1、单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 第一节 Jacobi迭代法,迭代法是解线性代数方程组的另一类重要方法，特别,适于求解系数矩阵为稀疏阵的大型线性代数方程组。它 的,基本思想是，从任一初始向量 出发，按某一规则，逐,次构造一个向量序列 ，当 收敛于 时，使,是所给方程组的解。于是，就有下列问题需要计论：,(1)构造迭代格式；,(2)收敛性及误差估计。,一、引言,任取 代入（1.1）的右端，算得的结果记为,，再以 代入（1.1）的右端，算得的结果记为 ，如此进行下去，便得到迭代格式,其中，是 阶方阵，是已知身量,是未知向量。,二、迭代格
2、式的构造,设所给方程组为,（1.1）,(,1.2,),显然，若 存在，则有,(,1.3,),此格式称为,迭代格式,，称 为,迭代矩阵,。,由此迭代格式可构造出一个向量序列：,即 为（1.1）的解。,令 ，即得（1.1）.,注,：若方程组由下面形式给出,则需要把它改写成便于迭代的形 式（1.1），,其 方 法是多种多样的，最一般的方法是将 分,解为两个矩阵之差,其中矩阵M可逆，于是(1.4)成为,(1.6),必须指出，(1.5)中的 应是便于求逆的，,的最简单选择是把它选为对角阵，通常，当 的,对角线元素全不为 零时，就把 选为 的对角,线，于是,其中 是具有 的对角线元素的对角阵，而,在对角线
3、上的元素为零。此时关系式(1.6)成为,式中，是简单的对角阵，它的对角线元,素是 的元素的倒数。,例1、将方程组：,化成便于迭代的形式,最直观的方法是，将方程组改写为：,三、迭代法的收敛性,若由迭代格式,所构成的向量序列 收敛，则称 迭代格式,(1.2)收敛，或称 迭代法收敛。,(,1.2,),由关系式：,可得,定理,对任意右端向量F和初始向量 ，,迭代格式(1.2)收敛于（1.1）的解 的充要条,件是,所以，为使 Jacobi迭代法收敛，即要使,必要且只要,。而 的,充要条件是矩阵B的谱半径,，故有,.,由定理1可以看出，迭代是否收敛只与迭代矩阵,的谱半径有关，而迭代矩阵 是由系数矩阵 演变
4、过,来的，所以迭代是否收敛是与系数矩阵 以及演变的,方式有关，与 右 端向量和初始迭代向量的选择无关。,在具 体问 题 中，谱 半 径 是 很 难计算的，,但由于有 ，所 以可以 用 来 作 为,的 一种估计。当 时迭代格式一定收,敛，不 过这 只是 收敛 的充分条件。,定理 2,若 则迭代格式（1.2）收敛于,（1.1）的解 ,且有误差估计,（1.7）,或,(1.8),证明 因为 ，所以迭代格式,（1.2）收敛。其次，由关系式,从而有,有,因此有,（1.7）,所以,又从迭代格式,有,将此式代入（1.7）式，便有,这就证明了定理2。,或,时，迭代法收敛。,依 定 理 2 可知，当,例2、用,迭
5、代法解方程组,取,问Jacobi迭代法是否收敛？,若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的,误差绝对值小于,？,解：,由例1知，此方程组可改写为,其迭代格式为,由于迭代矩阵：,的范数,，所以用Jacobi迭代法解此方程组一定收敛。,经一次迭代得：,于是有，,由误差估计式,可知，若使,只须,亦只须,由于,故,所以，要保证各分量误差绝对值小于,，,需要迭代14次。,除了用定理1、定理2来判别迭代法的,收敛性外，还可根据方程组的系数矩阵的特,点给出一些,收敛性的判别条件,。,1)若 是严格对角占优阵（各行非对角元,绝对值之和小于对角元绝对值的矩阵），则,迭代法收敛。,设线性代数方程组的形式为 ,则,
6、2）若A为对称正定矩阵，,也为对称正定矩阵，则 迭代法收敛；,例3 用Jacobi迭代法解下列方程组（精确到 ）,(其中 为 A 的对角元组成的对角阵，所以,与 只是非对角元的符号不同）。,若 为对称正定阵而 为非正定阵，则,迭代法不收敛。,解、显然，系数矩阵A是一个严格对角占优矩阵，,所以Jacobi迭代法收敛。,先将方程组化成（1.1）的形式。,以4，3，4分别除三个方程两边得,其迭代矩阵为,从而有Jacobi迭代格式：,（1.9）,因为在所要求的精度内 ，故停止计 算,即为所求近似解。,从条件 中，也可以看出，对任意初始向量 ，迭代法收敛。取,则利用Jacobi迭代格式（1.9），可得,四、小结,(,1.2,),2、迭代法的收敛性,1、迭代格式的构造,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,
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