广东省三校2025届高三下学期2月第一次模拟考试-数学试题（含答案）.docx

2
024－2025 学年度下学期
广东省三校二月第一次模拟考试
高三年级
数学•试题
参加学校：诺德安达学校，金石实验中学，英广实验学校
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
z
-i
1
．已知i 是虚数单位，复数 z 满足
= i ，则 z = （
）
3
A． -1+3i
B． -1-3i
C．1+ 3i
D．1-3i
2
．函数f (x) = 2x3 + 3x - 7 的一个零点所在的区间是（
）
A． (0,1)
B． (1, 2)
C． (2, 3)
D． (3, 4)
x
2
2
y
2
2
3
．已知 P 为椭圆C :
+
=1(a > b > 0) 上一动点， F 、 F 分别为其左右焦点，直线 PF 与 C 的另一
1
2
1
a
b
交点为 A ，△APF 的周长为 16．若 PF 的最大值为 6，则该椭圆的离心率为（
）
2
1
1
4
1
3
1
2
2
3
A．
B．
C．
D．
．某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重 X 服从正态分布 (
)，若
N 3.5,s
2
4
P(X > t) = 0.3 ，则 P(X > 7 -t) （
）
A．0.2
B．0.7
C． 0.8
D．0.9
2
5
．若一扇形的圆心角为 p ，半径为 20cm，则扇形的面积为（
）
5
A．
4
0pcm2
B．80pcm2
C． 40cm2
D．80cm2
6
．三棱锥 P - ABC 中， AC ^ BC ， PA ^ 平面 ABC ， AC = BC = 2，
PA = 4 ，则直线 PC 和直线 AB 所成的角的余弦值为（
）
1
2
1
3
10
3 10
10
A．
B．
C．
D．
10
7
．六氟化硫，化学式为 SF6 ，在常压下是一种无色，无味，无毒，不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在
电器工业方面具有广泛用途•六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面
体），如图所示．若此正八面体的棱长为 2，则下列说法正确的是（
）

-
-

4
2
A．正八面体的体积为
B．正八面体的表面积为8 3 + 4
3
6
4π
8π
C．正八面体的外接球体积为
D．正八面体的内切球表面积为
3
3
y = f (x)在
x = 5处的切线方程是 y = -2x +8
，则
f (5)与 f ¢(5)
8
．已知曲线
分别为（
）
A．3，3
B．3，－1
C．－13
D．－2，－2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9
．在△
ABC 中， ， ， 所对的边分别为
A
B
C
a
，b
， ．若
c
2bcsin 2A = b2 + c2 - a2
，则 的大小可能
A
为（
）
p
p
p
5p
A．
B．
C．
D．
6
3
2
6
sin x
+ cos 2x
1
0．已知函数 f (x) =
，则（
）
2
A． f (x) 是奇函数
B． f (x) 是周期函数
1
æ p p ö
D． f (x) 在区间ç- , ÷ 内单调递增
C．"xÎ R ， f (x) <
2
è 2 2 ø
1
1．我们知道，函数 y = f (x) 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y = f (x) 为奇函数•
有同学发现可以将其推广为：函数 y = f (x) 的图象关于点 P(a,b) 成中心对称图形的充要条件是函数
1
x -1
y = f (x + a) -b 为奇函数．现已知函数 f (x) = ax +
A．函数 y = f (x +1) - 2a 为奇函数
+ a ，则下列说法正确的是（
）
B．若方程 f (x) = 0 有实根，则 aÎ(-¥,0) U[1,+¥)
C．当 a > 0 时， f (x) 在 (1,+¥)上单调递增
1
D．设定义域为 R 的函数 g(x) 关于 (1, 1) 中心对称，若 a = ，且 f (x) 与 g(x) 的图象共有 2022 个交点，
2
记为 A (x , y )(i =1, 2,L, 2022)，则(x + y )+ (x + y )+L+ (x + y2022 )的值为 4044
i
i
i
1
1
2
2
2022
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
2
3
2．△ABC 的内角
A
B
，C
a
，b
， ．已知
c
b = 3 c = 2 cos A =
，则 ______．
a =
1
1
1
，
的对边分别为
，
，
3．在
(x -1)4 - (x -1)5 + (x -1)6 - (x -1)7 的展开式中，含 x3 的项的系数是______．（用数字作答）
2
+ y2 + 6x -8y + 25 = l 与 x 轴相切，则实数 l 的值是______．
4．若圆
x
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

