导数难题特训.doc

1、已知函数．
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：当时，；
（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，
证明：（x0）＜0．
I）
   （i）若单调增加.
   （ii）若
且当
所以单调增加，在单调减少. ………………4分
   （II）设函数则

当.
故当，   ………………8分
（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，
故，从而的最大值为
不妨设
由（II）得
从而
由（I）知，   ………………14分
2、已知函数
（1）求在点处的切线方程；
（2）若存在，使成立，求的取值范围；
（3）当时，恒成立，求的取值范围.
解（1）
在处的切线方程为
即                                          （3分）
（2）即
令
时，时，
在上减，在上增.
又时，的最大值在区间端点处取到.
，

 在上最大值为
故的取值范围是，                                  （8分）
（3）由已知得时，恒成立，
设
由（2）知当且仅当时等号成立，
故，从而当
即时，为增函数，又
于是当时，即，时符合题意.               （11分）
由可得从而当时，

故当时，为减函数，又
于是当时，即
故不符合题意.综上可得的取值范围为                （14分）
3、已知函数的图象为曲线, 函数的图象为直线．
   （Ⅰ） 当时, 求的最大值;
   （Ⅱ）设直线与曲线的交点的横坐标分别为, 且, 求证: ．
解：（1）

       单调递增， 单调递减，
                                              ……………6分
  （2）不妨设，要证只需证

，即
令    
只需证

令                       在单调递增。
         在单调递增。
，
所以                   ………………………………………12分
4、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求证：．
（Ⅰ）解：由已知得：．               ……………1分
由为偶函数，得为偶函数，
显然有．                                          …………2分
又，所以，即．               …………3分
又因为对一切实数恒成立，
即对一切实数，不等式恒成立．     …………4分
显然，当时，不符合题意．                           …………5分
当时，应满足

注意到 ，解得．                       …………7分
所以．                            ……………8分
（Ⅱ）证明：因为，所以．………9分
要证不等式成立,
即证．                     …………10分
因为,                 …………12分
所以
．
所以成立．                 ……………14分
5、已知函数=，.
(Ⅰ)求函数在区间上的值域；
（Ⅱ是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.
 解：(Ⅰ)   在区间上单调递增，在区间上单调递减,且
         的值域为      ………………3分
（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数  …………………5分

当时, ,.s 在区间上递减，不合题意
当时, ,在区间上单调递增，不合题意
当时, ,在区间上单调递减，不合题意
当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由可得，则
综上，满足条件的不存在。………………………..8分
（Ⅲ）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，
故有………………10分
即，令，则上式化为，
………………12分
令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”. ……………………14分
6、已知函数
（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解（Ⅰ）                        1分
若函数在上递增，则对恒成立，即对恒成立，而当时，                           
若函数在上递减，则对恒成立，即对恒成立，这是不可能的．
综上，  的最小值为1．                                            4分
（Ⅱ）解1、由
令
得=0的根为1，所以
 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
所以在处取到最大值，又 ，，
所以要使与有两个不同的交点，则有                                           ……………8分
（Ⅲ）假设存在，不妨设
   9分  

若则，即，即． （*）      12分
令，（)，  
则＞0．∴在上增函数， ∴，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴         
因此，满足条件的不存在．                                           15分
7、已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；
（2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；
（3）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.
解：（1），所以在处的切线为
即：                          ………………………………2分
与联立，消去得，
由知，或.        ………………………………4分
（2）
①当时，在上单调递增，且当时，，
，故不恒成立，所以不合题意 ；………………6分
②当时，对恒成立，所以符合题意；
③当时令，得， 当时，，
当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，
综上：.                 ………………………………10分
(3)当时，由（2）知，
设，则，
假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………………13分
令得：，因为， 所以.
令，则 ，
当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为1，
所以存在符合条件的，且仅有一个.                ……………………16分
8、已知函数.
⑴若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；
⑵求证；对任意恒成立的充要条件是；
⑶若，且对任意、，都，求的取值范围.
解：⑴，，又，所以曲线在处的切线方程为即，
由已知得，，所以，.
⑵充分性
当时，，
当时，，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，
；
必要性

当时，，在上是减函数，而，
故时，，与恒成立矛盾，所以不成立
当时，，
当时，，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，
；
因为，又当时，，与恒成立不符.
所以.
综上，对任意恒成立的充要条件是；
⑶当时，，∴在上是减函数，
不妨设且，则，，
∴等价于，即
令，在上是减函数，
∵，
∴在时恒成立，
∴，，又，所以的取值范围是
9、（本小题满分14分）
已知函数（a为常数）是R上的奇函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.
（I）求a的值；
（II）若上恒成立，求t的取值范围；
（III）讨论关于x的方程解的情况，并求出相应的m的取值范围.

