考研数一线性代数讲义.pdf

线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 1 第一讲 行列式 一、重要公式 1、(1)行列式与代数余子式定理 2 行列式按照第 k 列的展开式 =nnnnnnaaaaaaaaaD?212222111211nknkkkAaAa+.11 2,.,1=k (2)对于nnnnnnaaaaaaaaaD?212222111211=，总有=+kiDkiAaAakninKi,0.11 =+kiDkiAaAankniki,0.11 2、对角行列式与上（下）三角行列式的值 =nnaaa?2211=nnaaa?*2211=nnaaa?*2211nnaaa.2211 3 副对角行列式 000011,2222111,11211?nnnnaaaaaaaaD=11,212)1(.)1(nnnnnaaa 4、范德蒙行列式1121121111=nnnnnxxxxxxD?=nijjixx1)(5、三对角行列式 =+=+bcaanbcabcabcaabcaaacbacacbacbaDnnnnn4,)2)(1(4,42)4()4(000000000000000000222!1212?6、设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，则 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 2|.|*BABOABOA=|)1(*BAOBABAOmn=7、知识关联与拓展(1)若 A 为 n 阶矩阵，则AkkAn=(2)若 A,B 都 n 是阶矩阵，则BAAB=；反之，|A|.|B|=|AB|(3)若 A 为 n 阶矩阵,则1*=nAA(4)若 A 是 n 阶范德蒙矩阵，=1121121111nnnnnxxxxxxA?，则，二 典型问题和方法 题型 1 数字行列式的计算 (1)四阶行列式4433221100000000ababbaba的值等于多少？()(323241bbaaaa (2)求|A|=aaaaaaaaa111111111 (54321aaaaa+)问题扩展：方程组 AX=0 何时有非零解？并求出解。(3)n 阶矩阵=0111110111110111110111110?A,则行列式_=A（1)1)(1(nn）线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 3(4)记行列式)(347534453542333322212223212xfxxxxxxxxxxxxxxxx=，则方程 f(x)=0 根的个数为_2_(5)已知 4 阶矩阵 A 相似于 B,A 的特征值是 2,3,4,5,则_=EB（24）题型 2 抽象行列式的计算(1)设 n 阶方阵 A，并且行列式|A|=a0，则|A*|=_ (2)设 4 阶矩阵,432=A ,432=B，其中432,均为 4 维向量，并且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=_(3)设向量321,均为 3 维列向量，记矩阵 A=（321,），B=（321+，32142+，32193+）如果|A|=1，那么，|B|=_ (4)若21321,都是 4 维列向量，并且 4 阶行列式|1321|=m,|3221|=n,则四阶行列式|)(2123+|等于_ (A)m+n (B)-(m+n)(C)n-m (D)m-n (5)已知21,为 2 维列向量，矩阵 A=),2(2121+，),(21=B 若行列式|A|=6，则|B|=_ （-2）(6)设 A 为 n 阶正定阵，证明 A+E 的行列式大于 1(7)设 A 为 m 阶矩阵，B 为 n 阶矩阵，并且|A|=a，|B|=b,=00BAC则|C|=_ （8）已知实矩阵 A=(aij)33满足条件（1）aij=Aij,其中 Aij是 aij的代数余子式;（2）a110计算行列式|A|（提示：利用伴随矩阵行列式公式和行列式按行或列展开的公式）(9)设 A 为 n 阶非零方阵，A*是 A 的伴随矩阵，AT是 A 的转置矩阵，当 A*=AT 时，证明：0|A(10)设 A 是 n 阶矩阵,满足 AAT=E,0 时|AB|0B）nm 时 0|=AB（C）mn 时|AB|0（D）mn 时0|=AB（利用矩阵秩与行列式的关系，本题可放在矩阵秩的问题中）线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 4(13)设T)1,0,1(=，矩阵TA=，n 为正整数，则_=nAE（)2(2naa）(14)设三阶方阵BA,满足,2EBABA=102020101A，则 _|=B（1/2）(15)设矩阵=100021012A，矩阵B满足 EBAABA+=*2则_|=B（1/9）(16)A 的元素为整数，则 A-1的元素为整数的充分必要条件是|A|=1(17),为三维列向量，=OAAOA21 ,),(1=A ),3,2(2=A 并且|2|1=A，求行列式|A|(-24)(18）设 A 为 n 阶正交矩阵，AAT=E,证明：|E-A2|=0(19)矩阵33A,为三维列向量，2,AA线性无关，若 02332=AAA 求行列式的值：|EA+题型 3 行列式的性质分析 题型 3 行列式的性质分析(1)设行列式2235007022220403=D，则第四行各元素的余子式的和为_-28_ 第二讲 矩 阵 第二讲 矩 阵 一、重要概念和运算规律 1、矩阵是表示具有二维关系的一些数据的数学概念?矩阵的行列式，即按照原来的元素的次序形成的行列式，它是该矩阵一个非常重要的数量特征指标；?反对称矩阵：关于主对角线对称位置处的元素互为相反数；?正交矩阵：任意两行或者两列向量相互正交，并且都是单位向量，具体表现为：矩阵与自身的转置矩阵的乘积为单位矩阵。?矩阵的 k 阶子式：由矩阵中 k 行、k 列交叉点处的元素按照原来位置形成的行列式叫做该矩阵的一个 k 阶子式；如果是由相同行数和列数形成的子式，叫做主子式；线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 5?伴随矩阵：用 n 阶矩阵的行列式每个元素的代数余子式按照转置形式构成的矩阵,叫做原来矩阵的伴随矩阵,记为:*A,这个矩阵有着非常丰富的性质,是研究和表现矩阵 A 的规律与性质的重要的工具.2、关于乘法运算的一些特殊规律(1)222222)(BABABBAABABA+=+当且仅当 A，B 可交换时成立。222)()(BAABABAB=当且仅当 A，B 可交换，即 AB=BA 时，等式成立。22)(BABABA+当且仅当 A，B 可交换，即 AB=BA 时，等式成立。(2)AB=0 推不出 A=0 或 B=0，但是如果 B 非 0，A 为方阵，则行列式|A|=0(3)AA=2推不出 A=E 或 A=0，当且仅当 A 可逆时，A=E；当且仅当 A-E 可逆时，A=0；(4)02=A推不出 A=0，但是如果 A 为实对称矩阵时，必有 A=0 3、关于逆矩阵的运算规律(1)AA=11)(2)111)(=AkkA (3)111)(=ABAB；反之，111)(=ABAB 11111121.).(=AAAAAAsss；注意等式111)(=BAAB的应用。(4)11)()(=TTAA(5)|1|11AAA=(6)矩阵 A 可逆的充分必要条件是：存在矩阵 B 使得 AB=BA=E；或行列式|A0；或 A 的行(列)向量组线性无关；或齐次线性方程组 AX=0 没有非零解；或任给向量 b,方程组 AX=b 有唯一解；或者 A 的特征值全不为零。注意:经常利用等式 E=AA-1=A-1A 来进行矩阵运算的化简处理 4、关于转置矩阵的运算规律 AATT=)(；TTkAkA=)(；TTTABAB=)(；TTTBABA+=+)(5、伴随矩阵的运算规律 (1)EAAAAA|*=(这是分析与伴随矩阵有关问题的最基本的切入点)（2)*)(*ABAB=(3)2(,|)(2*=nAAAn(4)2(,|1*=nAAn(5)*1*)(AkkAn=(6)*)()(TTAA=(7)秩=1)(,0,1)(,1))(*nARnARnARnAR (8)=0)(,1,1)(,1)(,)(*ARnARnnARnAR 若 A 可逆的话,则有下面非常重要的公式性质:线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 6(9)*1|1AAA=，(10)1*|=AAA(这是求与分析伴随矩阵的重要方法)(11)AAA|1)(1*=(12)*11*)()(=AA (13)AAAn2*|)(=(14)由EAAAAA|*=,若 A 不可逆,或行向量组线性相关,或矩阵的行列式为零,则0*=AA,意味着:*A的列向量组成为方程组 AX=0 的解.6、初等矩阵与初等变换(1)可逆性与逆矩阵 初等矩阵都是可逆的，并且逆矩阵分别为：=1),(jiE),(jiE ，=1)(kiE)1(kiE ，=1)(kijE)(kijE 行列式：|),(jiE|=-1 ，|)(kiE|=k ,|)(kijE|=1 伴随矩阵：),(jiE*=-),(jiE，)(kiE*=k)1(kiE，)(kijE*=)(kijE(2)初等变换的初等矩阵表示 设 A 是一个nm矩阵，对 A 施行一次行初等变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对A 施行一次列的初等变换，相当于在 A 的右边乘上 n 阶的初等矩阵。