æ
è
1 ö
5．（本小题 15 分）已知函数 f (x) = (x + m)ln x -çm +1+ ÷ x 在 x = e 处取到极值
e ø
1
（
（
Ⅰ）求 m 的值
æ
è
1 ö
Ⅱ）当 x >1时，证明 f (x) + ç2 + ÷ x > 2x - 2
e ø
e
x
（
Ⅲ）如果 s ，t ，r 满足| s - r |£| t - r |，那么称 s 比t 更靠近 r ，当 a ³ 2 且 x £1时，试比较
和
ex-1
+
a
哪个更靠近 f (x) ，并说明理由．
1
6. 本小题 分 某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品、二级正
品、次品共三个等级根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利 100 元，一个二级正品可获利 50 元，
一个次品亏损 80 元该运动产品公司试生产这款足球产品 2000 个，并统计了这些产品的等级，如下表：
等级 一级正品 二级正品 次品
频数 1000
800 200
（
（
1）求这 2000 个产品的平均利润是多少；
2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了 100 名男性和 100 名女性，每位
对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
满意
32
不满意
68
总计
100
100
200
男性
女性
总计
61
39
93
107
问：能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？
n(ad -bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
，其中 n a + b + c + d
=
．
K
2
=
附：
(
)
P K
2
³ k0
0
.10
0.05
0.025
5.024
0.010
6.635
0.005
7.879
0.001
k0
2
.706
3.841
10.828
7．（本小题 15 分）已知数列{a }的前 n 项和为 S ， a = t (t ¹ -1)， a - Sn = n ．
n+1

1
n
n
1

（
（
Ⅰ）当t 为何值时，数列{an +1}是等比数列？
x
y
1
2
Ⅱ）设数列{b }的前 n 项和为T ，b =1，点(T ,T )在直线
-
=
上，在（Ⅰ）的条件下，若
n
n
1
n+1
n
n +1 n
b
b2
bn
an +1
9
+
+¼+
³ m -
nÎ N
但成立，求实数 的最大值．
*
m
不等式
1
对于
a +1 a +1
1
2 + 2an
2
1
8．（本小题 17 分）已知圆 F 的圆心坐标为 (1, 0) ，且被直线 x + y - 2 = 0 截得的弦长为 2 ．
（
（
1）求圆 F 的方程；
2）若动圆 M 与圆 F 相外切，又与 y 轴相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程；
（
3）直线l 与圆心 M 轨迹位于 y 轴右侧的部分相交于 A 、B 两点，且OA×OB = -4，证明直线l 必过一定
点，并求出该定点．
x
2
2
y
2
2
1
9．（本小题 13 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C :
+
=1(a > b > 0) 的左，右焦点分别为 F1 ，
a
b
1
æ
è
p ö
2 ø
F2 ，离心率为 ，经过 F 且倾斜角为q 0 与 C 交于 A ， B 两点（其中点 A 在 x 轴上
ç
÷
1
2
方），且△ABF2 的周长为 8．现将平面 xOy 沿 x 轴向上折叠，折叠后 A ，B 两点在新图像中对应的点分别
记为 A ， B ，且二面角 A - F F - B 为直二面角，如图所示．
1
1
1
1
2
1
（
（
1）求折叠前C 的标准方程；
p
2）当q = 时，折叠后，求平面 B F F 与平面 A B F 夹角的余弦值；
1
1
2
1
1
2
3
1
5
（
3）探究是否存在q 使得折叠后△A B F 的周长为 ？若存在，求 tanq 的值；若不存在，说明理由．
1
1
2
2
2
024－2025 学年度下学期广东省三校二月第一次模拟考试
高三年级数学•试题参考答案

