过双曲线.doc

过双曲线的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点。若，则这样的直线有几条？

图1
分析：把双曲线化为标准方程，这里.
若
若不垂直于x轴时，设
，这里（否则平行于渐近线，弦不存在），。设，由韦达定理得：，不等于渐近线的斜率，由知直线l与双曲线的交点A、B分布在左、右两支上，本身双曲线关于坐标轴对称，这样的直线有2条，且关于x轴对称。综上所述，这样的直线有3条。
问题1：若，则这样的直线有几条？
分析：由上面，直线l的斜率存在，设，设（），整理得，当时上式可以看成是关于的一元二次方程，
现在，上面两式都有意义，知k2有2个值，这样的k有4个值，有两条弦的端点A、B分布在左、右两支上，有两条弦的端点A、B都在右支上。综之，这样的直线有4条。
设设不存在，得
设设，得
这说明，弦AB的条数与t的大小有关系。很自然地想到，到底有什么关系？影响弦AB条数的t值的分界是多少？由这里的“设”可以看到，分界值t为2或4。
问题2：若则这样的直线有几条？
分析：。
A、B为双曲线的两个实轴顶点。这样的直线有且只有1条。
问题3：若则这样的直线有几条？
分析：或也无解。这样的直线不存在。
问题4：若，则这样的直线有几条？
分析：这样的直线有2条。
注：当或k不存在，k不存在时直线轴。可以看到，直线l为x轴、直线轴都是它的两种极端性情形。当A、B两点都落在右支时，两点一个在左支、一个在右支时，。