∴（其中），恒成立，
令，
则，∴            …………8分
（III）由                                     
即，设
，由，得，
∵x>0，∴………………………………………………………………12分
当时，，当时，，
∴为极大值点，即，
∴当时，原方程无解；
当时，原方程有唯一解；
当时，原方程有两解.…………………………………………14分
10、（本小题满分13分）
已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1.
（Ⅰ）求的值及的单调减区间；
（Ⅱ）设＞0，＞0，，求证：.
解：（Ⅰ）                ………………………………2分
，∴ ，即，∴ ……3分
          ∴  ，又，∴ ，∴ 
综上可知                           ……………………………4分
，定义域为＞0，  
由＜0 得 0＜＜，∴的单调减区间为……………6分
（Ⅱ）先证
即证
即证：      ………………………7分
令 ，∵＞0，＞0  ，∴ ＞0，即证……8分
令  则
∴
   …………9分
① 当＞，即0＜＜1时，＞0，即＞0
在（0，1）上递增，∴＜＝0，   ……………………10分
② 当＜，即＞1时，＜0，即＜0
在（1，＋∞）上递减，∴＜＝0，   …………………11分
③ 当＝，即＝1时，＝＝0
综合①②③知即 
即       …………12分
又
∴   
综上可得     ……………13分
11、（本小题满分14分）已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.
   （I）求的最大值；
   （II）若上恒成立，求t的取值范围；
   （Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数
（本小题满分14分）解：（I），上单调递减，
在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为…4分
（II）由题意
（其中），恒成立，
令，则，
恒成立，                                                                        …………9分
   （Ⅲ）由                                   
令
当上为增函数；
当时，为减函数；
当
而    方程无解；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根.                       …………14分
12、已知函数
（1）、若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）、若函数在为增函数，求的取值范围；
（3）、讨论方程解的个数，并说明理由。
解：（1）因为：  ，又在处的切线方程为
所以    解得：    ………3分
（2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，
即：在上恒成立。所以有             ……3分
（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；……7分
当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。
，，所以方程有惟一解。……8分
当时，
因为当时，，在内为减函数；
当时，在内为增函数。
所以当时，有极小值即为最小值。……10分
当时，，此方程无解；
当时，此方程有惟一解。
当时，
因为且，所以方程在区间上有惟一解，……12分
因为当时，，所以   
所以   
因为  ，所以 
所以  方程在区间上有惟一解。
所以方程在区间上有惟两解。  ……14分            
综上所述：当时，方程无解；
当时，方程有惟一解；
当时方程有两解。                 ……14分
13、（本题满分14分）
    已知函数 （为自然对数的底数）．
（1）求的最小值；
（2）不等式的解集为，若且求实数的取值范围；
（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．
解：（1）     1分
       由当；当
            …4分
   （2），有解     
       由即上有解     …6分
       令，上减，在[1，2]上增
       又，且
          … 8分
   （3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使
         …10分

       又时，

       故
       ②-①×2得，解得（舍）
       故    …12分
此时

       存在满足条件的数列 满足题意  …14分
15、设函数，其中为常数．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
（Ⅲ）当且时，求证：
解：（1）由题意知，的定义域为，

当时， ，函数在定义域上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．   
②时，有两个相同的解，
时，
时，函数在上无极值点．
③当时，有两个不同解，

时，，
,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

减
极小值
增
由此表可知：时，有惟一极小值点，     
ii)  当时，0<<1
此时，，随的变化情况如下表：

增
极大值
减
极小值
增
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点         
综上所述：
当且仅当时有极值点;    
当时，有惟一最小值点；
当时，有一个极大值点和一个极小值点
（3）由(2)可知当时，函数，
此时有惟一极小值点
且

令函数

16、设函数，其中为常数．
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．
解：（1）由题意知，的定义域为，              

当时， ，函数在定义域上单调递增．     
（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．          
②时有两个相同的解，
时，
时，函数在上无极值点．            
③当时，有两个不同解，

时，，
,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：

减
极小值
增
由此表可知：时，有惟一极小值点，   
ii)   当时，0<<1
此时，，随的变化情况如下表：

增
极大值
减
极小值
增
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；                             
综上所述：
当且仅当时有极值点;
当时，有惟一最小值点；
当时，有一个极大值点和一个极小值点
（3）由(2)可知当时，函数，         
此时有惟一极小值点
且 

17、（本小题满分14分）
已知函数
(1) 当时，求函数的最值；
(2) 求函数的单调区间；
(3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点.
解：（1） 函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)……………………1分
当a=1时，，所以f (x)在为减函数  ………3分
在为增函数，所以函数f (x)的最小值为=.………………5分
(2) ………………………………………6分
若a≤0时，则f(x)在(1,+∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1,+∞).………………………………8分
若a＞0，则故当，，…………… 9分
当时，f(x) ,
所以a＞0时f(x)的减区间为，f(x)的增区间为.………………10分
(3) a≥1时，由（1）知f(x)在(1,+∞)的最小值为，………11分
令在 [1,+∞)上单调递减，
所以则>0，……………………12分
因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于，
故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.………………………14分