数学苏教七年级下册期末真题模拟题目及解析.doc

完整版）数学苏教七年级下册期末真题模拟题目及解析
一、选择题
1．下列计算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（﹣a2）3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3⋅a2＝a5
2．如图，和不是同旁内角的是（ ）
A． B． C． D．
3．在数轴上表示不等式﹣x＞的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．下列命题中，真命题的是（ ）
A．内错角相等 B．三角形的一个外角等于两个内角的和
C．若，则 D．若，则
7．一列数，其中为不小于2的整数，则（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知：如图所示，将△ABC的∠C沿DE折叠，点C落在点C'处，设 ∠AEC′=β，∠BDC'=γ，则下列关系式成立的是（ ）

A．2α=β+γ B．α=β+γ C．α+β+γ=180° D．α+β=2γ
二、填空题
9．计算：2x•（﹣3xy）＝___．
10．下列三个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③两直线平行，同位角相等．其中是假命题的有_____．（填序号）
11．一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的一个内角的度数是_____度．
12．正数满足，那么______．
13．已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____．
14．如图所示，大长方形的长为8cm，宽为4cm，则阴影部分的面积是________．

15．如图，的两条直角边分别经过正八边形的两个顶点，则图中的度数是________．

16．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第________ 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．

17．计算题
（1）﹣12020﹣+（2π﹣1）0；
（2）4a6b3﹣3a3b2+2a2b2）÷（﹣2ab）2；
（3）（2a﹣b+1）（2a+b+1）；
（4）20192﹣4038×2021+20212．
18．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（1）解方程组
（2）解方程组
20．已知关于x，y的方程组，的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）计算|m﹣4|＋|m＋2|．
三、解答题
21．如图，∠1＝60°，∠2＝120°，∠A＝∠D．探索∠C与∠DEC的数量关系，并说明理由．

22．某超市投入31500元购进A、B两种饮料共800箱，饮料的成本与销售价如下表：（单位：元/箱）
类别
成本价
销售价
A
42
64
B
36
52

（1）该超市购进A、B两种饮料各多少箱？
（2）全部售完800箱饮料共盈利多少元？
（3）若超市计划盈利16200元，且A类饮料售价不变，则B类饮料销售价至少应定为每箱多少元？
23．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（列方程组解应用题）
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买）则该公司共有 　 　种购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是 　 　元．
24．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动,A、B不与点O重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.
（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,
如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________
（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反向延长线交于E、F，则∠EAF＝ ；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数.