1
．【答案】D
解析】【分析】
【
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得到答案．
【
解答】
z
-i
解：∵
= i ，∴ z = i(3-i) =1+ 3i ，
3
∴
z =1-3i ，故选：D．
2
．【答案】B
【
解 析 】 解 ：
y = 2x3 和 y = 3x - 7 都 是 增 函 数 ， 所 以 函 数 f (x) = 2x3 + 3x - 7 为 增 函 数 ， 且
(
) = - <
( ) = + - = - <
( ) = + - =
>
<
f 0
7 0 ， f 1 2 3 7
2 0， f 2 16 6 7 15 0 ， f (1) f (2) 0 ，所以函数在区
间 (1, 2) 存在唯一零点，所在区间为(1, 2)．
故选：B．
根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断．
本题主要考查函数零点存在性定理，属于基础题．
3
．【答案】C
ì4a =16
îa + c = 6
ìa = 4
îc = 2
【
解析】解：设椭圆的半焦距为 c ，则由题意得 í
，解得 í
，
c
1
2
所以椭圆的离心率为 e =
=
．
a
故选：C．
由题意，结合椭圆的标准方程及定义，可得 a 、 c 的值，代入离心率公式计算即可．
本题考查椭圆的定义及性质，考查椭圆的离心率的求解，属于基础题．
4
．【答案】B
解析】【分析】
【
本题考查正态分布的实际应用，正态分布的概率，均值，方差，属于基础题．
利用正态曲线的对称性即可求解．
【
解答】
解：因为 X 服从正态分布
则正态曲线关于 X = 3.5对称，
(
)
N 3.5,s
2
，
故 P(X > 7 -t) =1- P(X > t) =1- 0.3 = 0.7 ，
故选：B．
5
．【答案】B
【
解 析 】 试 题 分 析 ： 因 为 ， 扇 形 的 圆 心 角 为
2p ， 半 径 为 20cm ， 所 以 ， 扇 形 的 面 积 为
5

1
S扇形 = aR2 = 80pcm2 ，故选：B
2
考点：扇形的面积公式
1
1
点评：简单题，扇形的面积公式
S
= lR = aR2 ．
扇形
2
2
6
．【答案】C
【
解析】解：如图所示，三棱锥 P - ABC 中， AC ^ BC ， PA ^ 平面 ABC ， AC = BC 2， PA = 4 ，
则 PC = AC - AP ，
所以 PC × AB = (AC - AP)× AB = AC × AB - AP× AB
p
p
=
2´2 2 ´cos + 4´2 2 ´cos = 4，
4
2
uuur uuur
uuur uuur uuur
p
2
2
2
PC = AC - 2AC × AP + AP = 4 - 2´2´4´cos +16 = 20 ， PC 2 5
=
，
2
|
AB |= 2 2 ，
uuur uuur
PC × AB
4
10
cos < PC, ABñ = uuur uuur =
=
，
|
PC || AB | 2 5 ´2 2
10
1
0
所以直线 PC 和直线 AB 所成角的余弦值为
．
1
0
故选：C．
根据题意画出图形，结合图形利用基向量表示 PC 、 AB ，求出 cos < PC ， AB > 即可得出答案．
本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题．
7
．【答案】D
【
解析】解：把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为 2，则正方体的棱长为 2 2 ，

选项 A ，正八面体的体积V = 2VM -EFGH ，设四棱锥 M - EFGH 的高为 h ，
1
1
2
8 2
3
则 h = MN = 2 ，所以V = 2V
= 2´ S
h = ´4´ 2 =
EFGH
，A 错误；
M -EFGH
2
3
3
3
选项 B，正八面体的表面积为八个面面积和，故 S = 8´
´4 = 8 3 ，B 错误；
4
选项 C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故 R = 2 ，
4
4
8 2
3
所以外接球体积
V = p R3 = p ( 2)3
=
p ，C 错误；
3
3
选项 D，设内切球半径为 r ，则根据正八面体体积相等，
1
8 2
3
V = S r = 8 3r =
表
，

3
6
所以 r =
，
3
8
p
S = 4pr
2
=
，D 正确．
所以内切球表面积为
3
故选：D．
把正八面体补形为正方体，求得正方体的棱长为 2 2 ，利用正八面体和正方体的关系即可求解．
本题考查几何体的体积与表面加的计算，属于中档题．
8
．【答案】D
解析】解：由题意得 f (5) = -10 +8 = -2 ， f (5) = -2．
¢
【
故选：D．
利用导数的几何意义得到 f ¢(5)等于直线的斜率-2，由切点横坐标为 5，得到纵坐标即 f (5) ，
本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
9

