高三数学一轮：(二十五)正弦定理和余弦定理的应用.doc

课时跟踪检测(二十五)　正弦定理和余弦定理的应用

1．在同一平面内中，在A处测得的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B.
C．3 D.
2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
3．(2012·天津高考) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　)
A. B．－
C．± D.
4．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km　　　　　 B.a km
C.a km D．2a km
5．(2012·余姚模拟)如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为(　　)

A.小时　　　　　　　　 B．1小时
C.小时 D．2小时
6．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是(　　)
A．10 海里 B．10 海里
C．20 海里 D．20 海里
7.(2012·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是___n mile/h.
8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
9．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m后，又从点B测得其斜度为45°，假设建筑物高50 m，设山坡对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝________.
10.如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

11．在海岛A(可视岛A为一点)上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处匀速直线行驶，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛正西方向的D处，此时船距岛A有多远？

12．在某滨海城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O的东偏南θ方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问何时城市受台风的侵袭？

1.(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km的C，D两地测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∠BCD＝30°(如图，其中A，B，C，D在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？

2.(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船．
(1)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
(2)设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA―→成θ角，求f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x(x∈R)的值域．

答 案
课时跟踪检测(二十五)
A级
1．选D　∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC
＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.
∴BC＝.

2．选A　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，
根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
3．选A　由C＝2B得sin C＝sin 2B＝2sin B·cos B，由正弦定理及8b＝5c得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2 B－1＝2×2－1＝.
4．选B　易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×＝3a2，
∴AB＝a.
5．选B　由题意，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，因此甲船需要的时间为1小时．
6．选A　如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
∴∠BCA＝45°.
又AB＝40×＝20(海里)，
∴由正弦定理可得＝.
∴BC＝＝10(海里)．
7．解析：设航速为v n mile/h，
在△ABS中AB＝v，BS＝8，
∠BSA＝45°，
由正弦定理得＝，则v＝32.
答案：32
8．解析：如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
答案：10
9．解析：在△ABC中，AB＝100，∠CAB＝15°，∠ACB＝45°－15°＝30°.
由正弦定理得：＝，
∴BC＝200sin 15°.
在△DBC中，CD＝50，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，由正弦定理得＝，∴cos θ＝－1.
答案：－1
10．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，
由余弦定理得
cos∠ADC＝
＝＝－，
∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.
在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，
∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝
＝＝＝5.
11.解：(1)由题意得，在Rt△PAB中，∠APB＝60°，∠PAB＝90°，PA＝1，
∴AB＝.
在Rt△PAC中，
∠APC＝30°，
∠PAC＝90°，∴AC＝，
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
∴BC＝＝ ＝，
故船的航行速度是÷
＝2(千米/时)．
(2)∠DAC＝90°－60°＝30°，
sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)
＝sin∠ACB＝＝＝，
sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos 30°－cos ∠ACB·sin 30°
＝×－×＝.

在△ACD中，据正弦定理得
＝，
∴AD＝＝＝，
此时船距岛A有(千米)．
12．解：由题意，t小时后台风移动20 t千米到达A处，∠OPA＝θ－45°，可由余弦定理求OA，此时台风侵袭的范围为以A为圆心，60＋10t为半径的圆的内部，若|OA|≤60＋10t，则城市受到侵袭．

∵cos θ＝，
∴sin θ＝＝ ＝，
且cos(θ－45°)＝cos θcos 45°＋sin θsin 45°
＝×＋×＝.
在△OPA中，OP＝300，AP＝20t，
由余弦定理得
OA2＝OP2＋AP2－2OP·APcos(θ－45°)
＝3002＋(20t)2－2×300×20t×
＝400t2－9 600t＋90 000.
若OA2≤(60＋10t)2，
即400t2－9 600t＋90 000≤3 600＋100t2＋1 200t，
化简得t2－36t＋288≤0.∴12≤t≤24.
故12小时后至24小时受到台风的侵袭．
B级
1．解：在△ACD中，∠ACD＝45°，CD＝6，∠ADC＝75°，
所以∠CAD＝60°.
因为＝，
所以AD＝＝＝2.
在△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝6，
∠BDC＝15°，
所以∠CBD＝135°.
因为＝，
所以BD＝＝＝3.
又因为在△ABD中，∠BDA＝∠BDC＋∠ADC＝90°，
所以△ABD是直角三角形．
所以AB＝
＝＝.
所以电线长度至少为
l＝1.2×AB＝(单位：km)
答：施工单位至少应该准备长度为
km的电线．
2．解：(1)连接BC，由余弦定理得
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
∴BC＝10，即所求距离为10海里．
(2)∵＝，
∴sin θ＝ .
∵θ是锐角，∴cos θ＝ .
f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x
＝sin x＋cos x
＝sin，
∴f(x)的值域为.