例如：=+1000100121222212122122111?kaaaaaakaakaakaamnmmnnnmnmmnnaaaaaaaaa?212222111211(3)初等矩阵的作用 性质 1 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵lPP,.,1，使得 A=lPP.1 即可以用初等矩阵进行表示的矩阵才是可逆矩阵。性质 2 方阵 A 可逆的充分必要条件是：矩阵 A 可以行初等变换化成单位矩阵 E 注：由性质 2，可给出用初等变换求逆矩阵的方法，即：)()(1AEEAr 因为：)()(11=AEEAA 1AEEAc 因为：=11AEAEA 7、矩阵的等价关系 这是对矩阵进行分析的参考手段和变化手段，通过这种变换，最重要的是体现了矩阵的内在的数值元素之间的线性关系结构。主要的指标就是矩阵的秩。以此为主题的概念、方法和有关的问题将是考试的重要的题材。线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 7定义 3 如果矩阵 A 经过有限次的初等变换变成矩阵 B，就成矩阵 A 和矩阵 B 等价.矩阵的等价关系满足：反身性，AA，；对称性，若 AB，则 BA；传递性，若 AB，BC 则 AC 性质 1 矩阵 A 和 B 等价的充分必要条件是存在可逆矩阵 P,Q，使得 PAQ=B 性质 2 矩阵 A 和 B 等价的充分必要条件是 A，B 具有相同的秩。8、矩阵的秩(1)如果矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 R(A)s;如果矩阵中 所有的 t 阶子式全为 0，则tAR)(2)对于矩阵nmA ,则有 nmAR,min)(0(3)n 阶矩阵 A，nARA=)(0|1)(0|=nARA（此时称 A 为降秩矩阵）nARA=)(0|(此时称 A 为满秩矩阵)(4)若矩阵 A 与 B 等价，即 AB，则 R(A)=R(B)(5)如果矩阵mlP的秩为 m，则对于任意的矩阵nmA，总有：)()(ARPAR=，即列满秩矩阵左乘某个矩阵，该矩阵的秩不变；类似，行满秩矩阵右乘某个矩阵，该矩阵的秩也不变。(6)如果矩阵 P，Q 可逆，则有 R(PAQ)=R(A)(7)矩阵秩的几个重要不等式 矩阵并的秩的规律：)()()()(),(maxBRARBARBRAR+1)()()(+ARbARAR 矩阵和的秩的规律：)()()()()(BRARBARBBARBAR+=+矩阵乘积的秩的规律：设nmA，mnB，则)(),(min)()()(BRARABRnBRAR+(8)重要秩等式：)()()()(AARAARARARTTT=(9)2,1)(,01)(,1)(,)(*=nnARnARnARnAR(10)若 AB=0,则必有：nBRAR+)()(9 知识扩展联系(1)矩阵 A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩；(2)n 元线性方程组 Ax=b，如果 Ax=b 有解，则)()(ARbAR=如果 Ax=b 有唯一解，则)()(ARbAR=n 如果 Ax=b 有无穷多个解，则)()(ARbAR=n 如果 Ax=b 无解，则 )()(bARAR(3)方阵 A 满秩的充分必要条件是它没有零特征值。(4)矩阵 A 的秩为 1 的充分必要条件是：存在非零列向量 b，使得TbbA=线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 8三、考研重要题型 题型 1 矩阵方程问题 基本方法：将矩阵方程进行化简转化，形成待求矩阵的简单的乘积形式；方程两边乘上适当的矩阵因子，特别注意用特型矩阵（例如AE 或 A 的多项式或伴随矩阵等）来乘方程两边；利用矩阵方程有解的秩的条件来判断和求解；将矩阵方程化为向量方程来求解；(1)设 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中=410011103A，求矩阵 B(322234225)(2)设 4 阶矩阵=1000110001100011B,=2000120031204312C,且矩阵满足关 系式 A(E-C-1B)TCT=E,将上述关系式化简并求出矩阵 A (1210012100120001)(3)设 n 阶方阵 A,B,C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是阶单位矩阵，则必有(A)ACB=E (B)CBA=E (C)BAC=E (D)BCA=E(4)设矩阵=101020101A，又矩阵 