．【答案】ACD
【
解析】解：根据余弦定理，可得
2bccos A = b2 + c2 - a2 ，

结合
2bcsin 2A = b2 + c2 - a2 ，可知 cos A = sin 2A，即 cos A = 2 sin Acos A ，
p
当 cos A = 0 时，等式成立，结合 AÎ(0,p)，可得 A =
；
2
1
p
5p
当 cos A ¹ 0时，等式可化为sin A = ，结合 AÎ(0,p)， A =
或
．
2
6
6
p
p
5p
综上所述， A =
或
或
．
6
2
6
故选：ACD．
根据余弦定理化简题中等式，可得 cos A = sin 2A，然后利用二倍角公式并结合 A 为三角形的内角，计算出
角 A 的大小．
本题主要考查余弦定理，二倍角的三角函数公式及其应用等知识，属于基础题．
1
0．【答案】ABD
sin x
+ cos 2x
【
解析】解：易知 f (x) =
的定义域为 R ，
2
sin(-x)
+ cos(-2x) 2 + cos 2x
-sin x
又 f (-x) =
=
= - f (x) ，
2
所以 f (x) 是奇函数， A 正确；
sin(x + 2p )
+ cos 2(x + 2p ) 2 + cos 2x
sin x
由 f (x + 2p ) =
=
= f (x) ，
2
所以 f (x)的周期函数，B 正确；
p
sin
æ p ö
è 2 ø
1
2 -1
2
由 f ç ÷
=
=
=1，C 错误；
æ
p ö
2
+ cos 2´
ç
÷
è
2 ø
æ p ö
当 xÎç0, ÷ 时， y = sin xÎ(0,1) ，且单调递增，
è
2 ø
此时， 2xÎ(0,p ) 时， y = 2 + cos 2xÎ(1, 3) ，且单调递减，
æ p ö
所以函数 f (x) 在ç0, ÷上单调递增，
è
2 ø
æ p
è 2
ö
ø
又由 f (x) 是奇函数，所以函数 f (x) 在ç- ,0÷ 上单调递增，
æ p p ö
所以 f (x) 在区间ç- , ÷ 内单调递增，D 正确．
è 2 2 ø
故选：ABD．

æ p ö
根据函数奇偶性，周期性的定义可判断 A 、 B ；由 f ç ÷ =1，可判定C ；由 y = sin x 与 y = 2 + cos 2x
è 2 ø
æ p ö
在ç0, ÷上的单调性和值域，再结合奇函数的性质，可判断 f (x) 的单调性．
è
2 ø
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，周期性的判断，属于中档题．

1．【答案】ABD
解析】【分析】
1
【
本题考查了函数的新定义，函数的单调性，函数的奇偶性和函数的对称性，属于较难题．
1
根据题意有 f (x +1) - 2a = ax + ，可判定奇偶性，从而判定 A ；
x
ìD = -4a(-a +1) ³ 0
ax2 - a +1= 0 有解，所以 í
îa ¹ 0
由 f (x) = 0 有解，即
，解出，可判定 B；
1
x -1
当 a > 0 时， f (x) = a(x -1) +
+ 2a ，根据函数图像的平移可判定单调性，从而判定 C；
易得函数 g(x) 关于 (1, 1) 中心对称，由对称性计算判定 D．
1
x -1
1
x -1
【
解答】解：函数 f (x) = ax +
+ a = a(x -1) +
+ 2a ，
1
根据题意有 f (x +1) - 2a = ax + ，则函数 y = f (x +1) - 2a 为奇函数，
x
函数 f (x) 图像关于 (1, 2a) 成中心对称，所以选项 A 正确．
1
x -1
ax2 - a +1
选项 B : f (x) = ax +
+ a =
， f (x) = 0 有解，即 ax2 - a +1= 0 有解，
x -1
ìD = -4a(-a +1) ³ 0
îa ¹ 0
所以 í
，即 aÎ(-¥,0)U[1,+¥)，选项 B 正确；
1
x -1
选项 C：当 a > 0 时， f (x) = a(x -1) +
+ 2a ，
1
可由函数 y = ax + 向右平移 1 个单位，向上平移 2a 个单位得到．
x
æ
1
ö
1
又易知函数 y = ax + 在ç
,
+¥
÷ 上单调递增，
x
è a
ø
æ 1
ö
+
1,+¥
所以 f (x) 在ç
÷ 上单调递增，∴选项 C 错误；
è a
ø
1
选项 D：当 a = 时， f (x) 关于 (1, 1) 中心对称，又函数 g(x) 关于 1, 1) 中心对称，
2
(x + y )+ (x + y )+L+ (x + y2022 ) = 2´2022 = 4044 ，故选项 D 正确；
∴
1
1
2
2
2022

