1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量数乘运算(1),第1页,1.向量加法,三角形法则,作法,:,在平面中任取一点O,o,回顾旧知:,过O作OA=,a,过A作AB=,b,则OB=,a,+,b,.,a+b,b,a,A,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a,+,b,.,b,B,a,首尾相接首尾连,第2页,2.向量加法平行四边形法则,作法,:,在平面中任取一点O,o,以OA,OB为边作,平行四边形,C,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a+b,.,b,a,a,A,b,B,过O作OA=,a,过O作OB=,b,a+b,则对角线,OC=,a
2、b,共起点,第3页,3.向量减法(,三角形法则）,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a-b,.,a,b,作法,:,在平面中任取一点O,o,a,A,a-b,b,B,共起点,过O作OA=,a,过O作OB=,b,则BA=,a-b,第4页,实际背景,第5页,探索1:,a,C,a,A,B,a,O,-a,Q,-a,M,N,-a,P,已知非零向量,a,（如图）,a,试作出：,a,+,a,+,a,和,(-,a,)+(-,a,)+(-,a,),依据向量加法法则可得,思索:,相同向量相加以后，,和长度与方向有什么改变？,第6页,O,A,B,C,由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a
3、a记作3 a，即OC=3a.,显然，3a方向与a方向相同，3a 长度是a长度3倍，即|3a|=3|a|.,第7页,P,Q,M,N,由图可知，,PN=PQ+QM+MN,=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a),记作-3 a，即PN=-3a,显然，-3a方向与a方向相反，-3a长度是a长度3倍，即|-3a|=3|a|。,第8页,（1）,普通地，我们要求实数,与向量 积是一个向量，这种运算叫做,向量数乘,，记作 ，它长度和方向要求以下,：,（2）当 时，方向与 方向相同；,当 时，方向与 方向相反。,尤其，当 时，,思索:,向量数乘和实数乘法有那些相同点?,那些不一样点?,a
4、 是一个向量；a 长度等于绝对值与向量a长度乘积。,第9页,=,探索2:,(1)依据定义，求作向量3(2,a,)和(6,a,),(,a,为非零向量,),，并进行比较。,(2)已知向量,a,b,，求作向量2(,a+b,)和2,a+,2,b,，并进行比较。,第10页,设 为实数，那么,尤其，我们有,向量加、减、数乘运算统称为,向量线形运算,.对于任意向量 ，以及任意实数 ，,恒有,第一分配律,第二分配律,第11页,例1.计算：,第12页,第13页,探索,.如图：已知 ，试判断 与 是否共线,A,B,D,E,C,与 共线,解：,第14页,思索:,问题2：假如,向量a与b共线,那么，b=,a？,问题1
5、假如,b=,a,那么，向量a与b是否共线？,对于向量,a(a0),b,，以及实数,第15页,向量共线定理,对于向量a（a 0）、b，假如有一个实数，使 b=a，那么由实数与向量积定义知，a与b共线.,反过来，已知向量a与b共线，a 0，且向量b长度是向量a倍，即|b|a|=，那么当向量a与b同方向时，有b=a，当向量a与b反方向时，有b=-a.,也就是说：假如a与b共线，那么有且只有一个实数，使b=a.,第16页,例2:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB,中点，点N是BD上一点，,求证M、N、C三点共线.,A,M,B,C,D,N,提醒：设AB =,a,BC =,b,则MN=,a+,b,MC=,a+,b,所以M.N.C三点共线,第17页,一、,a,定义及运算律,向量共线定理,(a0),b=,a,向量a与b共线,二、定理应用：,1.证实 向量共线,2.证实 三点共线:AB=,BC A,B,C三点共线,3.证实 两直线平行:,AB=,CD ABCD,AB与CD不在同一直线上,直线AB直线CD,第18页,
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