第九章偏微分方程差分方法汇总.doc

第9章 偏微分方程的差分方法
含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。

9.1椭圆型方程边值问题的差分方法
9.1.1 差分方程的建立
最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程
（9.1）
G是x,y平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f(x,y)≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件
第一边值条件 （9.2）
第二边值条件 （9.3）
第三边值条件 （9.4）
这里，n表示Γ上单位外法向，α(x,y),β(x,y),γ(x,y)和k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u(x,y)在区域G的一些离散节点（xi，yi）上的近似值ui,j≈(xi，yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G={0
将G剖分为网格区域，见图9-1。h1，h2分别称为x方向和y方向的剖分步长，网格交点（xi，yi）称为剖分节点（区域内节点集合记为Gh={（xi，yi）; （xi，yi）∈G}）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh。

现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（xi，yi）上进行离散。在节点（xi，yi）处，方程（9.1）为
（9.5）
需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。为简化记号，简记节点（xi，yi）=(i,j)，节点函数值u（xi，yi）=u(i,j)。利用一元函数的Taylor展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式

代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i,j)处的离散形式

其中。舍去高阶小项，就导出了u(i,j)的近似值ui,j所满足的差分方程
（9.6）
在节点(i,j)处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为，它关于剖分步长是二阶的。这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。
在差分方程（9.6）中，每一个节点(i,j)处的方程仅涉及五个节点未知量ui,j，ui+1,j，ui-1,j，ui,j+1，ui,j-1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h1= h2=h时，它简化为

差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值ui,j ,(i,j)∈Gh外，还包括边界点值。例如，点(1,j)处方程就含有边界点未知量u0,j。因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。
对于第一边值条件式（9.2），可直接取ui,j=α（xi，yi）， (i,j)∈Γh （9.7）
对于第三（k=0时为第二）边值条件式（9.4），
以左边界点(1,j)为例，见图9-2,
利用一阶差商公式

则得到边界点(0,j)处的差分方程
（9.8）
联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{ui,j}的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。
考虑更一般形式的二阶椭圆型方程
（9.9）
其中A(x,y)≥Amin>0, B(x,y) ≥Bmin >0, E(x,y) ≥0。引进半节点
利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有
对类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程
（9.10）
其中
（9.11）
显然，当系数函数A(x,y)=B(x,y)=1, C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0时，椭圆型方程（9.9）就成为Poisson方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为阶。

9.1.2 一般区域的边界条件处理
前面已假设G为矩形区域，现在考虑G为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。
考虑Poisson方程第一边值问题
（9.12）
其中G可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线：x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,±1,…,对区域G进行矩形网格剖分，见图9-3。
如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j），（i-1,j）i,j+1）和（i,j-1）属于，则称其为正则内点，见图9-3中打“。”号者；如果一个节点（i,j）属于且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图9-3中打“.”号者。记正则内点集合为，非正则内点集合为。显然，当G为矩形区域时，成立。

在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式
（9.13）
在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。
若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中
D点，则利用边界条件可取uD=α(D)
对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B点，一般可采用如下两种处理方法。
a.直接转移法.取与点B距离最近的边界点（如图9-4中E点）上的u的值作为u(B)的近似值uB，即uB=u(E)=α(E)
直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。
b.线性插值法.取B点的两个相邻点（如图9-4中边界点A和正则内点C作为插值节点对u(B)进行线性插值

则得到点B处的方程

线性插值法精度较高，为二阶近似。
对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。求解此方程组就可得到一般区域上边值问题（9.12）的差分近似解。
对于一般区域上二阶椭圆型方程（9.9的第一边值问题，可完全类似处理。
第二、三边值条件的处理较为复杂，这里不再讨论。

9.2 抛物型方程的差分方法
本节介绍抛物型方程的差分方法，重点讨论差分格式的构造和稳定性分析。

9.2.1 一维问题
作为模型，考虑一维热传导的初边值问题
（9.14）
（9.15）
（9.16）
其中a是正常数，都是已知的连续的函数。
现在讨论求解问题（9.14）-(9.18)的差分方法。首先对求解区域G={0≤x≤l, 0≤t≤T}进行网格剖分。取空间步长h=l/N,时间步长τ=T/M,其中N,M是正整数，作两族平行直线