故选：ABD．
2．【答案】 5
1
2
3
【
∴
∴
解析】解：∵b = 3， c = 2， cos A =
，
2
2
= b2 + c2 - 2bccos A = 32 + 22 - 2´3´2´ = 5 ，
由余弦定理可得：
a
3
解得： a = 5 ．
故答案为： 5 ．
由已知利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
1
3．【答案】－69
【
解析】解：
(x -1)4 - (x -1)5 + (x -1)6 - (x -1)7 的展开式中，含 x3 的项的系数是：
-C
1
4
-C5
2
-C6
3
-C7 = -4 -10 - 20 -35 = -69．
3
故答案为：-69．
利用二项展开式的通项公式，分别求出的四部分中含
x3 的项的系数得答案．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题．
4．【答案】16
1
x
2
+ y2 + 6x -8y + 25 = l ，可得 (x + 3)2 + (y 4)2 = l ，
方程表示圆，则可得圆心为 (-3,4)，半径为 l (l > 0) ，
+ y2 + 6x -8y + 25 = l 与 x 轴相切，则可得 l =| 4 | ，解得 l =16 ，
【
解析】解：由
x
2
由圆
则实数 l 的值是 16．
故答案为：16．
求得圆心与半径，进而可得 l = 4 ，求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
æ
è
1 ö
e ø
1
5．【答案】解：（Ⅰ）由 f (x) = (x + m)ln x -çm +1+ ÷ x ，
x + m
æ
è
1 ö
+ ln x -çm +1+ ÷，
e ø
求导 f (x¢) =
x
e + m
1
由 f ¢(e) = 0，则
- m - = 0，解得： m =1， m 的值为 1；
e
e
（
Ⅱ）证明：由题意可知：不等式左边为 (x +1) ln x ，由 x >1，

2
(x -1)
x +1
(x -1)2
x(x +1)2
h(x) = ln x -
， h¢(x) =
， x >1，则 h¢(x) > 0 恒成立，
∴
∴
（
∵
∴
h(x) 在 (1,+¥)单调递增； h(x) > h(1) = 0 ，
则 (x +1) ln x > 2x - 2
e
Ⅲ）设 p(x) = - ln x ，
q(x) = ex-1 a ln x
+ -
，
x
e + x
1
则 p¢(x) =
< 0，
q (x) ex 1
¢
=
-
-
， q¢(1) = 0 ，则 q¢(x) > 0， x >1，
x
2
x
p(x) 在 xÎ[1,+¥)上为减函数，
又 P(e) = 0，∴当1£ x £ e 时， p(x) ³ 0 ，当 x > e 时， p(x) < 0 ，
q¢(x) 在 xÎ[1,+¥)上为增函数，+
又 q¢(1) = 0 ，∴ xÎ[1,+¥)时， q¢(x) ³ 0 ，∴ q(x)在 xÎ[1,+¥)上为增函数，
q(x) ³ q(1) = a +1> 0 ．
∴
∴
e
x
①当1£ x £ e 时，| p(x) | | q(x) | p(x) q(x)
-
=
-
=
-
ex-1 - ，
a
e
x
e
=
-
ex-1
-
a
，则 m¢(x) = - - ex-1 < 0
设
∴
∴
∴
∴
m(x)
x
2
m(x) 在 xÎ[1,+¥)上为减函数，
m(x) £ m(1) = e -1- a ，
a ³ 2 ，∴ m(x)< 0 ，∴ p(x) < q x
( ) ，
e
x
ex 1 a 更靠近 f x ．
-
+
( )
比
e
②当 x > e 时，| p(x) | - | q(x) |= - p(x) - q(x)
= - +
2ln x - ex-1 a 2ln x ex 1 - ，
- <
-
-
a
x
2
e
n x 2ln x - ex 1
设 ( )
=
-
-
a
，则 n¢(x)= - ex-1 ， n¢¢(x)= - - ex-1 < 0
x
x
2
n x n e = 2 - a - ee 1
( ) ( )
<
-
< 0，则 n¢(x)< 0
∴
e
p x < q(x) ，∴ 比 ex-1
( )
+ a
∴
更靠近
f (x)
．
x
e
x
综上，在 a ³ 2 ， x ³1时，
比
ex 1 a 更靠近 f (x) ．
-
+
【
解析】（Ⅰ）由题意可知：求导， f ¢(e) = 0，即可求得 m 的值；