X 满足 AX+E=A2+X，求矩阵 X (201030102)(5)设三阶矩阵 A、B 满足关系式:BAABAA+=61，且=7/10004/10003/1A,则_=B(100020003)(6)已知矩阵=100110111A，EABA=2 ，求矩阵 B(000000120)(7)填空题）设矩阵 A,B 满足 EBABAA82*=，其中=121A ，E 为单位矩阵,A*为A 的伴随矩阵,则 B_ 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 9(8)设11)2(=CABCET，其中 E 是四阶单位矩阵，AT是四阶方阵 A 的转置矩阵，并且 =1213212321A =1210211021B求矩阵 A(=1234012300120001)(9)已知ABAB=，其中=200012021B，则_=A(200012/102/11)(10)设矩阵=111111111A，矩阵 X 满足XAXA21*+=，其中 A*是 A 的伴随矩阵，求矩阵 X (11)设 =121 =0211 =800，TA=，TB=，T 为的转置，求解方程+=XBXAXAB44222 （)0,1,2/1()1,2,1(+=kx）(13)设矩阵 A 满足 042=+EAA,其中 E 为单位矩阵,则 1)(EA_（)(21EA+）(14)已知矩阵=111011001A ，=011101110B 且矩阵 X 满足 AXA+BXB=AXB+BXA+E E 为三阶单位矩阵，求 X （100210521）15)设矩阵=3211A，EAAB232+则_1=B（=112/11(16)若 A,B 为三阶矩阵并且满足 EBBA421=，证明：(1)A-2E 可逆(2)若=200021021B，求可逆矩阵 A (17)设三阶方阵BA,满足,2EBABA=其中 E 为三阶单位矩阵，=102020101A，则_|=B(=1/2)线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 10(18)设 A，B 为三阶矩阵，AB=2A+B，B=202040202,则：(A-E)-1=_001010100_(19)设矩阵=100021012A矩阵B满足 EBAABA+=*2则_|=B(1/9)(20)设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第一列与第二列交换得 B，再把 B 的第 二列加到第 3 列得到 C，则满足AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 （A）101001010（B）100101010（C）110001010（D）100001110(21)设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA 则 B-C 为：（A）E （B）-E （C）A （D）-A (22)假设三阶矩阵 A 满足 A*=AT，A 的第一行为三个相等的正数，则这个正数为_ )33(23)设矩阵 A=2112，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则 B=_(24)设=11334221tA，B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 t=(-3)(25)已知 A,B,C 分别是nm,pn,sp矩阵，秩 r(A)=n,r(C)=p,并且 ABC=0，证明：B=0 (26)已知 n 阶矩阵 A,B,C，其中 B,C 均可逆，并且 2A=AB-1+C，则 A=_ (A)C(2E-B)(B)C()21BE(C)B(2B-E)-1C(D)C(2B-E)-1B(27)已知矩阵 A=0100200000310021,并且EABBAA122)21(11*+=，求矩阵 B (28)已知=111111111A,EBAABA128)21(1*+=,求 B 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 11(29)矩阵方程组问题 设矩阵 A,B,CD 均为 n 阶方阵,A+B,A-B 为可逆矩阵,满足方程 组=+=+DAYBXCBYAX,求满足方程的矩阵 X,Y (30)=011431321A ,=000110101B ,求可逆矩阵 P,使得 A=B(=134011023P)题型 2 方阵的 n 次幂问题 基本方法:(1)有限计算,归纳证明;(2)利用秩 1 矩阵的乘积分解;(3)利用矩阵可交换乘积的和分解;(4)利用矩阵相似于对角矩阵;(5)利用关于幂的周期性.