上海师范大学《代数》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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上海师范大学
《代数》2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知函数 z = f(2x - y,y²)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂²z/∂x∂y 的表达式。（ ）
A.2f₁₂' - f₂₁'' + 2yf₂₂'' B.2f₁₂' + f₂₁'' - 2yf₂₂'' C.2f₁₂' + f₂₁'' + 2yf₂₂'' D.2f₁₂' - f₂₁'' - 2yf₂₂''

2、判断级数∑(n=1 到无穷)n²/(n³ + 1)的敛散性。（ ）
A.收敛 B.发散

3、若级数，求其收敛半径。（ ）
A.0 B.1 C. D.

4、求级数的和。（ ）
A.1 B. C. D.

5、已知向量，向量，且向量与向量的夹角为钝角，求的取值范围。（ ）
A. B. C. D.

6、函数的定义域为多少？（ ）
A. B. C. D.[0,1]

7、设曲线，求曲线在点处的切线方程是什么？利用导数求切线方程。（ ）
A. B. C. D.

8、求定积分的值。（ ）
A. B. C. D.1

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、设，则的导数为______________。

2、求函数的导数为______。

3、已知函数，求该函数在区间[1,4]上的平均值，根据平均值公式，结果为_________。

4、已知向量，向量，则向量与向量的数量积为____。

5、若函数，则的极小值为____。

三、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）求由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形的面积。

2、（本题10分）求幂级数的收敛半径和收敛区间。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在区间[0,1]上二阶可导，且，设，证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在上可导，且，。证明：当时，。

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