09第五章连续时间马尔可夫链(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章：连续时间的马尔可夫链,连续时间马尔可夫链,定义,无穷小转移概率矩阵,柯尔莫哥洛夫,向前方程,与,向后方程,连续时间马尔可夫链的,应用,1,定义,5.1,：,设随机过程,X(t),t0,，状态空间,I=i,n,n0,，若对任意,0t,1,t,2,tn,1,及,i,1,i,2,i,n+1,I,，有,则称,X(t),t0,为,连续时间马尔可夫链,。,上式中条件概率可以写成,转移概率,的形式,2,定义：,若,p,ij,(s,t),的转移概率与,s,无关，则称连续时间马尔可夫链具有,平稳的或齐次,的转移概率，此时转移概率简记为,其转移概率矩阵简记为,3,时间轴,0,s,s+t,状态,i,状态,i,持续时间,i,在,0,时刻马尔可夫链进入状态,i,，而且在接下来的,s,个单位时间中过程未离开状态,i,，问在随后的,t,个单位时间中过程仍不离开状态,i,的概率是多少？,无记忆性,4,一个连续时间的马尔可夫链，每当它进入状态,i,，具有如下性质：,在转移到另一状态之前处于状态,i,的时间服从参数为,v,i,的,指数分布,；,当过程离开状态,i,时，接着以概率,p,ij,进入状态,j,，,当,v,i,=,时，称状态,i,为,瞬时状态,；,当,v,i,0,时，称状态,i,为,吸收状态,。,5,对于指数分布的随机变量,X,6,定理,5.1,：,齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质：,证明,正则性条件,7,证明,:,8,定义,5.3,对于任一,t0,，记,为,绝对概率,和,初始概率,。,分别称,p,j,(t),jI,和,p,j,jI,为齐次马尔可夫过程的,绝对概率分布,和,初始概率分布,。,9,定理,5.2,齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有下列性质：,10,例题,5.1,：,证明,:,泊松过程,X(t),为连续时间齐次马尔可夫链。,(1),先证明马氏性,(2),再证明齐次性,11,Q,矩阵和柯尔莫哥洛夫方程,引理,5.1,设齐次马尔可夫过程满足正则性条件，则对于任意固定的,i,jI,p,ij,(t),是,t,的,一致连续,函数。,12,定理,5.3,设,p,ij,(t),是齐次马尔可夫过程的转移概率且满足正则性条件，则下列极限存在：,称为,转移速率,或,跳跃强度,Q,矩阵和柯尔莫哥洛夫方程,13,若连续时间齐次马尔可夫链是具有有限状态空间,I=1,2,n,，则其,转移速率,可构成以下形式的矩阵,Q,矩阵,的每一行元素之和为,0,，对角线元素为负或,0,，其余,q,ij,0,利用,Q,矩阵可以推出任意时间间隔,t,的转移概率所满足的方程组，从而可以,求解转移概率,。,14,定理,5.4,（,柯尔莫哥洛夫向后方程,）,假设 ，则对一切,i,j,及,t0,，有,证明,由,CK,方程可以知道：,15,两边除以,h,，取极限可以得到：,即,16,定理,5.5,（,柯尔莫哥洛夫向前方程,）,在适当的正则条件下，则对一切,i,j,及,t0,，有,利用,Kolmogorov,向后方程或向前方程及下述,初始条件,，可以解得,p,ij,(t),17,柯尔莫哥洛夫,向后和向前方程的矩阵表达形式为,连续时间马尔可夫链的转移概率的求解问题就是,矩阵微分方程,的求解问题，其转移概率由其,转移速率矩阵,Q,决定。,18,柯尔莫哥洛夫向后方程,的矩阵表达形式为,19,例题,5.2,考虑两个状态的连续时间马尔可夫链，在转移到状态,1,之前在状态,0,停留的时间是参数为,的指数变量，而在回到状态,0,之前它停留在状态,1,的时间是参数为,的指数分布，求转移概率,P,00,(t),P,01,(t),P,10,(t),P,11,(t),。,20,向前方程：,解：,当,h,趋于,0,时,21,22,同理：,可求平稳分布和绝对概率分布,23,Kolmogorov,向后和向前方程所求得的解,p,ij,(t),是相同的,在实际应用中，当固定最后所处状态,j,，研究,p,ij,(t),时（,i=0,1,），采用向后方程较方便；,当固定状态,i,，研究,p,ij,(t),时（,j=0,1,），采用向前方程较方便；,24,定理,5.6,齐次马尔可夫过程在,t,时刻处于状态,jI,的绝对概率,p,j,(t),满足下列方程,定义,5.4,设,p,ij,(t),为连续时间马尔可夫链的转移概率，若存在时刻,t,1,和,t,2,，使得,则称状态,i,和,j,是互通的。若所有状态都是互通的，则称此马尔可夫链为,不可约,的。,25,转移概率,p,ij,(t),在,t,时的性质及其平稳分布关系,定理,5.7,设连续时间的马尔可夫链是不可约的，则有下列性质：,若它是正常返的，则极限 存在且等于,j,0,，,j,I,。这里,j,是方程组,的唯一非负解，此时称,j,j,I,是该过程的平稳分布，并且有,若它是零常返的或非常返的，则,26,例题,5.3,：机器维修问题,设例题,5.2,中状态,0,代表某机器正常工作，状态,1,代表机器出故障。状态转移概率与例题,5.2,相同，即在,h,时间内，及其从正常工作变为出故障的概率为,p,01,(h)=,h+o(h),；在,h,时间内，机器从有故障变为经修复后正常工作的概率为,p,10,(h)=,h+o(h),，试求在,t=0,时正常工作的机器，在,t=5,时为正常工作的概率。,27,5.3,生灭过程,设齐次马尔可夫过程 的状态空间为,转移概率为,如果：,则称 为生灭过程,.,其中 为出生率，为纯灭过程。,为死亡率，为纯生过程。,28,