CFD程序设计PPT.ppt

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论,传热和流体流动的重要性：,几乎所有生产动力的方法都包含着流体流动和传热这样的基本过程。,建筑物的取暖和空调,炉子、热交换器、冷凝器以及反应器等,暴风雨、洪水和着火,2,认识和预测的必要性：,对有关过程的预测可以帮助我们预报、甚至控制潜在的诸如洪水、涨潮以及着火的危险在所有这些情况中，预测提供了经济效益，并为人类造福。,预测的本质：,预测在给定的物理环境中的性能在于预先给出控制有关过程的各种有关变量的值。,3,本书的目的：,1.,发展一种估计热与质传递，流体流动以及有关过程的通用性方法。,2.,尽可能设计一种具有完全通用性能的数值方法。,4,1.1,预测的方法,1.2.l,实验研究,全比例实验,数据可靠,价钱昂贵，实现困难，不现实,模型实验,结果必须外推到全尺寸，外推规律很难得到,并不总能模拟全比例设备各方面特征，例如燃烧、沸腾往往被忽略,5,1.2.2,理论计算,理论上的预测，是算出一个数学模型的结果，而不是一个实际物理模型的结果。,为了建立数值方法求解问题的初步概念，参见下图,1.1,6,图,1.1,温度场数值解的网格布置,已知这个区域的离散点上的温度值，求所示的区域内的温度场。只需构造和求解这些网格点上的温度值的代数方程即可。,7,1.2.3,理论计算的优点,1.,成本低,2.,速度快,3.,资料完备 和实验中的情况不同，在计算中几乎不存在,难以接近的位置，并且，不存在由于测头引,起的湍流扰动而产生的失真。,4.,具有模拟真实条件的能力,5.,具有模拟理想条件的能力,8,1.2.4,理论计算的缺点,实际问题分为两类：,A,类：能写出适当的数学描述的问题,（如，热传导、层流流动、简单,的湍流边界层）。,B,类：至今还不能给出适当的数学描,述的问题（如，复杂的湍流流,动、某些非牛顿流体流动、湍,流燃烧中氧化氮的形成、某些,两相流动等）。,9,A,类的缺点：,1.,如果需要预测的是一个很有限的目的，计算花费可能不比,实验花费低。,2.,对几何形状复杂、非线性很强、流体的物性变化很灵敏等,困难问题，数值解可能很难得到。,3.,当有的数学问题提供的解多于一个时，很难确定算得的解,是否符合实际。,B,类的缺点：,B,类具有,A,类的所有缺点。此外，关于计算结果和实际符合的程度，还存在着不确定性。,10,1.2.5,预测方法的选择,1.,实验是研究新的基本现象的唯一方法。,2.,通过和试验资料比较，充分确认计算结果是有益的，而,且，使用计算作为辅助研究，实验的工作量可以显著的,减少。,3.,一个最佳的预测结果，应该是计算和实验的审慎的组合。,这两个组成部分的比例，依赖于问题的性质、预测的对,象以及经济上的和其他方面的限制,11,1.3,本书的概况,本书由九章组成，它们可以按每三章一组，分成三个部分。,一至三章：准备部分，包括关于数学和数值方法的,初步讨论，概括了本书特有的哲理；,四至六章：数值方法的主要发展；,六至九章：说明和应用,12,准备工作：,第二章：开始数值解之前，必须用适当的微分方程描述物理现象，特别重要的是，从物理意义鉴定这些微分方程的抛物线型和椭圆型的性质。,第三章：叙述了构造数值方法的一般步骤。阐述以四个基本规则形式表示的普遍准则。这些规则为在本书其余各章中数值方法的发展提供了准绳，可指导我们得到较好的表示式，他们可能是一般的数学方法尚未提出的。,13,数值方法的主要发展：,第四章：处理了热传导，完成了许多处理流体流动所需要,的背景材料；,在这些章节中，是利用一维问题构造基本算法，然后很快的推广到多维情况。一维问题，是为了使代数的复杂性成为最小，以及集中注意力于重要的结果上。,第六章：论及了速度场本身的计算。,第五章：分析在流动场已知的情况下，对流和传导的互,相作用，适用于流体流动的计算；,14,说明和应用：,第七章：综合了一些说明的要点和建议；,第八章：论述了一些计算方法，可以看作是本书中讲解的,一般方法的特殊情况。在,8.4,节中对基于控制容积,的有限元法做了扼要的叙述，是一般方法的推,广，而不是它的特殊情况。