1＜x2，作差判断f（x1），f（x2）的大小，进而根据函数单调性的定义得到答案．
（3）根据f（0）=0，f（x）是R上的增函数，可得当x＜0时，f（x）＜0，当x=0时，f（x）=0，当x＞0时，f（x）＞0，综合讨论结果，可得答案．
解答：
解：（1）∵函数的定义域为R
根据定义在R上奇函数图象必过原点
故=0
解得a=1；
证明：（2）由（1）可得=
任取R上两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1﹣x2＜0，＞0，＞0，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣
=
=
=＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是R上的增函数；
（3）由（1）（2）得，
当x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0
当x=0时，f（x）=0，此时xf（x）=0
当x＞0时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
故xf（x）≥0恒成立
点评：
本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，熟练掌握函数奇偶性的性质及单调性的证明方法步骤是解答本题的关键．