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矩形的性质和判定
一．填空题（共12小题）
1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为　 　．

题1 题3 题4
2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是　 　．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是　 　．
4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为　 　．
5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=　 　．

题5 题6 题7
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=　 　cm．
7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加　 　条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为　 　（填一个即可）．

题8 题11 题12
9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为　 　．
10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框　 　（填“合格”或“不合格”）
11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是　 　．
12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件　 　，使四边形DBCE是矩形．
二．解答题（共6小题）
13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．

14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．

15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若EA=EG，求证：ED=EC．

16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．

17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
　矩形的性质和判定解析
一．填空题（共12小题）
1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为　12　．

【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵矩形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABC的平分线交AD边于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=8，
同理得出ED=DF=DC=4，
∴AD=AE+ED=8+4=12，
故答案为：12．
2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是　80°　．
【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，
两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°
故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．
故答案为80．

3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是　　．

【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
∵E是BC的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE==，BD==，
∴BF==，
过F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD
∴△BFG∽△BDC，
∴==，
∴FG=，BG=，
∴CG=，
∴CF==．
故答案为：．

4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为　　．

【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠DEM=90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，
∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），
∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，
解得：x=，
∴BM=；
故答案为：．

5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=　5　．

【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABE=∠EBC，
∴AB=AE=CD=4，
在Rt△EDC中，CE===5．
故答案为5

6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=　2.5　cm．

【分析】根据勾股定理求出AC根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），
∴DO=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=2.5cm，
故答案为：2.5．

7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加　AC⊥BD　条件，才能保证四边形EFGH是矩形．

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．
【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．

8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为　∠DAB=90°　（填一个即可）．

【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．
【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠DAB=90°．　
9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为　∠BAD=90°　．
【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．

10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框　合格　（填“合格”或“不合格”）
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，
即：AD2+DC2=AC2，
∴∠D=90°，
同理：∠B=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为合格．

11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是　∠A=90°　．

【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）　
12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件　EB=DC　，使四边形DBCE是矩形．

【解答】解：添加EB=DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB=DC．　
二．解答题（共6小题）
13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．

【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；
（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF=∠F．
∵∠F=45°，
∴∠DAE=45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB=∠DAE=45°．
∴∠DAB=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．
∵AB=14DE=8，
∴CE=6．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，
∴∠DEA=∠DAE=45°．
∴AD=DE=8．
∴BC=8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得．
在Rt△AHB中，∠HAB=45°，
∴BH=AB•sin45°=7．
∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，
∴sin∠AEB=．

14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO=OC，
∵OE=OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，
∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，
由勾股定理得：AD===15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．　
15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若EA=EG，求证：ED=EC．

【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；
（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．
【解答】证明：
（1）∵AB∥CD，且FC=AB，
∴四边形ABCF为平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABCF是矩形；
（2）∵EA=EG，
∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，
∵四边形ABCF为矩形，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，
∴∠D=∠ECD，
∴ED=EC．
16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．

【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【解答】（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在▱ABCD中AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．
∴AE===．
17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．

【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．
（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，
∴AD==5，
∴矩形的面积为20．　
18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．

【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．
（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）由（1）可知AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AD=DF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴∠BAF=∠DAF，
即AF平分∠BAD．

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