(1)已知 AP=PB，其中=100000001B，=112012001P，求 A，A5(116002001)(2)已知)3,2,1(=)31,21,1(=，设TA=，则_=nA(3)设=101020101A而 2n为正整数，则_21=nnAA(0)(4)设为 3 维列向量，T是的转置，T=111111111=T=_3_ (5)设矩阵=100001010A，APPB1=，其中 P 为三阶可逆矩阵，则_222004=AB (6)二阶矩阵 A，满足3,0=lAl，证明：02=A 题型 3 逆矩阵问题(1)设=300041003A，则逆矩阵_)2(1=EA(2)设 4 阶矩阵=1100210000120025A，则 A 的逆矩阵 A-1是_(3)设 n 阶方阵 A,B,C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是阶单位矩阵，则必有(A)ACB=E (B)CBA=E (C)BAC=E (D)BCA=E 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 1212、A 的元素为整数，则 A-1的元素为整数的充分必要条件是|A|=1 利用矩阵与伴随矩阵和逆矩阵的关系，以及了解矩阵与逆矩阵行列式乘积规律(4)设 A,B,A+B,A-1+B-1均为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于 (A)A-1+B-1 (B)A+B (C)A(A+B)-1B (D)(A+B)-1(5)矩阵 A 的逆矩阵为=3111211111A，求伴随矩阵*A的逆矩阵(101022125)(6)=000000000000121?nnaaaaA0ia则_1=A(=1211/1/1/1/1nnaaaaA?(7)设=543022001A，则_)(1*=A(A101)(8)假设TEA=，其中 E 是 n 阶单位矩阵，是 n 维非零列向量，T是的转置向量，试证明：(1）AA=2 的充要条件是1=T（2）1=T时，A 为不可逆矩阵 TTTTEEEA)2()()1(2=,TTTEE=)2(,0)1(=TT,0T,1=T)2(1=T AA=2,若 A 可逆，则用逆矩阵作用一下，即等式两边乘一下，得到：EA=，与条件矛盾 或：0)()(=TTEA0,即方程组0=Ax有非零解,从而系数行列式为 0,即 A 为不可逆矩阵 或:AA=2,改变形式可得到:0)(=AEA,而TEA=,0就意味着一个重要的信息,即0 EA,就是说,EA中的列向量中至少一个不为零,从0)(=AEA可知,方程组0=Ax有非零解,从而系数行列式为 0,即 A 为不可逆矩阵.(9)设 A 为 n 阶非奇异矩阵，为 n 维列向量，分块矩阵=|0*AAEPT，=bAQT，（1）计算并化简 PQ（2）证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是bAT1 ()(|12=AbAPQT(10)=7600054000320001A，)()(1AEAEB+=，求(E+B)-1(4300032000210001)线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 13(11)A 满足 042=+EAA,其中 E 为单位矩阵,则1)EA ()2(21EA+）(12)设矩阵=3211A，EAAB232+=则_1=B (112/10)(13)若 A,B 为三阶矩阵并且满足 EBBA421=，证明：(1)A-2E 可逆 (2)若=200021021B，求可逆矩阵 A (200011020)(14)设向量Taa),0,.,0,0,(,=，0 (B)1rr (C)1rr=(D)r与 r1的关系依 C 而定(3)设 Amn矩阵的秩为 mn，下述结论中正确的是(A)A 的任意 m 个列向量组必线性无关 (B)A 的任意 M 阶子式不等于零(C)A 通过初等变换，必可化为(Im 0)的形式(D)非齐次方程组 Ax=b 一定有无穷多组解4)A 为34矩阵，并且其2)(=Ar，=301020201B求矩阵的秩)(ABr (2)(5)=111?aaaaaaA为秩是 n-1 的 n 阶方阵，（3n）则 a_ (A)1 (B)n11 (C)-1 (D)11n(6)（填空题）设矩阵=kkkkA111111111111 且秩3)(=Ar 则_=k-3）(7)设三阶矩阵=abbbabbbaA，若的伴随矩阵*A的秩为 1，则必有 (A)a=b 或 a+2b=0 （B）a=b 或 02+ba (C）ba且 a+2b=0 （D）ba且02+ba 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 15(8)设矩阵=001010100B，已知矩阵 A，B 相似，则秩（A-2E）与秩 (A-E)之和等于 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(9)假设线性方程组=+=+=+1315341432143214321bxxxaxxxxxxxxx有三个线性无关的解，（1）证明：方程组的系数矩阵的秩为 2（2）求 a,b 的值，以及方程组的通解。