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频率与概率
知识点一：频率与概率的概念
频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值。
概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。
注意：任何事件的概率 0≤P（A）≤1，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，随机事件的概率是0~1之间。
频率的的基本知识
我们称每个对象出现的次数为频数。每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
注意问题：1：频数和频率能反映出每个对象出现的频繁程度；
2：频率实际上就是频数与数据总数的比值；
3：所有数据的频数之和等于数据总数，各对象频率之和等于1
例1小明在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：

第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回投球次数
5
10
15
20
25
30
每回进球次数
3
8

17

相应频率
0.6

0.4
0.8
0.68
0.6
（1）请将数据表补充完整.
（2）就数据5、10、15、20、25、30而言，这组数据的中位数是多少？
（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？并说明理由.
（结果用分数表示）

小结：当试验次数很大时，一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
例2某青少年研究所随机调查了该市某校100名学生寒假中所花零花钱的钱数（钱数取整元数），以便引导学生树立正确的消费观，根据调查数据制成了频率分布表和频率分布直方图（如图）。

（1）补全频率分布表；
（2）在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积是__________，这次调查的样本容量是__________；
（3）研究所认为，应对消费150元以上的学生提出勤俭节约的建议，试估计应对该校1000名学生中约多少名学生提出这项建议？
例3、已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法不正确的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
例4、掷一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，观察向上的一面的点数，下列属必然事件的是（ ）
A.出现的点数是7 B.出现的点数不会是0 C.出现的点数是2 D.出现的点数为奇数
知识点二：求概率的方法
1、等可能性事件的概率
如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率。
2、求概率的方法：列表法、树状图
用列表法求概率的基本步骤： 画树状图求概率的基本步骤：
(1)列举出一次试验的所有可能结果； （1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
(2)数出； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果
(3)计算概率． （3）明确随机事件，数出；
（4）计算随机事件的概率。
例1、如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3．那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少呢？
画树状图：

所以两张牌的牌面数字和为4的概率最大，两张牌的牌面数字和等于4的概率是
第一张牌的牌面数
第二张牌的牌面数
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
列表法：

所以两张牌的牌面数字和为4的概率最大，两张牌的牌面数字和等于4的概率是
例2、小明的衣柜里有两件上衣，一件是长袖的，一件是短袖的；有三条裤子，分别为白色、黄色、蓝色，他任意拿出一件上衣和一条裤子，正好是长袖上衣和白色裤子的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
例3、如图是一幅扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1、2、3、4和方块1、2、3、 4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？请你用列表法加以分析说明。

例4、小明准备今年暑假到北京参加夏令营活动，但只需要一名家长陪同前往，爸爸、妈妈都很愿意陪同，于是决定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同．每次掷一枚硬币，连掷三次．（1）用树状图列举三次抛掷硬币的所有结果2）若规定：有两次或两次以上正面向上，由爸爸陪同前往北京；有两次或两次以上反面向上，则由妈妈陪同前往北京．分别求由爸爸陪同小明前往北京和由妈妈陪同小明前往北京的概率。

规律总结：解决此类问题时应首先确定事件分几步完成。若事件分两步完成，则可用列表法或树状图来解。当分三步或者三步以上完成时，则用树状图法来解更为简便。
课堂练习：
1、拋掷均匀的正六面体骰子，出现6的概率为（ ）
A. B、 C、 D、无法确定
2、现给出1个30°的角，3个45°的角，3个60°的角和1个90°的角，从中任取3个角，能构成直角三角形的概率是（ ） A. B、 C、 D、无法确定
3、抛掷两枚硬币，则出现两个反面的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、无法确定
4、在由20名男生和15名女生组成的班级中，用抽签法确定 一名代表时，发生的概率大的是（ ）
A、男生做代表 B、女生做代表 C、都一样 D、不确定
5、某啤酒厂搞促销活动，在一箱啤酒（每箱24瓶）中有2瓶的盖内印有“奖”字，小明的爸爸买了一箱这种品牌的啤酒，打开第一瓶就中奖了，可又连续打开5瓶也没有奖，小明这时在剩下的啤酒中任意拿出一瓶，那么他拿出的这瓶中奖的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、四平市现在家庭的电话号码都是由7位数字组成的，一家庭的电话号码位于中间的数字为6的概率为（ ） A、 B、 C、 D、
7、新年联欢会上，班长准备了50张纸条，其中20张纸条上写的是数学题，10张纸条上写的是歇后语，10张纸条上写的是谜语，还有10张纸条上写的是表演滑稽动作，你抽到的签正是动作表演的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、盒子里有5个白球，3个黄球，从中有放回地摸球2次，每次摸1个，2次都摸到黄球的概率（ ）
A、 B、 C、 D、以上都不对
9、有6张已编号的卡片（从l号到6号），从中任意取出2张，则2张的号数之积为6的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、一箱灯泡有24个，灯泡的合格率为87、 5%，则小王从中任意拿出1个是次品的概率是（ ）
A.0 B、 C、 87、5% D、
二、填空题
11、同学们的衣服各式各样，假设现在你的衣橱里有一件夹克，一件中山装，一件校服上衣；有一条黑色牛仔裤，一条蓝色牛仔裤，一条校服裤子，那么你闭上眼睛任意拿出一件上衣和一条裤子时，恰好是一身校服的概率是___
12、除夕夜，小丽的妈妈包了88个饺子、为了预示某种运气，给新年带来一些快乐的气氛，其中8个饺子里放了钱币、当饺子全部煮好后，小丽吃的第一个饺子里有钱币的概率是____________、
13、老李每天上班有4种方式：步行、骑自行车、乘公交车、乘租车，今天早晨老李骑自行车上班的概率是____________、
14、每学期末，学校都要对优秀的学生进行奖励，班级都采取民主投票的方式进行选举，然后把名单报到学校、若每个班级平均给定3位三好学生，4位模范学生，5名成绩提高奖的名额，且各项均不兼得，每班平均50人、那么你作为一名学生，当选为三好学生的概率为 _____恰能得到荣誉的概率为____________、
15、从一副去掉大、小王的52张扑克牌中任意抽出2张，均是方块的概率是____、
16、某电视台综艺节目接到热线电话5 000个，现要从中抽出“幸运观众”10名，明明打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的概率为____________、

