初中数学北师大版八年级上册第1章 测试卷（3）.doc

第一章 勾股定理 章末测试卷
一、选择题（每题4分，共28分）
1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8
3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2：b2：c2=1：2：3 D．a2：b2：c2=3：4：5
6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（　　）
A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm
7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
二、填空：（每空4分，共计28分）
8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为　　．
9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=　　，c=　　．

10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　　cm2．

11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　　（填“能”、或“不能”）
12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　　．
13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　　．

14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　　cm（杯壁厚度不计）．

三、解答题：（每题11分，共计44分）
15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）

16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？

17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．

18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？

四、附加题
19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

参考答案
一、选择题（每题4分，共28分）
1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8
【考点】KS：勾股定理的逆定理．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
【解答】解：A、∵6+8＝14，∴不能组成三角形；
B、＝10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形；
C、∵＝10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；
D、∵＝10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．
3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】算术平方根．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得AC=，
乘方，得（）2=2，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．

4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】应用题．
【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．
故选A．

【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．

5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2：b2：c2=1：2：3 D．a2：b2：c2=3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角和定理得出B是直角三角形；即可得出结果．
【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，32+42=52，
∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形；
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠C=90°，B是直角三角形；
∵a2：b2：c2=1：2：3，
∴a2+b2=c2，
∴三角形是直角三角形，C是直角三角形；
∵a2：b2：c2=3：4：5，
∴a2+b2≠c2，
∴三角形不是直角三角形；
故选：D
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．

6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（　　）
A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．
【解答】解：如图：

由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，
作AD⊥BC于点D，则有DB=BC=8cm，
在Rt△ABD中，AD==6cm．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．

7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC==2，
AC==，
AB==，
在△ABC中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．

二、填空：（每空4分，共计28分）
8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为　7或25　．
【考点】勾股定理．
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【解答】解：分两种情况：
当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25；
当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．
故答案为：7或25．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=　12　，c=　10　．

【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【解答】解：b==12；
c==10，
故答案为：12；10．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　49　cm2．

【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．

11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　能　（填“能”、或“不能”）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．
【解答】解：能，理由如下：
可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，
根据题意，得x2=502+402+302=5000，
702=4900，
因为4900＜5000，
所以能放进去．
故答案为能．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．

12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　2或2　．
【考点】KQ：勾股定理．
【专题】552：三角形．
【分析】分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
分别根据勾股定理计算AC和BC即可．
【解答】解：分两种情况：
①当△ABC是锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∵CD＝，AD＝1，
∴AC＝2，
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
∴BD＝4﹣1＝3，
∴BC＝＝＝2；
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
同理得：AC＝2，AB＝4，
∴BC＝＝＝2；
综上所述，BC的长为2或2．
故答案为：2或2．

【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握．
13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　﹣1　．

【考点】勾股定理．
【专题】11：计算题．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．

【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　20　cm（杯壁厚度不计）．

【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题．
【专题】27：图表型．
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．
故答案为20．
【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
三、解答题：（每题11分，共计44分）
15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．
【解答】解：如图所示：
因为AB=9米，AC=12米，
根据勾股定理得BC==15米，
于是折断前树的高度是15+9=24米．

点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由题意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，
∠ACB=90°，
则AB==5km．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．

17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；
（1）求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；
（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠A=90°，
∴△ABD为直角三角形，
则BD2=AB2+AD2=25，
解得：BD=5．

（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴BD⊥CD，
故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．

18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？

【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】应用题；操作型．
【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积．
【解答】解：由折叠可得：△BDC≌△BDE，
∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠EBD，
∴FD=FB，
设FD=FB=xcm，则有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，
解得：x=，即FD=cm，
则S△BDF=FD•AB=cm2．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．

四、附加题
19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【专题】应用题．
【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，
AC2=CD2+AD2=122+92=225，
∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，
AC2+BC2=152+362=1521，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．
答：这块地的面积是216平方米．

【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．

20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；
（2）如图2，若AB=ACBE=12，CF=5，求△DEF的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；
（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=S△ABC，再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF，即可解题．
【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，

∵DE=DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF=FG，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，
∵CG2+CF2=FG2，
∴BE2+CF2=EF2；
（2）解：连接AD，

∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，
∴S四边形AEDF=S△ABC，
∴S△AEF=×5×12=30，
∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．