2
(x -1)
x +1
（
（
Ⅱ）构造函数 h(x) = ln x -
，求导，根据函数的单调性，即可证明不等式；+
e
Ⅲ）设 p(x) = - ln x ，
q(x) = ex-1
+ a - ln x
，由导数性质求出 p(x) 在 xÎ[1,+¥)上为减函数， q(x)
x
e
在 xÎ[1,+¥)上为增函数，由此利用导数性质推导出在 a ³ 2 ， x ³1时，
比
ex-1
+
a 更靠近 ln x
．
x
本题考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况，主要考查考生分类
讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求，属于中档题．
6．【答案】解：（1）依题意可得平均利润为1
00´1000 + 50´800 + 200´(-80)
= 62（元）；
1
2
000
（
2）零假设 H0 ：男性和女性对这款足球产品的评价无差异，
2
00´(32´39 - 61´68)2
K

2
=
»16.903 >10.828，
依题意可得
1
00´100´93´107
所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异．
【
解析】（1）直接根据平均数计算公式即可；
（
2）计算出
K
2 的值再与临界值比较即可。
本题主要考查了平均数的定义，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
7．【答案】解：（Ⅰ）由 an+1 - S = n ，得 a - S = n -1(n ³ 2)，
1
n
n
n-1
两式相减得 an+1 - a -(S - S ) =1，即 a = 2an +1，
n
n
n1
n+1
所以 an+1 +1= 2(an +1)(n ³ 2) ，
由 a1 = t 及 an+1 - S = n ，得 a = t +1，
n
2
a2 +1 t + 2
因为数列{an +1}是等比数列，所以只需要
=
=
2，解得t = 0，此时，数列{an +1}
是以
a +1=1
+1
t +1
1
a1
为首项，2 为公比的等比数列．
x
y
1
2
Tn+1
n +1
Tn
n
1
=
2n-1
- ，因为点(T ,T )在直线
1
-
=
上，所以
-
=
，
（
Ⅱ）由（Ⅰ）得
a
n
n+1
n
n +1 n
2
ìT ü
î n þ
T
1
Tn
n
1
=1
为首项， 为公差的等差数列，则 =1+ (n -1) ，
í
n
ý是以
1
故
1
2
2
n(n +1)
所以Tn =
，
2
n(n +1) (n -1)n
当 n ³ 2 时，b = T -T
=
-
= n，b =1满足该式，所以b = n ．
n
n
n-1
1
n
2
2
b
b2
bn
an +1
9
2
3
n
2n-1
9
+
+¼+
³ m -
1+ + +¼+
³ m -
不等式
1
即为
，
a +1 a +1
1
2 + 2an
2
2
2
2
n
2

2
3
n
2n-1
1
1
2
2
3
n
令 R =1+ + +¼+
，则 R =
+
+
+¼+
，
n
2
n
22
23
2n
2
2
2
æ
è
1 ö
2 ø
1
1
1
1
2n-
n
2n
n + 2
2n
两式相减得ç1- ÷ R =1+ +
+
+¼+
-
= 2 -
，
n
2
3
1
2
2
2
n + 2
所以 Rn = 4 -
．
n-1
2
9