,第九章：是为了给读者直接感受所述方法的可能的应用；,15,2.1.1,微分方程的含义,每个微分方程，都表达了一定的守恒原理。,它们都使用了一定的物理量作为他的因变量，并且意味着在影响这个变量的各个因素之间必须处于平衡。,这些微分方程的因变量，常常是“比”性质，即基于单位质量表示的一些量。例如，质量比数，比热焓等。,16,假定,J,表示对典型的因变量,影响的流量，考虑图,2.1,中所示的，大小为,dx,，,dy,，,dz,的控制容积。,举例：,17,J,x,表示进入面积为,d,y,d,z,面的流量,Jx+,（,Jx/,x,）,dx,表示离开与之相对的一面的 流量,。通过该面面积的净流出量是（,Jx/,x,）,dxdydz,。,18,单位容积的净流出量,=,=divJ,我们的数值方法，是通过对一个控制容积实现平衡来构造。,（,2.1,）,同时也考虑,y,和,z,方向上的贡献，并且注意到,dxdydz,是所论区域的容积。,19,变化率,()/,t,。,如果,是一个“比”性质，,是密度，则,表示了单位容积所包含的相应的“广延”性质的量。因而,()/,t,是单位容积内有关性质的变化率。,一个微分方程就是这些项的汇总，每一项代表了对基于单位容积的影响，并且，所有项之和意味着一个平衡或守恒。,基于单位容积表示一项的例子,20,2.1.2,化学组分的守恒,（,2.2,）,设以,m,1,表示化学组分的质量分数，在有速度场,u,存在的情况下，,m,1,的守恒表达为,21,（,2.2,）,式中：,(,)/,t,，表示单位容积化学组分的质量变化率；,u,是组分的对流量；,代表扩散流量，他一般是由的梯度产生的。,右端量是单位容积化学组分的产生率，它的产生是由化学反应引起的。可以是正值、负值或零。,22,（,2.3,）,（,2.4,）,若扩散流量用费克扩散定律表示，可得：,式中是扩散系数。把方程,(2.3),代入,(2.2),得：,23,2.1.3,能量方程,对于忽略粘性耗散的稳定低速流动，能量方程可以写成：,（,2.5,）,24,式中：,h,是比热焓，,k,是导热系数，,T,是温度，,是容积热源产生率。根据傅立叶热传导定律，,div,（,kgradT,）项代表了流体内热传导的影响。对于理想气体、固体和液体，我们可写出：,CgradT=gradh,式中,C,是定压比热。,（,2.5,）,（,2.6,）,25,用式（,2.6,）代入式（,2.5,），能量方程变成：,（,2.7,）,如果,C,是常数，,h,T,的关系简化为：,h=CT,（,2.8,）,就可得：,（,2.9,）,取速度,u,为零，就可得稳定的热传导的情况。,（,2.10,）,这样，热焓或温度都能取做因变量。,CgradT=gradh,26,2.1.4,动量方程,对于牛顿流体，因为必须同时考虑切应力和正应力，在给定的方向上控制动量守恒的微分方程复杂的多。用,u,表示,x,方向上的速度，相应的动量方程为：,（,2.11,）,27,式中,是粘度，,p,是压力，是,x,方向上单位容积的体力，表示除,div(gradu),以外的那些粘性项。,（,2.11,）,28,2.1.5,取时间平均的湍流流动方程,湍流流动在实际应用常常遇到。有实际重要性的是流动的时间平均特性。所以，非稳定的层流流动方程，可以用平均运算，转化成以时间平均的湍流流动方程。在平均运算中，假定平均值附近存在着一个迅速和随机的波动。由这个运算产生的附加项就是所谓的雷诺应力、湍流扩散流量、热流量等。把这些流量项表达成流动的平均性质，就是湍流模型的任务。,29,许多湍流模型使用了湍流粘度，或者湍流扩散系数的概念，来表达湍流应力和流量。其结果是，以时间平均的湍流流动方程，具有和层流流动方程相同的形式，但是粘度、扩散系数和导热系数等层流交换系数，要用有效的（即层流加上湍流）交换系数来替代。从计算的观点看，湍流流动是等价于层流流动的，但带有一个较为复杂的粘度描述。,30,2.1.6,紊流动能方程,现在普遍流行的紊流“双方程模型”，朗德与斯波尔丁把紊流脉动动能,k,的方程作为其中的两个方程之一，该方程可以写作：,其中：,是,k,的扩散系数；,G,是紊流能量的生成率；,是动能的耗散率；是方程中的净源项。,（,2.12,）,31,2.1.7,通用微分方程,我们所感兴趣的所有的因变量似乎都服从一个通用的守恒原理。