(10)对于任意矩阵 A，证明：)()()()(TTTAARAARARAR=(11)方阵 A，B，如果满足矩阵方程EABA=22，求秩 R(AB-BA+3A)题型五 矩阵的初等变换 基本方法：用初等变换的矩阵乘积表示形式分析；利用初等矩阵的逆矩阵公式。(1)设=333231232221131211aaaaaaaaaA，+=133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB=1000010101P =1010100012P 则必有 （A）BPAP=21 （B）BPAP=12 （C）BAPP=21 （D）BAPP=12(2)假设矩阵 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行进行交换后得到的矩阵记为 B (1)证明矩阵 B 是可逆的 (2)求 AB-1 (ijE)(3)设 A，B 为同阶可逆方阵，则_ (A)AB=BA(B)存在可逆方阵 P，使得 P-1AP=B(C)存在可逆方阵 P，使得 PTAP=B (D)存在可逆方阵 P、Q，使得 PAQ=B (4)设=44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA ，=41424344313233342122232411121314aaaaaaaaaaaaaaaaB =00010100001010001P=10000010010000012P 其中 A 可逆。则 B-1等于_ 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 16 （A）211PPA （B）211PAP （C）121APP （D）112PAP(5)A 是 3 阶方阵，将 A 的第一列与第二列交换得 B，再把 B 的第二列加到第 3 列得到 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q 为 （A）101001010（B）100101010（C）110001010（D）100001110(6)(051)设 A 为 n 阶可逆矩阵，交换 A 的第一行与第二行得到矩阵 B，则（A）交换*A的第一列与第二列得*B（B）交换*A的第一行与第二行得*B（C）交换*A的第一列与第二列得-*B（D）交换*A的第一行与第二行得-*B(7)设 A 为三阶矩阵，将 A 的第二行加到第一行得 B，再将 B 的第一 列的-1 倍加到第二列得 C，记 =100010011P，则（）（A）C=P-1AP （B）C=PAP-1 （C）C=PTAP （D）C=PAPT 题型六 伴随矩阵的问题(1)设 A 为非奇异矩阵，2n，则有(A)(A*)*=|A|n-1A (B)(A*)*=|A|n+1A (C)(A*)*=|A|n-2A (D)(A*)*=|A|n+2A (2)设 A 是任一 n 阶（3n）方阵，A*是其伴随矩阵，又 k 常数,1,0 k，则必有(kA)*_(A)KA*(B)kn-1A*(C)knA*(D)k-1A*(3)设 A,B 为 n 阶矩阵，A*、B*分别为 A ,B 对应的伴随矩阵，分块矩阵=BOOAC，则 C 的伴随矩阵 C*=_(A)*|BBOOAA(B)*|AAOOBB (C)*|ABOOBA (D)*|BAOOAB 第三讲 n 维向量与向量空间 一、重要性质和原理 1、向量组的线性表示(1)向量 b 可以由向量组mA.,21，：线性表示等价于线性方程组bxxmm=+.11有解；从而等价于(R).,21m，=(R).,21bm，线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 17(2)定理：向量组lB,.,1：能由向量组mA.,21，：线性表示的充分向量组mA.,21，：与向量组lB,.,1：等价的充分必要条件是：秩),()(BARBRAR=）（其中 A，B 是由两个向量组形成的矩阵。(3)一个线性无关的向量组，不能够由个数比它少的向量组线性表示。