1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、,k,级子式 余子式 代数余子式,二、拉普拉斯(Laplace)定理,8 拉普拉斯定理、行列式乘法法则,三、行列式乘法法则,第1页,一、,k,级子式与余子式、代数余子式,定义,在一种 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列,按照本来次序构成一种 k 级行列式 M，称为行列,(,),，,位于这些行和列交,叉点上 个元素,式 D 一种 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后,式,，称为,k,级子式,M,余子式,；,
2、余下元素按照原来次序组成 级 行列,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第2页,若,k,级子式 M 在 D 中所在行、列指标分别是,，则在 M 余子式,前,后称之,为 M,代数,加上符号,余子式,，记为 .,注：,k,级子式不是唯一.,（任一,n,级行列式有,个,k,级子式）,时，D本身为一个,n,级子式,时，D中每个元素都是一个1级子式；,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第3页,例1：四阶行列式,选定1、3行，2、4列一种二级子式M,M余子式和代数余子式分别为,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第4页,例2：五阶行列式,中,与,是一对互余子式.
3、第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第5页,二、,拉普拉斯(Laplace)定理,引理,行列式 D 任一子式 M 与它代数余子式,A乘积中每一项都是行列式 D 展开式中,一项，并且符号也一致,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第6页,Laplace 定理,由这 k 行元素所构成一切k级子式与它们,设在行列式,D,中任意取,k,(,)行，,代数余子式乘积和等于 D即,若 D 中取定,k,行后，由这,k,行得到,k,级子式,则 .,，它们对应代数余子,式分别为,为,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第7页,时，,即为行列式 D 按某行展开；,注：,为
4、行列式 D 取定前 k 行运用Laplace 定理成果,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第8页,例,对于四阶行列式,选定2、3行得子式和代数余子式分别为,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第9页,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第10页,例3：计算行列式,解：选定一二行得六个子式,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第11页,.,它们代数余子式为,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第12页,三、行列式乘法法则,设有两个,n,级行列式,其中,则,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第13页,证：,作一种2n级行列式,由拉普拉斯定理,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第14页,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第15页,又对,D,作初等行变换：,可得,这里,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第16页,从而,第二章 行列式,8 拉普拉斯定理 行列式乘法法则,第17页,
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