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课时作业10 椭圆及其标准方程
时间: 45分钟 分值: 100分
一、 选择题(每小题6分, 共36分)
1．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是( )
A．(±, 0) B．(0, ±)
C．(±, 0) D．(±, 0)
解析: 椭圆4x2＋9y2＝1的标准形式为＋＝1,
∴a2＝, b2＝.故c2＝－＝.
答案: C
2．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0), 则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
解析: 由题知a2－2＝4, ∴a2＝6.
2、
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案: D
3．在椭圆＋y2＝1中, 有一沿直线运动的粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1, 再次被椭圆反射后又回到F2, 则该粒子在整个运动过程中经过的距离为( )
A．4 B．4
C．3 D．5.5
解析: 把粒子运动轨迹表示出来, 可知整个距离为4a, 即
4.
答案: B
4．已知椭圆＋＝1, 长轴在y轴上, 若焦距为4, 则m等于( )
A．4 B．5
C．7 D．8
解析: 由题意知, 焦距为4, 则有m－2－(10－m)＝()2.解得: m＝8.
答案:
3、D
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m4、＝2＝4, ∴△PF1F2为直角三角形．
答案: B
二、 填空题(每小题8分, 共24分)
7．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆, 则k的取值范围是________．
解析: 将原方程整理, 得＋＝1.根据题意得解得05、2A|＋|F2B|＝12,
∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
答案: 8
9．( ·江西高考)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上, 过点(1, )作圆x2＋y2＝1的切线, 切点分别为A, B, 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, 则椭圆方程是________．
解析: ∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为(1,0), 即c＝1.设P(1, ), 则kOP＝, ∵OP⊥AB, ∴kAB＝－2, 则直线AB的方程为y＝－2(x－1), 它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2, a2＝b2＋c2＝5, 故椭圆的方程为＋＝1.
答案: ＋＝1
三、 解答题(共40分
6、)
10．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点坐标分别是(0,5), (0, －5), 椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26;
(2)中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过A(, －2)和B(－2, 1)两点的椭圆的标准方程．
解: (1)∵焦点在y轴上, ∴设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝26,2c＝10, ∴a＝13, c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)方法一: ①当焦点在x轴上时, 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0),
依题意, 有解得
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时,
7、设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意, 有, 解得
∵a0, B>0且A≠B),
依题意, 得解得
∴所求椭圆方程为x2＋y2＝1.∴其标准方程为＋＝1.
图1
11．(15分)如图1, 已知圆A: (x＋3)2＋y2＝100, 圆A内一定点B(3,0), 动圆P过B点且与圆A内切, 设动圆P的半径为r, 求圆心P的轨迹方程．
解: 由题可知|PB|＝r,
∵圆P与圆A内切, 圆A的半径为10,
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r,
即|PA|
8、＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、 B两点为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5, c＝3.
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16,
即点P的轨迹方程为＋＝1.
12．(15分)设P(x, y)是椭圆＋＝1上的点且P的纵坐标y≠0, 点A(－5,0)、 B(5,0), 试判断kPA·kPB是否为定值? 若是定值, 求出该定值; 若不是定值, 请说明理由．
解: ∵点P在椭圆＋＝1上,
∴y2＝16×(1－)＝16×.①
∵点P的纵坐标y≠0,
∴x≠±5.
∴kPA＝, kPB＝.
∴kPA·kPB＝·＝.②
把①代入②, 得kPA·kPB＝＝－.
∴kPA·kPB为定值, 这个定值是－.
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