2、向量组的线性相关性(1)向量组mA.,21，：构成矩阵 A，则该向量组线性相关的充分必要条件是：方程组 Ax=0,即：0.11=+mmxx 有非零解；(2)向量组mA.,21，：构成矩阵 A，则该向量组线性无关的充分必要条件是：方程组 Ax=0 即：0.11=+mmxx 只有零解；(3)核心定理：向量组mA.,21，：线性相关的充分必要条件是它们构成的矩阵 A 的秩小于向量的个数，即mARn,已知 BA=E，试判断 A 的列向量组是否线性相关？为什么？线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 20(5)已知向量组321,，4线性无关（A）14433221,+线性无关（B）14433221,线性无关(C）14433221,+线性无 关（D）14433221线性无关(6)选择题 假设有两个 n 维的向量组m,.,21 和m,.,21（双向量组 对象问题，推广到三向量组对象也行吗？）若存在两组不全为零的数m,.,1和m,.,1，使 有线性组合关系：+mmm)()(111?0)()(111=+mmm?则(1)m,.,21 和m,.,21 线性相关(2)m,.,21 和m,.,21 线性相关(3)mmmm+,1111?线性无关(4)mmmm+,1111?线性相关(7)选择题 设有三个向量=321332123231,cccbbbaaa，则三条直线0111=+cybxa，0222=+cybxa ，0333=+cybxa3,2,1,022=+ibaii 交于一点的充分必要条件是：(1)321,线性相关 (2)321,线性无关(3)=),(321r),(21r (4)321,线性相关，21,线性无关 (8)选择题 向量组321,线性无关，则下面的向量组中线性无关的是：_(A)21+，32+，31+（B）21+，32+，312+C212+，3232+，313+（D）321+，3212232+,321553+(9)设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 AKX=0 有解向 量 且使得 01kA，证明：向量组 12,.,kAAA是线性无的。(10)设 向量T)3,1,1,1(1=T)1,5,3,1(2=Tp)2,1,2,3(3+=,Tp),10,6,2(4=(1)p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量T)10,6,1,4(=用 4321,线性表示出来？(,2p 4)(=AR ,4321212432+=PPPP)（2）p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的一个极大线性无关组和它的秩。),2(321=P 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 21(11)设 n 维列向量组 m,.,21（nm）线性无关，则 n 维列向量组 m,.,21 线性无关的充分必要条件是 _ (A)m,.,21可由 m,.,21线性表示 (B)m,.,21可由 m,.,21 线性表示 (C)m,.,21与 m,21等价 (D)矩阵 A=(m,.,21)与矩阵 B=(m,.,21)等价(12)设Tiniiiaaa),.,(21=，),.,2,1(nri=是 n 维实向量，并且r,.,21线性无关，已知Tnbbb),.,(21=是线性方程组=+=+0.0.1111111nnrrnnxaxaxaxa?的非零解向量，试判断向量组 r,.,21,的线性相关性。(线性无关)(13)设 S,.,21 为线性方程组 AX=0 的一个基础解系，22111tt+=，32212tt+=，121ttss+=，其中 21,tt为常数。试问 21,tt满足什么关系时，s,.,21也为 AX=0 的一个基础解系？(0)1(211+ssstt)(14)设向量组 321,线性无关，向量 1可由 321,线性表示，而 向量 2不能由321,线性表示，则对于任意的常数 k 必有 (A)321,21+k 线性无关 (B)321,21+k 线性相关 (C)321,21k+线性无关 (D)321,21k+线性相关 (15)设向量组),0,(1ca=，)0,(2cb=，),0(3ba=线性无关，则 a,b,c 必满足关系式_)0(abc(16)设向量组I：r,.,1可由II：s,.,1线性表示，则(A）当 rs 时，向量组II必线性相关（C）当 rs 时，向量组I必线性相关(17)设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 22(18)设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a）(3,2,1,a)(4,3,2,1)线性相关，并且 