三、解答题
17、盒子里有5个大小一样的球，其中有2个是红色的，3个白色的，有放回地摸2次，即第一次摸完以后把球放回盒中再摸一次，求：
（1）2次都摸到红球的概率多大？
（2）摸到1次红球，1次白球的概率多大？
（3）2次都摸到白球的概率是多少？

18．下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色（红色与蓝色能配成紫色）游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗?

19、有一个“摆地摊”的赌主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里，让人摸球中奖，只要交2元钱就可以一次从袋子里摸3个球，结果摸到的3个球都是白球，可以得到10元的回报、请你计算一下中奖的概率，并估算一下，如果你校有200名同学每人摸一回，赌主将从你们身上骗走多少钱？

分组
频数
频率
42～44
9
0.18
44～46
7
0.14
46～48
a
0.24
48～50
8
b
51～52
5
0.10
52～54
6
0.12
54～56
3
0.06
合计
50
1.00
课后练习：
1. 某校测量了初三·一班学生的体重(单位：千克)，将所得数据整理后，列出频率分布表如右：⑴ 求a、b的值；
⑵ 求体重在50～56千克的学生所占的百分比。
⑶ 指出学生体重的中位数应落在第几小组内？

2.游乐场有人在玩一种游戏，首先需要花2元钱买一张游戏券，游戏者掷两个啤酒瓶盖，若两个瓶盖均顶朝上，游戏者可获10张游戏券，并可以玩其他游戏，否则结束．细心的小明没有马上参加，而是将人玩的结果记录下来：
两个朝上
一个顶朝上一个底朝下
两个底朝上
2次
13次
25次
（1） 根据这个数据，计算赚得游戏券的实验频率是多少？
（2）根据上题的实验结果，小明若玩20次游戏，他是赚了还是赔了？赚（或赔）了多少？

3.一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球．请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率．

4. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．
（1）用画树状图或列表的方法，求取出的两个小球上的数字之和为3的概率．
（2）求取出的两个小球上的数字之和大于4的概率．

知识点三：池塘里有多少鱼（用频率估计概率或者是已知概率求数目）
一次从鱼塘中捞出m条鱼，作上记号，然后放回去，待鱼完全混合于鱼群后，再一次从鱼塘中捕捞n条鱼，数出有记号的鱼的数目k，则有公式：
例1、为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上200条，若其中带标记的鱼有25条，那么湖里大约有 ____________条鱼。

例 2、在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（ ）
A.2 B.4 C.12 D.16
例 3、一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（ ）
A．m=3，n=5 B．m=n=4 C．m+n=4 D．m+n=8
例4、在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红球，两个黄球。如果第一次先从口袋中摸出一球后，不再放回，第二次再从口袋中摸出一球，那么两次都摸到黄球的概率是 。
规律总结：当估计某个封闭区域内个体的数量时，可以从中抽取一些个体做上标记后放回，再用实验的方法得出频率，用频率稳定与概率来得出所需结论。
知识点四：分步思想与分类思想
分步思想：如果一个事件的完成需要n步，完成第一步的概率为p1，完成第二步的概率为p2，…，第n步的概率为pn，那么整件事情完成的概率为P= p1·p2…pn
例1.：在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红球，两个黄球。如果第一次先从口袋中摸出一球后，不再放回，第二次再从口袋中摸出一球，那么两次都摸到黄球的概率是 。

红
黄

蓝

蓝

红

红

黄

例2：红与蓝配在一起就可以产生紫色，那么转动下列两个转盘，（1）的颜色与（2）上的颜色相配恰好产生紫色的概率是多少

分类思想：如果一个事件有n种结果，第一种结果的概率为p1，第二种结果的概率为p2，…，第n种结果的概率为pn，那么整件事情完成的概率为P= p1+p2+…+pn。
例：某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果发布人，试求此两人不属于同一个国家的概率。

