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圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?
定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为的直线经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则
（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长；
（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长.

推论：
（1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.
（2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.
典题妙解
下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.
例1（06湖南文第21题）已知椭圆，抛物线（＞0），且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.
（Ⅰ）当轴时求p，m的值，并判断抛物线的焦点是否在直线AB上；

O
A
B
x
y
（Ⅱ）若且抛物线的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

A
B
C
D
O
x
y

P
例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P.
（1）设P点的坐标为，证明：＜1.
（2）求四边形ABCD的面积的最小值.

例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点. 已知、、成等差数列，且与同向.
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
A
B
y
O F x

N
M
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

金指点睛
1. 已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点，则=_________.
2. 过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，则=_________.
3. 已知椭圆，过左焦点F作直线交A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积.

B
O x
y
A
F

y
O F x
A
B
4. 已知抛物线（＞0），弦AB过焦点F，设，△AOB的面积为S，求证： 为定值.

5.（05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点. 已知与共线，与共线，且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.
O x
N
P
y
M
Q
F

6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；
（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交轴于点P，证明为定值，并求此定值.
y
O F x
A
B
D
E
C

m
P

7. 点M与点的距离比它到直线的距离小1.
（1）求点M的轨迹方程；
F
O x
A
B
D
C
y
（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD的最小面积.

8. 已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同，且以抛物线的准线为其中一条准线.
（1）求双曲线的方程；
y

A
O x

B
C
D
（2）若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；C、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.

参考答案：
证明：设双曲线方程为（＞0，＞0），通径，离心率，弦AB所在的直线的方程为（其中，为直线的倾斜角），其参数方程为
.
代入双曲线方程并整理得：.
由t的几何意义可得：

例1.解：（Ⅰ）当轴时，点A、B关于x轴对称，，直线AB的方程为.
从而点A的坐标为或.
点A在抛物线上，
即
此时抛物线的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上.
（Ⅱ）设直线AB的倾斜角为，由（Ⅰ）知.
则直线AB的方程为.
抛物线的对称轴平行于轴，焦点在AB上，通径，离心率，于是有

又AB过椭圆的右焦点，通径，离心率.

O
A
B
x
y

解之得：.
抛物线的焦点在直线上，
，从而.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为
例2.（1）证明：在中，.
O是的中点，
得
点P在圆上.
显然，圆在椭圆的内部.
故＜1.
（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为，由可知，直线AC的倾斜角.
通径，离心率.
又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、，于是

A
B
C
D
O
x
y

P

四边形ABCD的面积

.
.
故四边形ABCD面积的最小值为.
例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为（＞0，＞0）.
、、成等差数列，设，公差为d，则，，
. 即.
. 从而，.
又设直线的倾斜角为，则. 的方程为.
而
A
B
y
O F x

N
M
.
解之得：

（Ⅱ）设过焦点F的直线AB的倾斜角为, 则.
. 而
.
通径.
又设直线AB与双曲线的交点为M、N. 于是有：.
即.
解得，从而.
所求的椭圆方程为.
1. 解：，离心率，通径，直线的倾斜角.
.
2. 解：，离心率，通径，直线的倾斜角.
.
3. 解：，，左焦点，离心率，通径.
当直线的斜率不存在时，轴，这时，高，△AOB的面积.
当直线的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点O到直线AB的距离.
.
B
O x
y
A
F
△AOB的面积.
0＜＜，
＞0. 从而.
.
当且仅当，即时，“=”号成立. 故△AOB的最大面积为.
4. 解：焦点为，通径.
当直线AB的斜率不存在时，轴，这时，高，△AOB的面积.
，是定值.
当直线AB的斜率存在时，设直线的倾斜角为，则其方程为，即，原点O到直线AB的距离.
.
y
O F x
A
B
△AOB的面积.
.
不论直线AB在什么位置，均有（为定值）.
5. 解：在椭圆中，
由已知条件，MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点，且.
如图，设直线PQ的倾斜角为，则直线MN的倾斜角.
O x
N
P
y
M
Q
F
通径，离心率.于是有

四边形PQMN的面积

.
.
故四边形PQMN面积的最小值和最大值分别为和2.
6.（Ⅰ）解：，抛物线的焦点F的坐标为，
准线的方程为.
（Ⅱ）证明：作于C，于D. 通径.
y
O F x
A
B
D
E
C

m
P
则.
.
.
，
从而.
.
故为定值，此定值为8.
7. 解：（1）根据题意，点M与点的距离与它到直线的距离相等，
点M的轨迹是抛物线，点是它的焦点，直线是它的准线.
从而，.
F
O x
A
B
D
C
y
所求的点M的轨迹方程是.
（2）两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点，
它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为，
则直线CD的倾斜角为.
抛物线的通径，于是有：
.
四边形ACBD的面积

当且仅当取得最大值1时，，这时.
四边形ACBD的最小面积为128.
8. 解：（1）在椭圆中，，其焦点为、.
在抛物线中，，其准线方程为.
在双曲线中，，.
所求的双曲线的方程为.
（2）两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，
它们的斜率都存在. 如图，设直线AB的倾斜角为，则直线CD的倾斜角为.
双曲线的通径，离心率. 于是有：
.
y

A
O x

B
C
D
四边形ACBD的面积
=18
当且仅当取得最大值1时，，这时.
四边形ACBD的最小面积为18.

19