2n
2n -5
2n
由 Rn ³ m - 恒成立，即 4 -
³ m 恒成立，
æ
è
2n -3 ö æ
2n+1 ø è
2n -5 ö 2n - 7
÷ =
又ç4 -
÷ -ç4 -
，
2
n
ø
2n+1
ì
î
2n -5ü
ì
î
2n -5ü
故当 n £ 3时， í4 -
ý单调递减；当 n ³ 4 时， í4 -
ý单调递增，
2
n
þ
2
n
þ
2
´3-5 31
2´4 -5 61，则 4 - 2n -5
61
16
当 n = 3时， 4 -
所以实数 m 的最大值是
=
；当 n = 4 时， 4 -
=
的最小值为
，
2
3
8
2
4
16
2
n
6
1
．
1
6
【
解析】（Ⅰ）由条件 an+1 - S = n ，令 n = n -1得 a - S = n -1(n ³ 2)，两式相减得数列递推公式
n-1
n
n
an+1 = 2an +1，转化为 an+1 +1= 2(a +1)(n ³ 2) 求 a ，然后利用数列{a +1}是等比数列，再求 t 即可；
n
2
n
x
y
1
2
ìT ü
î n þ
n(n +1)
Ⅱ）由点(T ,T )在直线
-
=
=
，然后求出bn = n ，连
í
n
ý是等差数列且Tn
（
同
上求出
n+1
n
n +1 n
2
a
n
=
2n-1
- 代入不等式化简．不等式的左边为等比数列前 n 项和令其为所 R ，利用错位相减法求出
1
n
n + 2
9
2n
2n -5
2n
Rn = 4 -
，则原不等式为 Rn ³ m -
恒成立，即 4 -
³ m 恒成立，利用数列的增减性求解．
n-1
2
本题是典型的数列题，形式复杂，但规律性强，第一问属基础技巧，知 S ，a 混合式求递推公式再求通项，
n
n
第二问较难，求出bn ，代入不等式求解，千万不要怕复杂，克服畏惧心理，沉着答题．
1
8．【答案】解：（1）设圆 F 的方程为 (x -1)2 + y2 = r2 ， r > 0 ，
|
1+ 0 - 2 |
2
由圆心到直线 x + y - 2 = 0 的距离为
d =
=
，
2
2
1
由弦长公式可得
2
= 2 r2
-
，解得 r 1
=
，
2
可得圆 F 的方程为
(x -1)2 + y2 =1；
（
2）设 M 的坐标为 (x, y)，由动圆 M 与圆 F 相外切，又与 y 轴相切，

可得 M 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 1，
即为 M 到点 F 的距离与它到直线 x = -1的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心 M 的轨迹方程为
y
2
= 4x ；
= 4x ，消去 x 得 y2 - 4ty - 4b = 0
设 A(x , y )， B(x , y )，则 y + y = 4t ， y y = -4b ，
2
（
3）证明：设l : x = ty + b 代入抛物线
y
1
1
2
2
1
2
1
2
OA×OB x x y1 y2 (ty1 b)(ty2 b) y y
2
=
+
=
+
+
+
∴
1
2
1
=
t
2
y y + bt (y + y )+ b2 + y1 y2
1
2
1
2
=
-4bt
2
+ 4bt + b2 - 4b = b2 - 4b
2
令b2 - 4b = -4 ，∴b2 - 4b + 4 = 0 ，∴b = 2 ．
∴
【
直线l 过定点 (2, 0) ．
解析】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和定义法，考查直线方程和抛物线方程联立，运
用韦达定理，考查方程思想和向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
（
1）设圆 F 的方程为
(x -1)2 + y2 = r2 ， r > 0 ，运用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到半径 r ，
可得圆 F 的方程；
（
2）由题意可得 M 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 1，即为 M 到点 F 的距离与它到直线 x = -1的距
离相等，由抛物线的定义可得抛物线的方程；
3）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于 y 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量
积，根据数量积等于-4，解出数量积表示式中的b 的值，即得到定点的坐标．
（
ìc
1
2
=
ï
ìa = 2
a
ï
ï
1
9．【答案】解：（1）由题意得： í4a = 8
，解得 íb = 3 ，
ï
ï
a
2
= b2 + c2
c =1
ï
î
î
x
2

y
2
故折叠前椭圆C 的标准方程
+
=1．
4
3
p
（
2）当q = 时，直线l 的方程为： y = 3(x +1) ，
3
ì
2
2
x
y
+
=1
ï
联立 í 4
3
，
ï
y = 3(x +1)
î

æ
ö
8
5
3 3
5
解得 A(0, 3) ， Bç- ,-
,0÷ ，
ç
÷
è
ø
以原来的 x 轴为 x 轴， y 轴正半轴所在直线为 z 轴， y 轴负半轴所在的直线为 y 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
æ
ö
8
5
3 3
5
(
)
则 A 0