25．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

（探究1）：如图1，在ΔABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90º+∠A，（请补齐空白处）
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，_________________，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180º－∠A）=90º－∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（________）=90º+∠A．
（探究2）：如图2，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（应用）：如图3，在RtΔAOB中，∠AOB=90º，已知AB不平行与CD，AC、BD分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，又CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，则∠E=_______；
（拓展）：如图4，直线MN与直线PQ相交于O，∠MOQ=60º，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO=______．
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
A.根据同类项的定义解题；B.根据幂的乘方解题；C.根据完全平方公式解题；D.根据同底数幂的乘法解题．
【详解】
解:A. 2a与3b不是同类项，不能合并，故A错误；
B.（﹣a2）3＝-a6，故B错误；
C.（a+b2＝a2+2ab+b2，故C 错误；
D. a3⋅a2＝a5，故D正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查幂的乘方运算、完全平方公式、合并同类项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．根据同旁内角的概念可得答案．
【详解】
解：选项A、C、D中，∠1与∠2在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，是同旁内角；
选项B中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同旁内角．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形．
3．A
解析：A
【分析】
求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来．
【详解】
解：﹣x＞，
−x＞2，
x＜−2，
表示在数轴上如图：
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查解不等式得基本能力及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．D
解析：D
【分析】
根据不等式的基本性质解答即可．
【详解】
解：∵a＞b，
∴a-b＞0，故A错误；
由于不能确定a与b是否同号，所以ab的符号不能确定，故B错误；
-a＜-b，故C错误；
a+1＞b+1，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
利用不等式的基本性质求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵不等式的解集为，
∴
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查不等式的基本性质、不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质的运用，注意符号的变化是解答的关键．
6．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质，三角形的外角的性质，绝对值，解方程等知识一一判断即可．
【详解】
解：A、内错角相等．错误，缺少两直线平行的条件，本选项不符合题意．
B、三角形的一个外角等于两个内角的和，错误，应该是三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和，本选项不符合题意．
C、若a＞b＞0，则|a|＞|b|，正确，本选项符合题意．
D、若2x=-1，则x=-2，错误，应该是x=-．
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．B
解析：B
分析】
由题意易得，，，…..；由此可得规律为按照三个一循环进行下去，因此问题可求解．
【详解】
解：由为不小于2的整数可得：
，，，…..；
∴该列数的规律为按照三个一循环排列下去，
∴，
∴2；
故选B．
【点睛】
本题主要考查数字规律，关键是由题意得到数字的一般规律，进而问题可求解．
8．A
解析：A
【分析】
通过平角关系用∠CEC′、∠CDC′表示出β、γ，通过三角形的内角和用∠CEC′、∠CDC′表示出∠C、∠C′，计算可得结论．
【详解】
解：由折叠的性质知：∠C=∠C′=α．
∵∠AEC′+∠CEC′=180°，∠BDC′+∠CDC′=180°，
∴β=180°-∠CEC′，γ=180°-∠CDC′．
∴β+γ=360°-∠CEC′-∠CDC′．
∵∠C+∠CEC′+CDC′+∠C′=360°，
∴2α=360°-∠CEC′-∠CDC′．
∴β+γ=2α．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，掌握折叠的性质，用含∠CEC′、∠CDC′表示出α、β、γ是解决本题的关键．
二、填空题
9．-6x2y
【分析】
根据单项式乘单项式法则，即可求解．
【详解】
解：2x•（﹣3xy）=-6x2y，
故答案是：-6x2y．
【点睛】
本题主要考查单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式法则是解题的关键．
10．②
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
解：①对顶角相等，是真命题；
②两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
③两直线平行，同位角相等，是真命题；
故答案为：②．
【点睛】
本题考查命题的判断，对顶角的性质，平行线的性质，熟记各类定理是解题的关键.
11．135
【分析】
先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论．
【详解】
设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n−2）•180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n−2）•180°＝360°×3
解得：n＝8．
∴这个正多边形的每个外角＝＝45°，
则这个正多边形的每个内角是180°−45°＝135°，
故答案为：135．
【点睛】
本题考查了正多边形的内角与外角，正多边形的性质；熟练掌握正多边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键．
12．64
【分析】
将式子因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可．
【详解】
解：∵，
∴ab-bc+2(a-c)=0,
即(a-c)(b+2)=0,
∵b﹥0,
∴b+2≠0,
∴a-c=0,
∴a=c,
同理可得ab,b=c,
∴a=b=c,
∴=12可化为a2+4a-12=0
∴(a+6)(a-2)=0,
∵a为正数，
∴a+6≠0,
∴a-2=0,
∴a=2,
即a=b=c=2,
∴(2+2) ×(2+2) ×(2+2)=64
故答案为64．
【点睛】
本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．
13．．
【分析】
根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【详解】
解：
①-②，得
∵
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．
14．8cm2
【分析】
根据圆和长方形的轴对称性质可知，阴影部分的面积和正好等于长方形面积的四分之一．
【详解】
如图所示：

根据题意可知，
扇形1的面积等于扇形2的面积，所以1和3的面积和为矩形面积的八分之一，4和5的面积和同理为矩形面积的八分之一，
故阴影部分的面积为长方形面积的，
所以阴影部分的面积=×8×4=8．
故答案是：8.
【点睛】
考查了运用割补的办法把不规则的阴影部分拼接成规则图形来求算面积的方法．解决本题的关键是要知道阴影部分的面积和正好等于长方形面积的四分之一．
15．【分析】
先求出正八边形每个内角的度数，进一步得到正八边形2个内角的和，然后根据直角三角形两锐角和为可得答案．
【详解】
解：正八边形每个内角为：，
∴，
∵直角三角形两锐角和为，即，
∴，
故答
解析：
【分析】
先求出正八边形每个内角的度数，进一步得到正八边形2个内角的和，然后根据直角三角形两锐角和为可得答案．
【详解】
解：正八边形每个内角为：，
∴，
∵直角三角形两锐角和为，即，
∴，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了多边形内角和公式，直角三角形两锐角互余，关键是根据多边形内角和公式求出正八边形每个内角的度数．
16．5或11.5．
【分析】
根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；根据内错角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转
解析：5或11.5．
【分析】
根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；根据内错角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角+速度计算即可得解．
【详解】
解：在△CEN中，∠CEN=180°-30°-45°=105°；
∵∠BON=∠N=30°，
∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°-∠DCO=180°-45°=135°；
如图所示，