如果用,表示自变量，通用的微分方程就是：,其中,:,是扩散系数，,S,是源项。对于特定章义的，具有 特定的量和,S(,实际上，我们直接采用符号及,),。,（,2.13,）,32,上述微分方程的四项，分别是不稳态项、对流项、扩散项及源项。,因变量可以代表各种不同的物理量，如：化学组分的质量分量、焓或温度、紊流动能或紊流的长度尺度与此相应，对于这些变量中的每一个都必须给对应的扩散系数、以及源项赋以适当的意义,（,2.13,）,33,不是所有的扩散流量密度都是受制于有关变量的梯度的。但是把 作为扩散项的做法并没有把通用的,方程只限于那些以梯度驱动的扩散过程。,凡是不能归入名义的扩散项的因子或项总是可以表示成源项的一部分；事实上，如果需要的话，我们甚至于可以把扩散系数取为,0,。,34,出现在方程,(2.13),中的,密度,，可以通过状态方程与温度和质量分量等变量相关联。这些变量与速度分量都服从通用微分方程。此外流场还应当满足一个附加的约束条件，即质量守恒或连续性方程。即：,(2.14),（,2.13,）,35,微分方程,(2.13),和连续性方程,(2.14),的另一种有用的表达方式是直角坐标的张量形式：,这里：下标,j,可以取值,l,、,2,、,3,，分别代表三个空间坐标。如果在一项内下标,j,重复出现，就意味着要取三项之和。,(2.15),(2.16),36,用直角坐标张量形式表达的一个直接好处是：只要简单地把下标,j,抹掉，就可以由这种形式得到该方程的一维形式。,例如：,(2.17),(2.18),37,把任何特定的微分方程改写成通用形式,(2.13),的过程，就是把有关变量的不稳态项、对流项及扩散项转换成共同的标准形式。,于是，把扩散项内梯度的系数取为对的表达式；而把方程右端的其余各项之和定义为源项,s,38,我们一直把变量当成有因次的量来考虑，但是，以无因次的变量进行研究往往更方便。,再者，可以认为，任何一个用无因次变表示的微分方程，都具有通用形式（,2.13,），这时代表无因次的因变量，而和,S,分别代表扩散系数和源的无因次形式。许多情况下，的无因次值可以简化为,1,，而,S,可以取值,0,或,1,39,热质传递、流体流动、紊流各自的微分方程，都可以看成是通用的 方程的一个特殊情况。,我们关心的仅仅是方程,(2.13),的数值解。,在编制计算机程序时，也只需写出方程,(2.13),的通用程序。因此，通用的方程的概念，使我们能够列出一个通用数值方法的公式，并编制通用的计算机程序。,40,2.2,坐标的性质,2.2.1,自变量,一般说来，因变量是三个空间坐标与时间的函数：,其中,x,，,y,，,z,以及,t,都是自变量。在数值求解过程中，我们将选择用来计算值的自变量值,(2.19),41,方程,(2.19),并不是唯一的形式。把稳态温度分布写成,T(x,，,y,，,z),，我们可以用另外一种写法：,(2.20),这里,z,变为因变量，它代表在位置,(x,，,y),处，相应于温度,T,的等温面的高度。,42,一种采用这种表达式的方法，已经由迪克斯和西切克及其合作者研究出来了，叫做等温迁移法。,但是，这种方法只限于对坐标是单调函数的温度场。对于更为一般的温度场，一定的,T,，,x,和,y,，可能对应有几个高度,z,。这样，从计算的目的来看，,z,就不适合作为因变量了,等温迁移法,43,并不是所有的问题，都要考虑所有四个自变量。所涉及的自变量数愈少，需要计算值的位置,(,或网格结点,),也愈少。,变量选择,：,当有关的物理量只与一个空间坐标有关时，所研究的问题是一维的。与二个空间坐标有关是二维的，而与三个空间坐标有关者则是三维的,维数：,44,稳态：当所考虑的问题与时间无关时。,非稳态：不是稳态的问题。