知识点五：投针实验（几何概率）
几何概率
1.如图1，一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、

（图1） （图2） （图3）
2.如图2,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是 ( )
A、 B、 C、 D、
3.如图3，一小鸟受伤后，落在阴影部分的概率为（ ）
   A、1/2 B、1/3 C、1/4 D、1
知识点六：生日相同的概率
利用概率模型解决实际问题，例如判断游戏公平不公平等。
例1：380个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？

例2：有一个摆地摊的摊主，把8个白的、8个黑的围棋子放在一个袋子里。他规定：凡愿意摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后从袋了里摸出5个棋子，中彩的情况如下：
摸棋情况
5个白棋
4个白棋
3个白棋
其他
中彩彩金
20元
2元
0.5元
无奖
试计算：（1）一次能够摸到20元的概率；
（2）一次能够摸到2元的概率；
（3）一次能够摸到0.5元的概率;
（4）如果地摊主改变主意，只一次性中奖，只设摸5个白棋，20元的奖项，问如果200人摸奖，地摊主最多能赚多少钱。

规律总结：判定游戏是否公平，取决于概率的大小是否相等
课堂练习：
1、为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上100条做上标记，然后放回湖里去，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上200条，若其中带标记的鱼有25条，那么湖里大约有 条鱼。
2.袋子里装有红球１５个，黑球若干个．经测验知道摸出红球的概率为，
则黑球的个数是（　　）
A35 B40 C45 D50
3. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则__________．
4.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼_______尾,鲢鱼_______尾

5. 某厂生产的2000件产品中，有不合格产品m件，今分10次各抽取50件产品进行检测，平均有不合格产品1件，对m的叙述正确的是（ ）
A.m=40 B.m≠40 C.m的值应在40左右 D.无法确定
6.从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.不确定
7.两个射手彼此独立射击一目标，甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，在一次射击中，甲、乙同时射中目标的概率是（ ）

图2
1
2
3
5
4
1
2
5
4
6
Ａ.0.72 Ｂ.0.85 Ｃ.0.1 Ｄ.不确定
8.如图2所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上 的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.

9.有阜阳到合肥的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：阜阳—淮南—水家湖—合肥，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）
A.3种 B.4种 C.6种 D.12种
10.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竟猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻）．某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三翻牌获奖的概率是 （ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
11.一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白色球的概率是　　　　．
12.掷两枚硬币，一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上的概率是 ．
13.小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“锤子、剪刀、布的方式确定．请问在一个回合中三个人都出“布”的概率是　　　.
14. 某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，试估计这塘中鱼的总重量.

15.游乐场有人在玩一种游戏，首先需要花2元钱买一张游戏券，游戏者掷两个啤酒瓶盖，若两个瓶盖均顶朝上，游戏者可获10张游戏券，并可以玩其他游戏，否则结束．细心的小明没有马上参加，而是将人玩的结果记录下来：
两个朝上
一个顶朝上一个底朝下
两个底朝上
2次
13次
25次
（1） 根据这个数据，计算赚得游戏券的实验频率是多少？

（2）根据上题的实验结果，小明若玩20次游戏，他是赚了还是赔了？赚（或赔）了多少？

16.一布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球．请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率．

课后作业
1.从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A地到B地有2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不经B地直接到C地.则从A地到C地可供选择的方案有（ ）
A、20种 B、8种 C、 5种 D、13种
2.下列事件发生的概率为0的是（ ）
A、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；
B、今年冬天黑龙江会下雪；
C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；
D、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。
3.某商店举办有奖储蓄活动，购货满100元者发对奖券一张，在10000张奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个。若某人购物满100元，那么他中一等奖的概率是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（ ）
A.2 B.4 C.12 D.16
5.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是
A．m=3，n=5 B．m=n=4 C．m+n=4 D．m+n=8
6. 一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个小球，记下数字后放回；乙再从袋中随机取出1个小球记下数字．
（1）用画树状图或列表的方法，求取出的两个小球上的数字之和为3的概率．
（2）求取出的两个小球上的数字之和大于4的概率．

7.在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人?

8.在学校举办的游艺活动中，数学俱乐部办了个掷骰子的游戏。玩这个游戏要花四张5角钱的票。一个游戏者掷一次骰子。如果掷到6，游戏者得到奖品。每个奖品要花费俱乐部8元。俱乐部能指望从这个游戏中赢利吗？做出解释。

9.在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为，则放入的黄球总数=_____________
10.在复习《反比例函数》一课时，同桌的小明和小芳有一个问题观点不一致.小明认为如果两次分别从1～6六个整数中任取一个数，第一个数作为点的横坐标，第二个数作为点的纵坐标，则点在反比例函数的图象上的概率一定大于在反比例函数的图象上的概率，而小芳却认为两者的概率相同.你赞成谁的观点？
（1）试用列表或画树状图的方法列举出所有点的情形；
（2）分别求出点在两个反比例函数的图象上的概率，并说明谁的观点正确.

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