MN⊥CD时，旋转角为90+（180°-60°-45°）=165°，
或360°-（60°-45°）=345°，
所以，t=165°+30°=5.5秒，
或t=345°+30°=11.5秒．
故答案为5.5或11.5．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，分情况讨论．作出图形是解答此题的关键．
17．（1）；（2）a4b﹣a+；（3）4a2+4a+1﹣b2；（4）4
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则
解析：（1）；（2）a4b﹣a+；（3）4a2+4a+1﹣b2；（4）4
【分析】
（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用平方差公式计算得出答案；
（4）直接利用完全平方公式计算得出答案．
【详解】
解：（1）﹣12020﹣+（2π﹣1）0
＝﹣1+1
＝；
（2）（4a6b3﹣3a3b2+2a2b2）÷（﹣2ab）2
＝（4a6b3﹣3a3b2+2a2b2）÷4a2b2
＝a4b﹣a+；
（3）（2a﹣b+1）（2a+b+1）
＝（2a+1）2﹣b2
＝4a2+4a+1﹣b2；
（4）20192﹣4038×2021+20212
＝（2019﹣2021）2
＝4．
【点睛】
本题考查了实数运算，整式的除法，乘法公式的应用，解题关键是熟记相关法则与公式，准确熟练地进行计算．
18．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；
（2）利用完全平方公式因式分解即可；
（3）先提符号，在用完全平方公式因式分解即可；
（4）先利用平方差公
解析：（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）先提公因式，再用平方差公式因式分解即可；
（2）利用完全平方公式因式分解即可；
（3）先提符号，在用完全平方公式因式分解即可；
（4）先利用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解即可
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点睛】
本题考查因式分解，掌握因式分解的方法与技巧是解题关键．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）用加减消元法解方程组；
（2）用加减消元法即可求解.
【详解】
（1）解：，
①×2得：，
③＋②得：，
解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解为：；
（2）解
解析：（1）；（2）.
【分析】
（1）用加减消元法解方程组；
（2）用加减消元法即可求解.
【详解】
（1）解：，
①×2得：
③＋②得：，
解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解为：；
（2）解：，
①×3＋②×2得：，
解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解为：.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是关键.
20．（1）；（2）
【分析】
（1）利用加减法解关于、的方程组，根据题意得到，然后解关于的不等式组即可求解；
（2）根据（1）的结论进行化简即可求解．
【详解】
解：（1），
①+②，得，
∴，
①-②
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）利用加减法解关于、的方程组，根据题意得到，然后解关于的不等式组即可求解；
（2）根据（1）的结论进行化简即可求解．
【详解】
解：（1），
①+②，得，
∴，
①-②，得，
∴，
为非正数，为负数，
，
解得；
∴的取值范围为．
（2），
∴，．
∴

．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法是解决本题的关键．
三、解答题
21．∠C＝∠DEC，理由见解析
【分析】
根据∠1＝60°，∠2＝120°可得AEBD，进而可得∠A＝∠DBC，再结合∠A＝∠D，即可证得ACDE，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】
解：∠C＝∠
解析：∠C＝∠DEC，理由见解析
【分析】
根据∠1＝60°，∠2＝120°可得AEBD，进而可得∠A＝∠DBC，再结合∠A＝∠D，即可证得ACDE，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】
解：∠C＝∠DEC，理由如下：
∵∠1＝60°，∠2＝120°，
∴∠1+∠2＝60°+120°＝180°，
∴AEBD，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠DBC，
∴ACDE，
∴∠C＝∠DEC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，要注意平行线的性质和判定的区别．
22．（1）购进A型饮料450箱，购进B型饮料350箱；（2）全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）B类饮料销售价至少定为每箱54元
【分析】
（1）设购进A型饮料x箱，购进B型饮料y箱，根据题意
解析：（1）购进A型饮料450箱，购进B型饮料350箱；（2）全部售完800箱饮料共盈利15500元；（3）B类饮料销售价至少定为每箱54元
【分析】
（1）设购进A型饮料x箱，购进B型饮料y箱，根据题意列出方程组解答即可；
（2）根据利润的公式解答即可；
（3）设B类饮料销售价定为每箱a元，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】
解：（1）设购进A型饮料x箱，购进B型饮料y箱，根据题意得