,稳态与非稳态,：,45,2.2.2,坐标的合适选择,由于网格结点的数目一般都与自变量的数目有关，因而以较少的自变量进行研究可以大大节省计算时间恰当明智地选择坐标系统有时可以减少所需要的自变量数目,任何一种描述空间位置的方式都是可以采用的下面举例说明坐标的选择是怎样影响自变量的数目的,46,1,在一个静止的坐标系上看以恒定速度飞行的飞机周围的流体流动是不稳态的；但是相对于固定在飞机上的移动坐标系而言，流动则是稳态的,2.,在一圆管内的轴对称流动于直角坐标系内是三维的，但是在,r,、,、,z,的圆柱极坐标系内则是二维的，这是因为：,与,无关,(2.21),47,3.,坐标变换可能用来进一步减少自变量的数量，例如：,a,在一块平板上的二维层流边界层给出了速度仅 与 有关的相似性状态，其中,:,式中,c,是一个有因次的常数结果二维的问题便简化为一维的问题了,(2.22),48,b,在半无限固体内的不稳态导热问题具有,x,和,t,这样两个自变量但是，对于某些简单的边界条件，可以把温度描写成只与 有关，其中,式中,C,代表一个适当的有因次常数,(2.23),49,4,改变因变量可能导致自变量数目的减少：,a,在一充分发展的通道流中，温度,T,与流动方向 的坐标,x,以及 横向坐标,y,有关但是在具有均匀壁温,T,w,的热发展区,我们有：,式中,(2.24),是整体温度它随,x,面变化,50,b,平面自由射流是一种二维流但是，我们可以写成：,式中,(2.25),(2.26),这里 代表中心线上的流速，,y,是横向坐标，,是射流的特征 宽度。和,这两个变量都随流动方向的坐标,x,而变化。,51,现在所讨论的太多数情况都将以,x,、,y,、,z,和,t,作为自变量，但所有的概念和方法同样也适用于在这里所提到过的变换的或是无因次的变量。,为了提高计算机的效率应当选择合适的坐标系统来进行数值计算,结论,：,52,2.2.3,单向与双向的坐标,定义,如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件，要受该位置两侧条件变化的影响的话，那么这个坐标就是一个双向的坐标如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件，只受该位置一侧条件变化的影响，这样的坐标就是一个单向的坐标53,例,在一根圆棒内的一维稳态导热是一个双向坐标的例子在棒内任意给定点的温度会受到两端温度变化的影响,通常，空间坐标是双向坐标时间坐标则总是单向坐标，在一块固体的不稳态冷却期间，其某一给定瞬时的温度只能受在该瞬时以前所发生的那些条件变化的影响,54,如果在一个坐标方向上有,很强的单向流动,，那么各种重要的影响只能是从上游传播到下游于是在某一点上的状态主要受其上游条件的影响，而受其下游条件的影响很小。空间坐标的单向特性是一种,近似,对流,是一种,单向,的过程，而,扩散,(,总是存在的,),则具有,双向,的效应但是，当流量很大时，对流作用远远超过扩散作用，因而空间坐标就近乎是单向的了。,空间作为单向坐标 的情况：,55,抛物型、椭圆型与双曲型,通常用来进行微分方程分类的抛物型与椭圆型这两个数学术语相当于我们这里所用的计算方法上的概念,单向与双向坐标,抛物型,这一术语表示一种,单向,的状态，而,椭圆型,则表示,双向,的概念。,56,不稳态导热问题,(,通常称之为抛物型问题,),实际上是时间坐标上的抛物型和空间坐标上的椭圆型问题稳态导热问题则对所有的坐标都是椭圆型的。,一个二维曲边界层，当以流动方向的坐标表示时是抛物型的，而当以横向的坐标表示时则是椭圆型的,57,至少存在一个单向坐标的状态是抛物型状态；不然的话，就是椭圆型状态。,有的时候把具有一个单向坐标的流动称之为边界层型的流动，而全部都是双向坐标的流动就称之为回流流动。,提示,：,58,双曲状态不能准确归入计算方法上的分类,双曲型问题具有一种单向的特性，但是这种单向的特性并不是沿着坐标的方向，而是沿着一些称之为特征线的特殊线的方向。,双曲型,59,计算方法上的含义,关于单向和双向坐标讨论的动机在于：如果可以用一个单向的坐标来规定一个给定的状态，那么就有可能大大节省计算机的存储量与时间,不稳态的二维热传导问题：,在计算域内构成一个二维网格结点的阵列在任一瞬时将存在一个相应的温度场在计算机内将对时间上顺序推移的每一瞬时计算这样一个温度场,60,时间是单向坐标，因而某一时刻的温度场不受未来时刻温度场的影响实际上，整个不稳态问题可以简化为按要求重复进行的一个基本的步骤，即给定,t,时刻的温度场，求得 时刻的温度场。