1、E-mail:xuxin,5,第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）,有向曲面,：,通常我们遇到的曲面都是双侧的,例如,由方程,z,z,(,x,y,),表示的曲面分为上侧与,下侧,设,n,(cos,cos,cos,),为曲面上的,法向量,在曲面的上侧,cos,0,在曲面的,下侧,cos,0,闭曲面有内侧与外侧之分,曲面分,上,侧和,下,侧,曲面分,内,侧和,外,侧,一、对坐标的曲面积分的概念和性质,类似地,如果曲面的方程为,y,y,(,z,x,),则曲面分为左侧与右侧,在曲面的右侧,cos,0,在曲面的左侧,cos,0,如果曲面的方程为,x,x,(,y,z,),则曲面分为前侧与后侧,在曲面的前侧,
2、cos,0,在曲面的后侧,cos,0,设,是有向曲面，在,上取一小块曲面,S,把,S,投影到,xOy,面上得一投影区域,这投影区域的面积记为,(,),x,y,。假定,S,上各点处的法向量与,z,轴的夹角,的余弦,cos,有相同的符号,(,即,cos,都是正的或都是负的,),我们规定,S,在,xOy,面上的投影,(,S,),xy,为,其中,cos,0,也就是,(,),xy,0,的情形,类似地可以定义,S,在,yOz,面及在,zOx,面上的投影,(,S,),yz,及,(,S,),zx,实例,流向曲面一侧的流量,.,1.,分割,则该点流速为,.,法向量为,.,3.,取极限,2.,求和,这样的极限还会
3、在其它问题中遇到,抽去它们的具体意义,就得出下列,对坐标的曲面积分的概念,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件,:,组合形式,:,物理意义,:,表示流向,指定的流量,注意：,一个规定：,如果是分片光滑的有向曲面,我们规,定函数在,上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和,对坐标的曲面积分的性质,:,对坐标的曲面积分的性质,:,二、对坐标的曲面积分的计算,1,、逐个投影法,【,将曲面积分化为二重积分,】,注意,:,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,.,逐个投影法思路清晰,计算量大，一般不多用,2,、转换投影法,【,将曲面积分同应到别的坐标面,】,综合以上三式,有,
4、类似地,投影转换到,yoz,平面时有,:,类似地,投影转换到,zox,平面时有,:,解法,1,：,逐个投影法,所以,于是,故,解法,2,转换投影法,解,1,z,c,(0,x,a,0,y,b,),的上侧,2,z,0(0,x,a,0,y,b,),的下侧,3,x,a,(0,y,b,0,z,c,),的前侧,4,x,0(0,y,b,0,z,c,),的后侧,5,y,0(0,x,a,0,z,c,),的左侧,6,y,b,(0,x,a,0,z,c,),的右侧,练习,解,解,1,和,2,在,xoy,面上的投影区域都是,D,xy,:,x,2,y,2,1,(,x,0,y,0,),其中,是球面,x,2,y,2,z,2,1,外侧在,x,0,y,0,的部分,解,解,1,z=0,；,2,x=0,；,3,y=0,；,4,x+y+z=1,当取外侧时，,1,取下侧；,2,取后侧,；,3,取左侧；,4,取正侧,解：如图,三、两类曲面积分之间的联系,曲面,(,取下侧,),因为,综合起来有：,其中,cos,、,cos,、,cos,是有向曲面,上点,(x,y,z),处的法向量的方向余弦,两类曲面积分之间的联系的向量形式,解,由两类曲面积分之间的关系，可得：,在对称积分区域上被积函数为奇函数，则积分值为零。,
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