解得
答：购进A型饮料450箱，购进B型饮料350箱．
（2）（64﹣42）×45052﹣36）×350＝15500（元）
答：全部售完800箱饮料共盈利15500元；
（3）设B类饮料销售价定为每箱a元，根据题意得
（64﹣42）×450+（a﹣36）×350≥16200
解得a≥54
答：B类饮料销售价至少定为每箱54元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列出方程（方程组、不等式或不等式组）．
23．（1）型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元；（2）3；（3）
【分析】
（1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意列出二元一次方程组解方程组求解即可；
（2）设购进型汽车辆，
解析：（1）型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元；（2）3；（3）
【分析】
（1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意列出二元一次方程组解方程组求解即可；
（2）设购进型汽车辆，型汽车辆，依题意列出二元一次方程，根据为正整数，求得整数解，即可求得方案数
（3）根据（2）的方案以及题意，分别计算利润，比较之即可求得最大利润．
【详解】
（1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意，得

解得
答：型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元．
（2）设购进型汽车辆，型汽车辆，依题意得

为正整数，
或或
有3种购买方案
故答案为：3
（3）该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，
方案1，获得的利润为：（元）
方案2，获得的利润为：（元）
方案3，获得的利润为：（元）

购进型汽车2辆，型汽车辆时，获利最大，最大利润是元
故答案为：
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系列出方程组是解题的关键．
24．（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．
【分析】
（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外角的性质得到∠
解析：（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．
【分析】
（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM＝270°，根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，于是得到结论；
（2）由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB＝∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC＝∠CAB，即可得到结论；根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC＝∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC＝∠MBC，于是得到结论；
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可得出∠E与∠ABO的关系，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分情况进行分类讨论即可．
【详解】
解：（1）∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠ABM＝270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC＝∠PAB，∠ABC＝∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，
∴∠ACB＝45°；
（2）∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB＝∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC＝∠CAB，
∴∠PAC＝∠CAB＝∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC＝∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝∠MBC，
∴∠MBC＝∠ABC＝∠ABN，
∴∠ABO＝60°，
故答案为：30°，60°；
（3）∵AE、AF分别是∠BAO与∠GAO的平分线，
∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠GAO，
∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线
∴∠EAF＝∠EAO+∠FAO＝（∠BAO+∠GAO）＝90°．
在△AEF中，∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E,
∴∠EAO= ∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF＝∠F，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
②∠F＝∠E，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
③∠EAF＝∠E，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；
④∠E＝∠F，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）；
∴∠ABO为60°或72°．
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.另外需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想．
25．【探究1】∠2=∠ACB，90º－∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣∠A，理由见解析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．
【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠
解析：【探究1】∠2=∠ACB，90º－∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣∠A，理由见解析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．
【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，根据三角形的内角和定理可得∠1+∠2=90º－∠A，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【探究2】如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），然后再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得∠G的度数，于是可得∠GCD+∠GDC的度数，然后根据角平分线的定义和角的和差可得∠1+∠2的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出结果；
【拓展】根据角平分线的定义和平角的定义可得∠EAF=90°，然后分三种情况讨论：若∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠ABO=2∠E，于是可得结果；若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，由【探究2】的结论可求出∠ABO=135°，然后由三角形的外角性质即可判断此种情况不存在；若∠F=4∠E，则∠E=18°，然后再由第一种情况的结论∠ABO=2∠E即可求出结果，进而可得答案．
【详解】
解：【探究1】理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180º－∠A）=90º－∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－90º－∠A）=90º+∠A；
故答案为：∠2=∠ACB，90º－∠A；

【探究2】∠BOC＝90°﹣∠A；理由如下：
如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
＝180°﹣（180°+∠A），
＝90°﹣∠A；

【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得：∠G=，
∴∠GCD+∠GDC=45°，
∵CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，
∴∠1=∠ACD=，∠2=∠BDC=，
∴∠1+∠2=+=,
∴；
故答案为：22.5°；

【拓展】如图4，∵AE、AF是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAQ+∠FAQ=，
即∠EAF=90°，
在Rt△AEF中，若∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，
∵∠EOQ=∠E+∠EAQ，∠BOQ=2∠EOQ，∠BAO=2∠EAQ，
∴∠BOQ=2∠E+∠BAO，
又∠BOQ=∠BAO+∠ABO，
∴∠ABO=2∠E=45°；

若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，
则由【探究2】知：，∴ ∠ABO=135°，
∵∠ABO＜∠BOQ=60°，∴此种情况不存在；
若∠F=4∠E，则∠E=18°，
由第一种情况可知：∠ABO=2∠E，∴∠ABO=36°；
综上，∠ABO=45°或36°；
故答案为：45°或36°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平角的定义和三角形的外角性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想是解题的关键．