于是计算机内存只要供这两个温度场使用即可，对于所有的各个不同时间步可以一遍又一遍地使用同样的储存空间,不稳态的二维热传导问题：,61,在这样的情况下，从一给定的初始温度场开始，我们就能够,“,前进,”,到在时间上顺序推移的各个瞬时在任何时间步，需要同时处理的未知量只有一个二维的温度数组这个温度数组与所有未来的温度值无关而影响这一温度数组的以前瞬时的值则是已知的于是我们需要求解的就是一个简单得多的方程组，从而可以节省计算机的时间,62,类似地，一个二维的边界层问题是沿着流动方向向前计算的只要给定上游站沿垂直流线方向上的因变量值分布，就可以得到以下顺次各站沿垂直流线方向的因变量值。这样，只需要用一维的计算机储存量就可以了,同理，三维通道流沿流动方向是抛物型的，它可以处理成一系列顺次垂直流线的平面上的二维问题,63,本章目录,3.1,数值方法的本质,3.1.1,任务,3.1.2,离散化的概念,3.1.3,离散化方程的结构,3.2,推导离散化方程的方法,3.2.1,泰勒级数公式,3.2.2,变分公式,3.2.3,加权余数法,3.2.4,控制容积公式,3.3,一个说明性的例子,3.4,四项法则,3.5,结语,64,3.1,数值方法的本质,3.1.1,任务,一个微分方程的数值解系由一组可以构成因变量 的分布的数所组成。在这个意义上讲，数值方法有点类似于在实验室中进行的实验。做实验时，仪器的一组读数为我们构成在所研究的域内被测量的物理量的分布。数值分析研究人员与实验室中的实验研究人员两者所获得的数据都只能是一些有限数量的数值,让我们,假设,：我们决定用一个关于,x,的多项式来代表 的变化：,65,并采用数值方法来求得有限数量的系数,a,0,，,a,1,，,a,2,a,m,。把,x,的值以及各个,a,的值代入方程,(3.1),，我们就可以计算出在任何位置,x,的 值但是如果我们最终的兴趣是得到在各个不同位置上的 值，那么这种做法就有点不太方便了各个,a,值本身是没有什么特别的意义的,（,3.1,）66,要知道所需要的 值，还必须进行前面所述的代入计算方程因此我们将把我们的注意力放在这样一类方法上,因而数值方法就是把计算域内有限数量位置,(,叫做网格结点,),上的因变量值当作为基本的未知量来处理,该方法的任务是提供一组关于这些未知量的代数方程并规定求解这组方程的算法,67,3.1.2,离散化的概念,所选取的网格结点上未知 值的代数方程,(,我们现在就把它们叫做离散化方程,),系由支配 的微分方程推导而得，推导过程中，我们必须对网格结点之间 如何变化作某种假设,尽管可以选择在整个计算域内满足一个简单表达式的关系作为这种,“,分布,”,，但是更为实际的方法还是采用分段分布，即：,一定的段仅仅用一个小区域的内部及其边界上的网格结点,上的值来描述该区间内的整化。,68,于是，一般将计算域生成一定数量的子域或单元每一个子域可以有一个独立的分布假设这样，我们就从另一个意义上遇到了,离散化,的概念连续的计算域已经被离散开了这种对空间和因变量所作的系统的离散化使得我们有可能用比较容易求解的简单的代数方程取代前面提到过的,控制微分方程,.,69,3.1.3,离散化方程的结构,一个离散化方程是连接一组网格结点处 值的代数关系式这样的一个方程系由 支配的微分方程推导而得，并表示与该微分方程相同的物理信息。一定的离散化方程只与少数的几个网格结点有关，这种情况是我们选取分段分布这一特性的结果因此，在一个网格结点处的 值只影响与其紧相邻的一些点上的 分布可以预料到，当网格结点的数目变得很大时，离散化方程的解将趋近于相应微分方程的精确解这是出自于这样的考虑：当网格结点紧挨在一起时，在相邻点之间的 变化就变得很小，因此有关分布假设的实际细节就不那么重要,70,对于一个已知的微分方程，可能的离散化方程决不是唯一的，尽管在网格结点数非常大的极限条件下，预计所有这些可能类型的离散化方程将会给出相同的解离散化方程的不同形式起因于分布假设以及推导方法的不同,直到现在为止，为了保持慎重，我们一直都没有涉及到有限差分,和有限元法的问题，可以认为这两种方法是我们已经,在一般意义上描述了的离散化方法的两种可供选择的形式。