高三数学第二轮专题讲座复习：关于不等式证明的常用方法.doc

高三数学第二轮专题讲座复习：关于不等式证明的常用方法高考要求
不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合 高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力
重难点归纳
1 不等式证明常用的方法有 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法
(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证
(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野
2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法
证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点
典型题例示范讲解
例1证明不等式(n∈N*)
命题意图 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力
知识依托 本题是一个与自然数n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等
错解分析 此题易出现下列放缩错误

这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的
技巧与方法 本题证法一采用数学归纳法从n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法 证法二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标 而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省
证法一 (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立
(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，

∴当n=k+1时，不等式成立
综合(1)、(2)得 当n∈N*时，都有1+＜2
另从k到k+1时的证明还有下列证法

证法二 对任意k∈N*，都有

例2求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值
命题意图 本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力
知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值
错解分析 本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜)，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的 其原因是 (1)缩小了x、y的范围 (2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的
技巧与方法 除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max 若 a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题 还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化
解法一 由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得
x+y+2≤a2(x+y)，即2≤(a2－1)(x+y)， ①
∴x，y＞0，∴x+y≥2， ②
当且仅当x=y时，②中有等号成立
比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，
∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是
解法二 设
∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，
∴≤1，的最大值是1 从而可知，u的最大值为，
又由已知，得a≥u，∴a的最小值为
例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证 (a+)(b+)≥
证法一 (分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，
即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证
证法二 (均值代换法) 设a=+t1，b=+t2
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立
证法三 (比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2∴ab≤

学生巩固练习
1 已知x、y是正变数,a、b是正常数,且=1，x+y的最小值为 _
2 设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是_________
3 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________
4 已知a，b，c为正实数，a+b+c=1 求证 (1)a2+b2+c2≥
(2)≤6
参考答案
1 解析 令=cos2θ，=sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，
∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2
答案 a+b+2
2 解析 由0≤|a－d|＜|b－c|(a－d)2＜(b－c)2(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc
∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc 答案 ad＞bc
3 解析 把p、q看成变量，则m＜p＜n，m＜q＜n 答案 m＜p＜q＜n
4 (1)证法一 a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1) =［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］
=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］
=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥
证法二 ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥

∴原不等式成立
证法二
∴≤＜6∴原不等式成立

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