1a，则 a=_(1/2)(19)设1，2是 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1，2，则1，A(1+2)线性无关的充分必要条件是 （A）01（B）02 （C）1=0 （D）2=0 题型二 向量组的秩的问题（应用、判断、不同表现形式的向量组）(1)已知向量组)4,3,2,1(1=,)5,4,3,2(2=)6,5,4,3(3=)7,6,5,4(4=求它的秩 (2)(2)设有向量组T)4,2,1,1(1=，T)2,1,3,0(2=，T)14,7,0,3(3=T)0,2,2,1(4=T)10,5,1,2(5=则该向量组的极大线性无关组是：（A）321,（B）421,（C）521,（D）5421,(3)已知向量组（I）321,（II）4321,（III）54321,秩分别为3)()(=IIRIR 4)(=IIIR 证明：向量组45321,的秩为 4(4)1,1,2,1(1=，)0,0,2(2t=，)2,5,4,0(3=的秩为 2，则 t=_(3)(5)向量组=1101 =122a=013b 与向量组=3211=1032=7693 具有相同的秩，且3 可由321,线性 表示，求 a,b 的值 (答案 a=15,b=5)(6)设s,.,1 均为 n 维向量，下列结果不正确的是：(A）若对任意一组不全为零的数skkk,.2,1,都有0.2211+sskkk,则s,.,1线性无关 （B）若s,.,1线性相关,则对于任意一组不全为零的数 skkk,.2,1,总有 0.2211=+sskkk（C）s,.,1线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D）s,.,1线性无关的必要条件是此向量组中任意两个向量都线性无关.(7)设向量组)0,2,1(1=)3,2,1(2aa+=)2,2,1(3bab+=)3,3,1(=讨论当 a,b 取何值时 （1）不能由321,线性表示 （2）可由321,唯一线性，并求出表示式 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 23 （3）可由321,唯一线性，但表示式不唯一，并求出表示式。(答案:a=0 ;21/1)/11(,0aabaa+=;)/1()/11(,0321ccaaba+=(8)确定常数 a，使向量组Ta),1,1(1=,Ta)1,1(2=,Ta)1,1,(3=可由向量组 Ta),1,1(1=,Ta)4,2(2=,Taa),2(3=线性表示，但是向量组 1,2,3不能由向量组1,2,3线性表示 (答案:a=1)(9)设 4 维向量组，,)1,1,1,1(1Ta+=,)2,2,2,2(2Ta+=Ta)3,3,3,3(3+=，Ta)4,4,4,4(4+=，问 a 为何值时，4321,线性相关？当4321,线性相关时，求出其一个极大线性无关组，并将其它向量用该极大线性无关组线性表示出来。题型三 向量组的线性表示问题(1)已知向量)3,2,0,1(1=,)5,3,1,1(2=)1,2,1,1(3+=a)8,4,2,1(4+=a )5,3,1,1(+=b (1)a,b 为何值时，不能表示成4321,的线性组合？(2)ab 为何值时，有4321,的唯一的线性表示式？并写出表达式 (答案:a=-1,0b;4321011112,1+=ababaaba)(2)设向量组321,线性相关，向量组432,线性无关，问：(1)321,能否由由线性表出？证明你的结论(2)4能否由321,线性表出？证明你的结论(3)若向量组,线性无关；,线性相关，则_ （A）可由,线性表示 （B）必不可由,线性表示 （C）必可由,线性表示 （D）不可由,线性表示(4)T)2,0,4,1(1=.,T)3,1,7,2(2=Ta),1,1,0(3=Tb)4,10,3(=问：（1）a,b 取何值时，不能由 321,线性表示？（2）a,b 取何值时，可由 321,线性表示？并写出线性表示式。(答案;2b212,1,2+=ab)2()12(,1,2321kkkab+=(5)设向量可由向量组 m,.,21线性表示，但不能够由向量组 (I)121,.,m线性表示，记向量组 (II)121,.,m,，则_ (A)m不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示；(B)m 不能由 (I)线性表示，但可由(II)线性表示；(C)m能由(I)线性表示，也能 线 性 代 数 考 研 辅 导 资 料 青 岛 理 工 大 学 24 由(II)线性表示；(D)mm能由(I)线性表示，不能由(II)线性表示(6)设向量组Ta)10,2,(1=T)5,1,2(2=