高三数学第三次质检试题(北师大版).doc

江西省景德镇市2010-2011学年高三第三次质检试题
数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数，，则在复平面内对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合，，则集合等于（ ）
A． B． C． D．
3．若函数，下列结论中正确的是（ ）
A． 函数为偶函数 B．函数最小正周期为
C． 函数的图象关于原点对称 D．函数的最大值为
4．设表示与中的较大者，则的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．不存在
5．各项都是正数的等比数列中，且、、成等差数列，
则的值为（ ）
A． B． C． D．或
6．按如图所示的程序框图运算，若输出，则输入的的取值范围是（ ）
A．， B．（6，19 C．， D．（6，19）
7．若二面角为，直线，则所在平面内的直线与所成角的取值范围是（ ）
A．（0， B．[， C． D．
8．已知双曲线的准线过椭圆的焦点， 则直线与椭圆至少有一个交点的充要条件为（
A．，， B．，
C．，， D．，
9．以下三个命题：①，是方程一个有解区间②在中，，，，求边长时应有两个解③已知，则；其中正确的命题个数为（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知关于的不等式的解集为空集，则
的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应横线上。
11．已知向量，，，，，，且，则_____________
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________

13．若函数满足，且，时，，则函数的图象与的图象的交点个数为____________
14．在的展开式中，所有的指数为2且的指数不为1的项的系数之和为
_____________
15．选做题（本题共2小题，任选一题作答，若做两题，则按所做的第①题给分）
（1）已知不等式的解集为，，则的值为__________
（2）曲线： 与曲线： ，的交点的极坐标为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布与曲线
拟合（，单位为小时，表示气温，单位为摄氏度，，，现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高。
（1）求这条曲线的函数表达式；
（2）这天气温不低于10摄氏度的时间有多长？

17．（本小题满分12分）
已知数列为等差数列，其前项和为，且，
（1）求；
（2）若对任意，，都有
,求的最小值。

18．（本小题满分12分）
某中学有A、B、C、D、E五名同学在高三“一检”中的名次依次为1，2，3，4，5名，“二检”中的前5名依然是这五名同学。
（1）求恰好有两名同学排名不变的概率；
（2）如果设同学排名不变的同学人数为，求的分布列和数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=，
PC⊥平面ABCD，点E为AB中点。AC⊥DE，
其中AD=1，PC=2，CD=；
1 求直线PC与平面PDE所成的角；
2 求点B到平面PDE的距离。

20．（本小题满分13分）
设
（1）设，求的单调区间；
（2）若不等式对任意，，，恒成立，求的取值范围。

21．（本小题满分14分）
已知动点P到直线的距离等于P到圆的切线长，设点P的轨迹为曲线E；
（1）求曲线E的方程；
（2）是否存在一点， ， 过点任作一直线与轨迹E交于、两点，点 （， ）都在以原点为圆心，定值为半径的圆上？若存在， 求出、、的值；若不存在，说明理由。

景德镇市2010-2011学年高三第三次质检
答案（理科数学）
1． D
2．C
3．C

4． A
5． B

6． B
7．D
8． A
9． A
10． D
11．
12.
13. 6
14．
15．
（0，0），，
16．（1）b=(4+12）÷2=8
A=12-8=4
，
所以这条曲线的函数表达式为：
（2）

∴
17-9=8 这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时。
17．

∴
（2）∵
∴

的最小值为48。
18．（1）第二次排名，恰好有两名同学排名不变的情况数为：（种）
第二次排名情况总数为：A
所以恰好有两名同学排名不变的概率为
（2）第二次同学排名不变的同学人数可能的取值为：5，3，2，1，0

X分布列
X
0
1
2
3
5
p

X的数学期望EX=
19．如图建立空间坐标系
设BC=，则A（1，，0），D（0，，0）
B（，0，0），E（，，0），（0，0，2）
（1，，0），，，
∵AC⊥DE
∴
∴E（，，0）
设平面PDE的一个法向量（，，）
，，-2），（，，
，
令，得， 所以（，，）
设直线PC与平面PDE所成的角为
∵（0，0，2）
∴，=
∴
（2）（-2，0，2）
设点B到平面PDE的距离为，则

20（1）
定义域为：，，

令，得单调增区间：，和，
令，得单调增区间：，和，
（2）不等式化为：

现在只需求的最大值和）的最小值
在[0，1]上单调递减
所以的最大值为0
而）是关于的一次函数
故其最小值只能在或处取得
于是得到：
也就是
,所以的取值范围是：[-1，1]
21．（1）设，圆方程化为标准式：
则有

∴曲线E的方程为：
（2）过点任作的直线方程可设为：为直线的倾斜角）
代入曲线E的方程，得

由韦达定理，得

令与同时为0
得，
此时为定值

故存在