,71,有限差分法与有限元法之间的区别,来自选择分布和推导离散化方程的方法不同在本书内集中注意的方法具有有限差分法的外形，但是它采用了许多属于典型的有限元方法论所具有的思想,72,3.2,推导离散化方程的方法,对于一个已知的微分方程，可以用许多方法推导出所要求的离散化方法。这里简单地介绍几种普通的方法,73,3.2.1,泰勒级数公式,常见的推导有限差分方程的方法是通过截断泰勒级数来近似表示微分方程的导数构成的让我们来研究一下图,3.1,中的网格结点对于位于结点,1,与结点,3,之间中点的结点,2,，在,2,周围展开的泰勒级数给出；,（,3.2,）,（,3.3,）,74,这个方法含有这样的假设：的变化多少有点像是,x,的一个多项式，从而高阶导数是不那么重要的但是当存在指数形式的变化时，这种假设就可能导致人们不希望要的那种公式,将两个方程相加及相减，我们得到；,把这二个表达式代入微分方程就推得,有限差分方程,(3.4),(3.5),75,3.2.2,变分公式,变分法证明,：,求解某些微分方程的问题等效于使一称之为泛函的相关量最小化这种等效关系就是所谓的,变分原理,如果相关于因变量的网格点值使泛函最小，那么所得到的条件即给出所需要的离散化方程变分公式非常普遍地用于应力分析的有限元法，这时可以把变分公式与虚功原理联系起来除了代数和概念上的复杂性之外，变分公式的主要缺点在于它的适用范围有限。,76,3.2.3,加权余数法,一种强有力的求解微分方程的方珐是加权余数法，芬利逊详细地描述了这一方珐它的基本概念既简单而又有趣令微分方程由下式表示；,进一步，让我们假设一个包含有若干不确定参数的近似解,例如：,式中的各个,a,都是参数将代入微分方程留下一个余数,R,它定义为：,（,3.6,）,（,3.7,）,（,3.8,）,77,假设：,其中,W,是加权函教，积分在所感兴趣的某个域内进行通过选释一系列的加权函数，我们可以得到为计算参数所需要数量的方程求解以这些参数作为未知量的方程，即得到微分方程的近似解。选择不同种类的加杈函数，可以得到不同类型的方法。,（,3.9,）,78,在有限差分法几乎取代它以前，这种方法非常普遍地应用于边界层分析但是，如果对 不是采用一个在整个计算域上的简单代数表达式，而是代之以一个以网格结点 值为未知参数的分段分布所求得的近似解 ，那么就可以把这种方法与有限差分法或者宁可说与离散化方法结合起来实际上，最新发展的有限元方法中的许多形式也是建立在把分段分布与一种称之为迦辽金方法的特殊的加权余数法相结合的基础上的。,最简单的加权函数是取,W=1,79,由此，可以通过把计算域分成许多子域或是控制容积构成,一系列的加权余数方程，其中每一次令加权函数在一个子域内,为,1,，而在所有其它的子域内为,0.,这种类型的加权余数法称之,为,子域法或是控制容积法,。这就意味着,:,对每一个控制容,积，余数的积分必须为,0,因为我们将在本书中采用控制容积法，比较详细地讨论这一,方法是必要的，下面就将具体阐述。,80,3.3,一个说明性的例子,讨论受下列方程控制的一维稳态热传导问题：,其中,k,是导热系数，,是温度，以及,是单位容积的发热率。,（,3.10,）,81,准备,：为了推导离散化方程，我们将使用图,3.2,所示的网格结点群。我们集中注意网格结点,P,，该点以网格结点及作为它的两个邻点（,E,表示东侧，即正的,x,方向；而,W,表示西侧，或是负的,x,方向）。虚线表示控制容积面。,就目前来说，它们的准确位置是无关紧要的。字母与,w,代表这些面。对于所考虑的一维问题，我们将假设在与,z,方向为单位厚度。,82,于是，图中所示的控制容积是，如果我们在整个控制容积内积分方程（,3.10,），我们就得到：,（,3.11,）,（,3.10,）,83,分布曲线的假设：,为了进行进一步的工作，我们需要一个分布假设或是一个内插公式，在图,3.3,中表示了两种简单的分布假设。最简单的一种可能是：假设在一个网格结点处的,值代表它周围整个控制容积内的值。这种情况就是图,3.3a,中示意表示的阶梯式分布。对于这样的分市，斜率,d,T,/d,x,在控制容积面（即在,w,或,e,）上是不确定的。一种摆脱这种困境的分布曲线是分段线性的分布（图,3.3b,）。这时，在网格结点之间采用线性的内插函数。