高三数学-2015届高三下学期四统测模拟测试数学试题.doc

2015届高三下学期四统测模拟测试数学试题
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合，，则 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：集合交集
2.已知复数(是虚数单位)，则复数所对应的点的坐标为 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以复数z所对应的点为．
考点：复数运算
3.已知双曲线中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：双曲线一条渐近线方程为，由题意得，因此渐近线方程为
考点：双曲线渐近线
4.为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下表：根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在范围内的矩形的高应为 ▲ ．
分组
频数

12

29

46

11

2
【答案】
【解析】
试题分析：的频率为，因此矩形的高应为
考点：频率分布直方图
5.执行如上图所示的流程图，则输出的k的值为 ▲ ．
k←1

开始

输出k

结束

S＞6

S←1
Y
N
S←S＋(k－1)2
k←k＋1

【答案】
考点：循环结构流程图
6.箱子中有4个分别标有号码2,0,1,5的小球，从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，则两次记下的号码均为奇数或偶数的概率为 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：有放回事件，其基本事件共有个，两次记下的号码均为奇数或偶数包含基本事件为，所以所求概率为
考点：古典概型概率
7.已知函数，若, 则实数的最小值为 ▲ ．

考点：三角函数周期
8.已知函数（为常数），若数列满足，且，则数列的前10项和为 ▲
【答案】
【解析】
试题分析：，由题意得为等差数列，首项为，公差为，其前10项和为
考点：等差数列求和
9.已知曲线在处的切线与曲线相切，则实数 ▲
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，设与曲线的切点为，则，所以
考点：导数几何意义
10.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则三棱锥B—AEF的体积为是___▲____．
A
B
C
C1
A1
B1
E
F
D
D1

【答案】
【解析】
试题分析：
考点：等体积法求体积
11.已知的内角的对边分别为，若且，则的面积的最大值为 ▲ ．
【答案】
考点：正余弦定理
12.如图，在平行四边形中，的中点为，过作的垂线，垂足为，若，则向量 ▲ ．

【答案】
【解析】
试题分析：
考点：向量数量积
13.在平面直角坐标系中，已知,若在以点为圆心，为半径的圆上存在不同的两点,使得，则的取值范围为 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：设点到直线AB距离为则由题意得,其中M为AB中点，因此，
考点：直线与圆位置关系
14.设函数是定义在上的奇函数，当时，，其中，若对任意的，都有，则实数的取值范围为 ▲ ．
【答案】
【解析】
试题分析：当时，，又①当时，函数在上单调递增，满足；②当时，函数在上单调递减，在及在上单调递增，要满足，须恒成立，即恒成立，因此，从而，综上①②得实数的取值范围为
考点：函数性质综合应用
二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（本题满分14分）
已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的值
【答案】 (1) (2)
【解析】
试题分析： (1) 先根据向量垂直得到：，代入 就可求出值，(2) 先根据向量 得到，再利用平方关系解出，代入得到
试题解析：

（2）由可得，
，
即， ① ………………………………………10分
又，且 ②，由①②可解得，，……12分
所以．　……………………14分
考点：向量垂直及模，同角三角函数关系
16.(本小题满分14分)
在三棱锥P－SBC中，A,D分别为边SB,SC的中点平面PSB平面ABCD，平面PAD平面ABCD.
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）若平面PAD平面PBC=，求证：

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
考点：面面垂直性质定理，线面平行判断及性质定理
17.(本小题满分14分)
为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中。为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A，B放在弧EF上，点C、D放在斜边上，且，设.
（1）求梯形铁片ABCD的面积关于的函数关系式；
（2）试确定的值，使得梯形铁片ABCD的面积最大，并求出最大值.

【答案】 (1) (2) 时，
【解析】
试题分析： (1)因为等腰直角三角形EFH，所以 ,因此 ，根据根据对称性可得 ，因此 ， ，从而 ，最后根据实际意义交代定义域 (2)利用导数求函数最值：由导函数等于零得，列表分析得时，函数取极大值，也是最大值
试题解析：(1)连接OB，根据对称性可得且,所以，,(……………4分)
所以，其中.（……………7分）
（2）记，
=.(………10分)
当时，，当时，
所以，即时，（……………14分）
考点：三角函数实际应用，利用导数求函数最值
18.(本小题满分16分)
如图，过椭圆的左顶点和下顶点且斜率均为的两直线分别交椭圆于，又交轴于，交轴于，且与相交于点.当时，是直角三角形.
（1）求椭圆L的标准方程；
（2）①证明：存在实数，使得；
②求|OP|的最小值.
M
C
B
A
D
N
P
x
y
O

【答案】 (1) (2) ①=，②
【解析】
试题分析： (1) 当时，是直角三角形，所以，即 ，而 ，所以 (2) ①证明存在性问题，需确定实数值：先分别求出点的坐标为（，），点的坐标为（，），而，，可解出点的坐标为，再由，得=②由，令，则=，转化为求二次函数最值，当时的最小值为.
试题解析：（1）；………4分
（2）①证明：由（1）可设直线的方程分别为和，其中≠0，则，由消去得
以上方程必有一根，由韦达定理可得另一根为，
故点的坐标为（，）， ………6分
由消去得，解得一根为，
故点的坐标为（，），………………………………8分
由与平行得，然后，进行坐标运算，即可得出点
的坐标为，……… ……… ……… ………………10分
而，∴
∴存在实数=，使得 ……… ………………12分
②由
法一：由消参得点的轨迹方程为，所以的最小值为；
………………16分
法二：得，令，则=其中，
∴的最小值为. ………………16分
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系
19.(本小题满分16分)
设，函数，其中常数a．
（1）求函数的极值；
（2）设一直线与函数的图象切于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且．
①求的值；
②求证：．
【答案】 (1) 当时，函数无极值; 当时，函数的极小值为，极大值为； (2) ①②详见解析
【解析】
试题分析： (1)先分段求函数导数： 则.当时，导函数无零点，函数无极值; 当时，列表分析可得函数的极小值为，极大值为；(2) ①当时，，，先求切线方程，，从而得等量关系分解因式得等量代换即得②，利用，化简得
试题解析：（1）依题意， 则
由得，，，
当时，，所以无极值； …… 3分
当时，列表：
x
(-，0)
0

0

0

↘
极小值0
↗
极大值
↘
所以函数的极小值为，极大值为； …… 6分
（2）①当时，，，
直线AB的方程为，
或，于是
即
故(常数)；…… 11分
②证明：设，，则
解得或 (舍去，否则)，故

，即证． …… 16分
考点：利用导数求函数极值

20.（本小题满分16分）
已知数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列，数列前项和为，且满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求正整数的值；
（Ⅲ）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）或
【解析】
试题分析：（Ⅰ）数列通项分奇偶求：方法为待定系数法，注意项数，由可解得公差及公比，从而，，因此（Ⅱ）由于数列通项分奇偶，因此从奇偶分别讨论：若则，解得；若，即，解得，舍（Ⅲ）先求和，限定，而为正整数，即只能为，分类讨论得或.
试题解析：（I）设的公差为d.
的公比为，则
由

故

故 ………4分
（II）由，若，则
即，即
若，即
即
……
为正整数
为正整数，即
即，此时式为不合题意
综上，. ………9分
（III）若为中的一项，则为正整数
又

考点：等差数列及等比数列综合应用

15