边界元法和ANSYS简介.doc

浅谈边界元法及ANSYS简介

摘 要 本文先从边界元法的起源和发展及数学分析的角度对其作了简要的介绍，然后又结合国际上目前比较先进的边界元快速算法指明边界元的特点，并且列举了常见的几类边界元法；讨论了铸件锻造模拟技术与方法，举例说明数值模拟在大锻件中的最优解问题；最后又介绍了ANSYS软件的特点和使用方法，并列举了其在材料力学教学和研究中的一些应用。
关键词 边界元法 数值模拟 ANSYS
Abstract This paper begins with the perspective of the origin and development and mathematical analysis of the boundary element method for its brief introduction, and then combined with the current advanced international fast algorithm about boundary element ,and cited the common types of boundary element method; discussed forging simulation techniques and methods of casting, numerical simulations illustrate the optimal solution of the problem in large forgings; finally describing the characteristics and use of ANSYS software, and cited its teaching and research in mechanics of materials in some applications.
Key words boundary element method numerical simulations ANSYS

1.边界元法
1．1边界元法的起源与发展
边界元法又称为边界积分方程法(Boundary Integral Equation Method),它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程,通过对边界上离散单元的插值计算,将边界积分方程化为线性代数方程组进行求解。
1978 年 Brebbia使用加权余量法推导出了边界积分方程,并指出加权余量法是最普遍的数值方法,如果以 Kelvin 解作为加权函数,从加权余量法中导出的将是边界积分方程,从而初步形成了边界元法的理论体系,标志着边界元法进入系统性研究时期。1905 年 Fredholm 首先将积分方程应用于弹性力学问题,Fredholm 积分方程是通过以单层势和双层势为主要变量的调和位势发展而来的,将其进一步发展便可形成所谓的间接边界元法。1929 年 Kellogg 巧妙的将 Fredholm 积分方程用于求解位势问题。20 世纪40 年代末,积分方程已经发展到能处理具有第一类边界条件的特殊问题,随着一些学者对积分方程尤其是奇异积分方程理论作了更为深入的研究。60 年代初,Jaswon 和 symm将积分方程应用于位势问题的求解,积分方程作为数值计算方法开始尝试应用于实际问题,为边界元法的形成开辟了道路。
可用于实际问题计算的边界元法正式建立于 70 年代,南安普顿大学的 Watson【1】 和Lachat【2】的两篇博士论文奠定了边界元法的基础,详细阐述了边界元法的计算原理和数值过程,并于 1976 年将边界元法应用到了弹性静力学的三维问题中,解决了边界积分方程的奇异性困难。1978 年,Cruse将边界元法成功应用于二维线弹性断裂力学问题的求解。同年,Brebbia出版了有关边界元法的首本专著《The Boundary Element Method for Engineers》,系统阐述了边界元法在各类物理领域的发展与应用,从而边界元法的名称也被正式沿用。从此以后,边界元法得到了国内外学者的广泛关注,并将其发展应用到固体力学、流体力学、弹性动力学、热传导、电磁场以及声学等领域，为工程实际问题的数值计算做出了极大的贡献。边界元法在我国的研究与应用始于上世纪70年代末,杜庆华院士和姚振汉教授对我国的边界元法研究与发展发挥了极为重要的推动作用,使得国内边界元法的科研水平基本上与国际同步。
1.2边界元法的数学分析
边界元法只需将区域的边界分割成边界单元，使所考虑问题的维数降低一维，即可把三维问题转变成二维问题、将二维问题转变成一维问题来处理。因此，与对整个区域进行分割的区域型解法（有限差分法(FDM) 和有限单元法(FEM)）相比，它具有输入数据少，计算时间短等优点，因此，特别适用于无限域问题和三维问题。