,84,85,离散化方程,：如果我们用分段线性分布来计算方程（,3.11,）中的,dT/dx,，所得到方程将为：,其中为,在整个控制容积内的平均值，将离散化方程缩写成下列形式是有用的：,（,3.12,）,（,3.13,）,（,3.14a,）,（,3.14b,）,86,（,3.14d,）,（,3.14c,）,说明：,（,3.13,）,87,1.,方程（,3.13,）表示我们将要写出的离散化方程的标准形式。在中心网格结点上的温度 出现在方程的左边，而相邻节点上的温度和常数,b,构成方程右侧的一些项。如我们在后面将要看到的那样，对二维与三维的情况，相邻结点的数目增加。一般说来，比较方便的是方程（,3.13,）看成具有如下的形式：,2.,在我们推导方程（,3.13,）时，我们已经采用了使我们能够估计,d,T,/d,x,值的最简单的分布假设，当然选用许多其它形式的内插函数本来也是可以的。,（,3.15,）,88,3.,此外，我们没有必要对所有的量都采用同样的分布函数，明白这一点是重要的。例如，既没有必要用网格结点之间线性变化的,来计算 ，也没有必要由,k,P,和,k,E,之间线性变化的,k,来计算,k,e,。,4.,即便对于一个确定的变量，也没有必要对方程中所有各项都采用同样的分布函数假设。例如：倘若在方程（,3.10,）中含有一个单独包含,的附加项，或许对该项使用阶梯分布函数也是可以允许的，而不必坚持如在计算,d,T,/d,x,时所采用的分段线性分布。,（,3.10,）,89,指导原则：,上述有关选择分布函数的自由度，最终导致不同变型的离散化方程形式，事实是，当网格结点的数目增加时，可以预料所有这些不同形式的方程都会给出相同的解。但是，我们将在此提出一个附加的要求，这个要求的加入将使我们能够大大减少我们可以接受的公式（方程）的数目。即使是采用很粗的网格，解也总应该满足：,。,（,1,）物理上真实的性状,（,2,）总的平衡,90,图,3.4,所示的变化说明了这一概念。,一个真实的变化应当具有与准确变化相同的定性倾向,。在无内热源的热传导问题中，内部没有一处的温度可以超出边界温度所确定的温度范围之外。当一块热的固体为绕流的流体所冷却时，固体的温度不可能降低到比该流体的温度还低。我们将总是用这样的试验来检验我们的离散化方程。,91,总平衡的要求意味着对整个计算域应当满足积分守恒。我们将坚持要求,热流密度、质量流量以及动量通量必须准确地同相应的源和汇建立平衡,，这种平衡不应当只是限于网格结点的数目变得很大时的情况，而是对于任何数目的网格结点都应该得到满足。我们的控制容积公式会使这一总的平衡成为可能，但是如同我们很快就会知道的那样，在计算控制容积界面上的热流密度，质量流量以及动量通量时还需要小心处置。,92,物理上的真实性以及总的平衡这两个约束条件将用来指导我们选择分布假设以及所采用的有关措施。在这些约束条件的基础上，我们将建立起几条基本的法则，应用这些法则我们就可以对现有的一些公式进行鉴别，并进而发展出一些新的公式来。通常需要由数学上的考虑才能作出的一些决断，现在可以直接由物理学上的原理来进行指导了。,（,3.10,）,93,源项的处理：,在我们着手建立基本法则之前，我们将对方程（,3.10,）中的源项,S,给予某些注意。一般说来，源项是因变量,T,本身的函数，因而在构成离散化方程的过程中需要知道这种函数关系。但是，正如我们将在后面看到的那样，由于离散化方程需要用线性代数的技术来求解，因而我们在形式上只能考虑一种线性的函数关系，这里把平均值表示成下列形式是足够的。,（,3.16,）,94,式中，,S,c,代表的常数部分，而,S,P,又是,T,P,的系数。在方程（,3.16,）中,T,P,的出现表明，在表示平均值 时，我们已经假设：,T,P,值代表整个控制容积内的值，换句话说，已经采用了图,3.3a,中所示的阶梯式分布。,（,3.16,）,95,应用线性化的源项表达式，离散化方程的样子看起来仍然像方程（,3.13,），但是系数的定义（方程,3.14,）要有所改变。新的方程组是：,式中：,（,3.17,）,（,3.18a,）,（,3.18b,）,96,（,3.18d,）,上述导言性的讨论为我们提供了足够的预备知识，这样，我们就可以来推导我们的离散化方程所应当服从的一些基本法则公式，以确保所得到的解满足,物理上真实以及总的平衡这两个要求,。