将区域G剖分成矩形网格，见图9-5，网格交点（xj，tk）称为节点。

用差分方法求解初边值问题（9.14）-（9.16）就是要求出精确解u(x,t)在每个节点（xj，tk）处的近似值。为简化记号，简记节点（xj，tk）=u(j,k)。
利用一元函数的Taylor展开公式，可推出下列差商表达式
（9.17）
（9.18）
（9.19）
（9.20）
1.古典显格式
在区域G的内节点(j,k)处，利用公式（9.17）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为

其中。舍去高阶小项，就得到节点近似值（差分解）所满足的差分方程
（9.21）
显然，在节点(j,k)处，差分方程（9.21）逼近偏微分方程（9.14）的误差为，这个误差称为截断误差，它反映了差分方程逼近偏微分方程的精度。现将（9.21）式改写为便于计算的形式，并利用初边值条件（9.15）与（9.16）补充上初始值和边界点方程，则得到
（9.22）
其中称为网比。
与时间相关问题差分方程的求解通常是按时间方向逐层进行的。对于差分方程（9.22），当第k层节点值已知时，可直接计算出第k+1层节点值。这样，从第0层已知值开始，就可逐层求出各时间层的节点值。差分方程（9.22）的求解计算是显式的，无须求解方程组，故称为古典显格式。此外，在式（9.22）中，每个内节点处方程仅涉及k和k+1两层节点值，称这样的差分格式为双层格式。
差分方程（9.22）可表示为矩阵形式
（9.23）

其中

2. 古典隐格式
在区域G的内节点(j,k)处，利用公式（9.18）和（9.20），可将偏微分方程（9.14）离散为

舍去高阶小项，则得到如下差分方程
（9.24）
它的截断误差为，逼近精度与古典显格式相同。改写（9.24）式为便于计算的形式，并补充上初始值与边界点方程，则得到
（9.25）

与古典显格式不同，在差分方程（9.25）的求解中，当第k-1层值已知时，必须通过求解一个线性方程组才能求出第k层值，所以称（9.25）式为古典隐格式，它也是双层格式。
差分方程（9.25）的矩阵形式为
（9.26）
其中

向量同（9.23）式中定义。从（9.26）式看到，古典隐格式在每一层计算时，都需求解一个三对角形线性方程组，可采用追赶法求解。
3.Crank-Nicolson格式（六点对称格式）
利用一元函数Taylor展开公式可得到如下等式

使用这两个公式，在点离散偏微分方程（9.14），然后利用（9.20）式进一步离散二阶偏导数，则可导出差分方程
（9.27）
其截断误差为，在时间方向的逼近阶较显格式和隐格式高出一阶。这个差分格式称为Crank-Nicolson格式，有时也称为六点对称格式，它显然是双层隐式格式。改写（9.27）式，并补充初始值和边界点方程得到
（9.28）
它的矩阵形式为
（9.29）
在每层计算时，仍需求解一个三对角形方程组。
4. Richardson格式
利用公式（9.19）和（9.20），可导出另一个截断误差为阶的差分方程