图1 边界元法的区域分割图示
边界元法通常有两种解答: 间接解与直接解 。无论那种解答都与基本解有密切关系。为此, 我们阐明关于基本解的理论。 
基本解的物理意义是:单位集中源所产生白俩,就是未知场(未知函数)的基本解。换句话说,基本解是一个函数,它代表了单位集中源所产生的场。正因为如此,我们又称基本解是点源函数。对于任何一个二二程、物理中的场问题,通常.总是通过已知的边界条件和物理规律(由数学方程来表达)寻求末知函数(场)。例如,对于弹性体静力学问题,我们是在已知的外力和约束条件下,利用弹性力学的理论寻求弹性体的位移场和应力场;对于热传导问题，则是在已知的热源以及其他边界条件下,利用热力学规律,求解物体内部的温度场;对于静电场问题,则是在已知电源以及其他边界条件下,利用静电场的基本规律,求解电位场等等。如果把外力、热源、电源等从其他条件中抽出来,并且概括地称为源,那么,在既定的物理规律和边界条件之下,一定的源就产生一定的场。而基本解就是单位集中源产生的场。有了基本解,就可以利用迭加原理把任何源所产生的场求出来,从而解决了我们所需要解决的问题。由于叠加原理只在线性算子的条件卞才成立,所以用以反映物理规律的数学程必须是线性的。根据迭加原理,多个集中源所产生的场应等于各个集中源所产生的场的总和。如果是分布源,则其相应的场应等于按分布密度积分所得的结果。下面我们用数学语言描述基本解的物理意义。
设已知线性微分方程 

M是抽象空间中的点,又设M示为某定点,（1）为Dirac函数,如果满足 
(1) 
而对于足够光滑的函数,所构成的积分又满足方程(l),则称是方程(1)的基本解。 
注意我们这里所说的u是方程(1)的基本解, 并不表明方程(1)在任何定解条件下的基本解都是u。相反,不同定解条件的基本解各有不同的定义方法,尽管它们有相似之处,但不能混淆。在边界元法中,主要用到的是基本解。许多典型数学物理方程的基本解早已解决。
例如，二维LaPlace 方程的基本解是 

  三维LaPlace方程的基本解是 

等等。但对一些特定的问题，如果没有现成的基本解可以套用，这是需要运用一些数学技巧，甚至一些较深的数学知识去求解，从而获得所需的基本解，不过方程的形式已经简化可解性大大增加, 在很多情况下, 基本解是可以用显式表达出来的。
1.3边界元法的分类
(1) 直接边界元法
(2) 间接边界元法
(3) 双重边界元法
(4) 逆边界元法
(5) 子结构边界元法
(6) 双倒易边界元法
(7) 快速多极子边界元法
2.铸件锻造模拟技术和方法
铸件锻造模拟技术主要有两种，即物理模拟和数值模拟。常用的方法有有限差分法，有限元法，边界元法等。
2.1物理模拟
通常,物理模拟是指缩小或放大比例,或简化条件,或代用材料,用试验模拟来代替原型的研究。在大型锻造工艺研究中,由于大锻件尺寸较大,不可能进行1:l的实物试验,只能采用缩小比例试验即缩比试验。
锻造工艺研究中所采用的物理模拟试验可以分为两种。一种是材料热变形基础试验,以锻件所用材料为对象,采用标准试验方法,并借助于专用设备或仪器完成,用于实测材料的应力一应变关系、塑性等热锻性能参数、接触摩擦因子以及一些热物性参数,并经过金相分析定量研究热变形过程组织变化与变形温度、变形速度、变形量等热力参数的关系。这些试验数据一方面为锻造工艺方案的制定提供表征参数,如塑性、动态再结晶临界变形量等;另一方面是为数值模拟提供必要而准确的材料模型或参数。另一种物理模拟试验是工艺模拟试验,其参照原型就是所研究的大型锻造工艺,依据相似原理进行缩比试验。为了获得较多的试验数据,进行缩比试验时可采用网格法、密栅云纹技术等等。对于热锻工艺而言,几何条件、材料性能等因素的相似容易满足,但是其接触界面参数和热参数则不能满足。因此,工艺模拟试验有时会与实际生产相差过大,而且通常只能给出工艺过程某个阶段的结果,无法全面了解整个工艺过程,具有一定的局限性。如果设计合理,并且试验条件和试验检测能够保障,该种试验数据一般对于
锻件成形具有足够的精度,但其对组织性能往往仅有一定参考价值。
2．2数值模拟
有限元数值模拟在锻造中的应用始于20世纪80年代初,现已成为其工艺研究与开发的重要手段。数值模拟是通过建立相应的数学模型,在工艺设计阶段,用计算机对工艺的全过程进行分析,它不仅可以通过图形、数据等形式直观地反映诸如材料塑性流动、温度场、应变场、载荷等各种信息,而且能预测可能存在的缺陷;通过改变工艺参数对不同方案进行模拟分析,从各方案的对比中总结出规律,进而实现工艺的优化,确定工艺方案和主要工艺参数。数值模拟技术在保证工件质量,减少材料消耗,提高生产效率,缩短试制周期等方面显示出无可比拟的优越性。
2.3锻造模拟实例简要说明
锻件所用原材料一般都是钢锭。饼类锻件的生产流程一般为:热钢锭送到液压机车间，经一系列锻造工序锻造成锻件，经预备热处理后送到下一工序进行机械加工和最终热处理。常规锻造过程为:钢锭*切头去尾—倒棱(拔长)、下料*平板墩粗(或平板徽粗+局部徽粗)*成品。它们的外形尺寸特征是高径比HR<1。在饼类锻件的锻造过程中，在不均匀变形的作用下，锻件心部的金属流动比周围更加剧烈，容易产生层状裂纹，超声波探伤废品率高，而且浪费了大量原材料和加工工时。为了解决实际生产中的问题，重庆大学刘攀【3】做了如下分析，对漏盘墩挤工艺建立了有限元模型，分析了应力场的情况，同时对墩挤工艺进行了优化分析。
建立有限元模型由于饼类件的墩挤属于轴对称变形，可简化为平面问题，任取一个子午面进行分析。徽挤坯料的原始高度为685 mm，坯料的原始半径为540 mm，漏盘高度为240 mm.漏盘内孔半径为270 mm。采用活动横梁的给定50%。用平面单元PLANE 182对毛坯进行网格划分。平板和漏盘都假定为刚性体，不需要划分网格。在模拟过程中，考虑大应变效应，由于大型锻件锻造过程中锻件与工具之间接触面粗糙，所以通常在计算中采用极限摩擦条件，但为了计算的方便，这里假定摩擦系数为0.49。采用45号钢作为模拟材料。
为构建优化控制文件，定义坯料高度Ho.坯料半径Ro、压下量RH为设计变量，要求400190, H3>400, WR>580;
为避免锻造过程中锻件开裂，要求HR>1;定义坯料的体积V为目标函数;采用0阶优化法;定义最大优化次数为30次;定义优化数据库文件;执行优化。
在ANSYS中进行优化求解，计算结束后显示优化结果，从优化结果中可以看出，有两组解是不满足要求的，有两组解是可行解，又一组解释最优解，即在满足各项要求的条件下，原始坯料体积最小。