,以及,（,3.18c,）,97,3.4,四项基本法则,在控制容积面上的连续性 当一个面作为两个相邻控制容积的公共面时，在这两个控制容积的离散化方程内必须用相同的表达式来表示通过该面的热流密度、质量流量以及动量通量。,法则一,98,显然，通过一个特定的面离开一个控制容积的热流密度必须与通过同一个面进入第二个控制容积的热流密度相同。不然的话，总的平衡就不会满足。尽管这一要求易于理解，但是稍不小心，就可能在一些微妙的地方违反。对于图,3.2,所示的控制容积，我们或许会用通过,T,w,T,p,及,T,g,的二次曲线来计算界面上的热流密度。,讨论,99,图,3.5,由二次曲线分布所得到的热流密度的不连续性,100,正系数大多数的实际问题应该是这样的，即某个网格结点处的因变量值只是通过对流以及扩散的过程才受到相邻网格结点上的值的影响。于是，在其它条件不变的情况下，在一个网格结点处该因变量值的增加应当导致相邻网格结点上该值的增加（而不是减少）。在方程（,3.13,）中，如果,T,R,的增加必然导致,T,p,增加的话，这就必然要求系数,a,g,与,a,p,具有相同的符号。这样，法则,2,可以表述如下：,所有的系数（,a,p,以及各相邻结点系数,a,np,）,必须总是正的。,法则二,101,由方程（,3.14),所给出的系数的定义表明，我们所用的离散化方程（方程（,3.13,）遵守正系数法则。但是，正如我们将 在后面看到的那样，有许多公式经常违反这一法则。结果往往是得到一个物理上不真实的解。存在负相邻结点系数就会导致这样的情况，在这种情况下，一个边界温度的增加会引起相邻网格结点上的温度的降低。,讨论,102,源项的负斜率线性化 要是我们研究一下方程（,3.18),中系数的定义，就可以发现，即便所有相邻结点的系数均为正，由于,S,p,项的关系，中心结点的系数,a,p,仍可能变为负值。当然,S,p,不为正值，这一危险就完全可以避免。于是，我们把法则,3,写成下面的公式：,法则 三,当源项线性化为,S=S,c,+S,p,T,p,时，系数,S,p,必须总是小于或等于,0,.,103,大多数物理过程确实在源项与因变量之间具有负的斜率关系。实际上，要是,S,p,为正的话，物理状态就可能会变得不稳定了。一个正的,S,p,意味着，当,T,p,增加时，源项也随着增加；如果这时没有有效的散热机构，这可能会反过来导致,T,p,的增加，如此反复进行下去，造成温度飞升的不稳定现象。从计算方法上讲，保持负的,S,p,，使之不致产生不稳定性以及物理上的不真实解，这是至关重要的。这里要充分注意到：为了使计算成功，负,S,p,的原则是必不可少的。,注意,104,相邻结点系数之和控制微分方程往往只包含有因变量的导数项。于是，如果,T,代表因变量，则函数,T,与,T,+,c,（其中,c,是一个任意常数）两者均满足微分方程。微分方程所具有的这一特性也必定要反映在与之相对应的离散化方程中。因此，当,T,p,以及所有的,T,nb,都增加同一常数值时，方程（,3.15),应当仍然适合。由这个要求可以得出结论：,a,p,必须等于所有相邻结点的系数之和。因此，我们可以把法则,4,表述如下：,a,p,=,z,a,n,b,(3.19),法则四,105,方程（,3.13,）确实满足这一法则。本法则意味着：中心结点值,T,p,是各相邻结点值,T,pb,的一个加权平均值。与方程（,3.13),不同，方程3.17),中的系数不服从这一法则。但是，不能认为这种情况是对法则,4,的违背而应该是本法则对这种情况不适用。,讨论,106,理解法则,4,作用的另一方法是,若是源项不存在，而且所有的相邻结点的温度,T,ab,都相等，则中心结点的温度,T,p,必定等于它们。在这样的条件下，只有一个蹩脚的离散化方程才会算出,T,p,T,ab,的结果来。,107,3.5,结语,在本章内，已经对本书所要制订的一类离散化方法做出了某些基本的判断，通过一个简单的例子，已经能够推导出四条基本的法则，这些法则构成了本书所有进一步计算工作的基本指导原则。在讨论中把温度,T,作为因变量。这样做只是为了概念上的方便。,通用微