称之为Richardson格式。可改写为
(9.32)
这是一个三层显式差分格式。在逐层计算时，需用到和两层值才能得到k+1层值。这样，从第0层已知值开始，还须补充上第一层值，才能逐层计算下去。可采用前述的双层格式计算。
除上述四种差分格式外，还可构造出许多逼近偏微分方程（9.14）的差分格式，但并不是每个差分格式都是可用的。一个有实用价值的差分格式应具有如下性质：
（1）收敛性。对任意固定的节点（xj，tk）,当剖分步长时，差分解应收敛到精确解u（xj，tk）。
（2）稳定性。当某一时间层计算产生误差时，在以后各层的计算中，这些误差的传播积累是可控制而不是无限增长的。
理论上可以证明，在一定条件下，稳定的差分格式必然是收敛的。因此，这里主要研究差分格式的稳定性。
作为例子，先考查Richardson格式的稳定性。设是当计算过程中带有误差时，按Richardson格式（9.30）得到的实际计算值。是理论值，误差。假定右端项的计算是精确的，网比，则满足
（9.31）
设前k-1层计算时精确的，误差只是在第k层点发生，即
。
则利用（9.31）式可得到误差的传播情况，见表9-1。
表9-1 r=1/2时Richardson格式的误差传播
j
k
j0-4
j0-3
j0-2
j0-1
j0
j0+1
j0+2
j0+3
j0+4
k
0
0
0
0
ε
0
0
0
0
k+1
0
0
0
ε
-2ε
ε
0
0
0
k+2
0
0
ε
-4ε
7ε
-4ε
ε
0
0
k+3
0
ε
-6ε
17ε
-24ε
17ε
-6ε
ε
0
k+4
ε
-8ε
31ε
-68ε
89ε
-68ε
31ε
-8ε
ε
k+5
-10ε
49ε
-144ε
273ε
-388ε
273ε
-144ε
49ε
-10ε
k+6
71ε
-260ε
641ε
-1096ε
1311ε
-1096ε
641ε
-260ε
71ε
从表中看出，误差是逐层无限增长的。表中的计算虽然是就网比进行的，实际上对任何r>0都会产生类似现象，所以Richardson格式是不稳定的。
利用误差传播图表方法考查差分格式的稳定性虽然直观明了，但只能就具体取定的r值进行，并且也不适用于隐式差分格式。

9.2.2 差分格式的稳定性
前节构造的几种双层差分格式都可以表示为如下的矩阵方程形式
（9.32）
其中H称为传播矩阵。对于显格式H=A, 隐格式H=B-1,六点对称格式H=(I+B) -1 (I+A)。一般的三层格式也可以转化为双层格式。
为了讨论方便，设在初始层产生误差，且假定右端项的计算是精确的。用表示当初始层存在误差时，由差分格式（9.32）得到的计算解，则满足方程
（9.33）
记误差向量，则满足方程
（9.34）
定义9.1 称差分格式（9.32）是稳定的，如果对任意初始误差，误差向量在某种范数下满足
（9.35）
其中C为与h,τ无关的常数。
这个定义表明，当差分格式稳定时，它的误差传播是可控制的。
从（9.34）式递推得到

因此，差分格式稳定的充分必要条件是
（9.36）
定理9.3 （稳定性必要条件）差分格式稳定的必要条件是存在与h,τ无关的常数M,使谱半径
（9.37）
定理9.4 （稳定性充分条件）设H为正规矩阵，即,则（9.37）式也是差分格式稳定的充分条件。
下面讨论几种差分格式的稳定性。为便于讨论，引进N-1阶矩阵

这个特殊矩阵的特征值为
（9.38）
例9-1古典显格式 此时H=A=(1-2r)I+rS。 利用（9.38）式和三角函数公式，可求得H的特征值为

为使稳定性条件式（9.39）成立，必须且只须。由于H=A为实对称矩阵，所以古典显格式稳定的充分必要条件是网比
例9-2 古典隐格式 此时H=B-1,B=(1+2r)I-rS。利用（9.38）式可求得H的特征值为

显然，对任意r>0，条件（9.37）成立。注意，H=B-1仍为实对称矩阵，所以古典隐格式对任何网比r>0都是稳定的，称为绝对稳定。
例9-3 六点对称格式 此时H=(I+B)-1(I+A)，利用矩阵A和B的特征值可得到矩阵H的特征值为

则对任意r>0,条件（9.37）成立。由于A和B均为实对称矩阵，且AB=BA，则可验证H也是实对称矩阵。所以六点对称格式是绝对稳定的。

习题九

9-1 试用五点差分格式求解Poisson 方程的边值问题

其中G={-1