高三数学期末复习综合试卷（2）及答案.doc

高三数学一轮复习期末考试暨扬州市第一次模拟统测复习综合强化训练（2） 2011年1月 高三数学备课组
2011届高三数学期末复习综合试卷（2）
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 设集合，，则{m}_ _▲___A(填“包含于”或“真包含于”的字母符号)
2．设平面向量，，若∥，则=_ _▲____．
3．设是虚数单位，则复数所对应的点落在第_ ▲__象限
4. 若为等差数列，是其前项和.且，则=_ _▲____．
5. 命题“任意常数列是等比数列”的否定形式是 ▲ .
6. 把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的
频率之和是0.32，那么第8组的频率是_ ▲_ ___．
7.．设，且满足，则的最小值为_ ▲_ ___；若又满足，
则的取值范围是_ ▲_ ___
8. 设函数，则其零点所在区间为_ _▲____．
9. 设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是_ _▲____．

10. 已知函数，其中，，则此函数在区间上为增函数的
概率为 ▲ .
11.对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式
解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为．
”给出如下一种解法：
参考上述解法，若关于的不等式的解集为，
则关于的不等式的解集为 ▲ .

x
y
O
F
B
Q
P
第13题
12.如图，在平面四边形中，若， 则 ▲ .
A
第12题
C
D
B

13.如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是 ▲ .

14. 已知是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数,的
最小值是　　 　.

二．解答题（本大题共6小题，共90分，写出准确的计算过程及文字说明）
15．（本小题满分14分）
已知函数（）.
（Ⅰ）当时，求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）当时，在的条件下，求的值.

16．(本小题满分14分) 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵
坐标为，点在轴上，纵坐标为．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。

17．（本题满分15分）
在一条笔直的工艺流水线上有个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别
为，，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上
的所有工人到供应站的距离之和最短．
（Ⅰ）若，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若，工作台从左到右的人数依次为，，，，，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
17题图

18．（本题满分15分）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆
的两条切线，切点分别为．
（1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
（ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；
（2）设直线与轴、轴分别交于点 求证：为定值．

19．（本题满分16分）K
已知数列满足：数列满足。
（1）若是等差数列，且求的值及的通项公式；
（2）若是等比数列，求的前项和；
（3）当是公比为的等比数列时，能否为等比数列？若能，求出的值；若不能，请说明理
由。

20．（本题满分16分）
已知函数.
（Ⅰ）若为的极值点，求的值；
（Ⅱ）若的图象在点（）处的切线方程为，求在区间上的最大值；
（Ⅲ）当时，若在区间上不单调，求的取值范围．

2011届高三数学期末复习检测答案
1．{m}A 2． 3. 第四象限 4． 5. 存在一个常数列不是等比数列
6. 0.12 7. ，（1，3） 8. 9.
10. ； 11.； 12.； 13. ； 14. ．
15. 解：（Ⅰ）（一个公式1分） ………2分
（角、模各1分） ………4分
最小正周期为2， ………5分
由，得. （标注1分） ……………7分
（Ⅱ）当时解得 ………10分
= …………12分 = ……14分
（其他解法参考本标准相应给分）
16．解：（1）设抛物线的方程为，
因为准线的方程为，所以，即，因此抛物线的方程为．…3分
（2）由题意可知，，,
则直线方程为：，即，………………6分
设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为，
则圆心到直线的距离， …………………8分
即①或②
由①可得对任意恒成立，则有
，解得（舍去）………………………………12分
由②可得对任意恒成立，则有，可解得
因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.………14分
17. 解 设供应站坐标为，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为．
（Ⅰ）．………4分
当时，在区间上是减函数；
当时，在区间上是增函数． ……6分
所以，必须位于区间内，此时，当且仅当时，式取最小值，且，即供应站的位置为．……9分
（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为
．……10分
类似于（Ⅰ）的讨论知，，且有
……14分
所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，在区间上是常数．故供应站位置位于区间上任意一点时，均能使函数取得最小值，且最小值为． ……15分
18．解：（1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆：，
∴ ，∴ ，∴ ，∴． ………… 3分
（ⅱ）由及圆的性质，可得，∴
∴∴，．…………………………………… 7分
（2）设，则 整理得
， ∴方程为：，方程为：．
、都过点，∴且
直线方程为 ．
令，得，令，得，
∴，∴为定值，定值是．…15分
19．解：（1）是等差数列，.--- 1分
又, ………………………3分
解得， …………………………4分
. …………………………5分
（2）是等比数列，，则.…7分
数列是首项为，公比为的等比数列，
当； ………………8分
当时，. ……………10分
（3）数列不能为等比数列. …………………11分
， ………13分
假设数列能为等比数列，由， ………………14分
，此方程无解，数列一定不能为等比数列.………………16分
20．解：（Ⅰ）∵ ………1分
∵ x=1为的极值点，∴，即， ……2分
∴ . ………4分
(II) ∵（）是切点，∴ ∴ ………5分
即
∵切线方程的斜率为，
∴，即， ∴ …7分
∵
∴，可知和是的两个极值点. 8分
∵ ………9分
∴在区间上的最大值为8． ……………10分
（Ⅲ）因为函数在区间不单调，所以函数在上存在零点.
而的两根为，区间长为，
∴在区间上不可能有个零点. …………12分
所以 即： ……14分
∵， ∴，
又∵， ∴. ……………16分
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