图2 最优解整体变形图

图3 最优解等效应力

图4 最优解等效应变

3.ANSYS
3.1 ANSYS简介及其特点
3.11简介
ANSYS 是目前世界顶端的有限元商业应用程序。美国John Swanson博士于1970年创建ANSYS公司后，便开发出了该应用程序，以此用计算机模拟工程结构分析，历经30多年的不断完善和修改，现成为全球最受欢迎的应用程序。
3.1.2特点
该应用程序的主要特点是紧跟计算机硬件、软件发展的最新水平，功能丰富，用户界面好，前、后处理和图形功能完备，并且使用高效的有限元系统。它拥有丰富的、完善的单元库、材料模型库和求解器，保证了它能够高效地求解各类结构的静力、动力、振动、线性和非线性问题，并能有效地求解温度场问题、散热场以及多场藕合问题；它的友好的图形界面和程序结构使用户易学易用通常专业人员在一个月左右的时间内就能掌握其应用方法和技巧；它的完全交互式前后处理和图形文件，大大减轻了用户创建工程模型，生成有限元模型以及分析和评价结果的工作量；它的统一和集中的数据库，保证了系统各模块之间的可靠和灵活的集成；它的DDA 模块实现了它与多个 CAD 软件产品的有效连接。ANSYS的各种产品适应于各种计算机平台的版本，为用户提供了各种可能的选择。
ANSYS 程序是一个功能强大的设计分析及优化软件包。与其它有限元分析软件如 S A P 或NASTRAN 等相比，它有以下特点：
(1)数据统一。ANSYS使用统一的数据库来存储模型数据及求解结果，实现前后处理、分析求解及多场分析的数据统一。
（2）强大的建模能力。ANSYS具备三维建模能力，仅靠ANSYS的GUI（图形界面）就可建立各种复杂的几何模型.
（3）强大的求解功能。ANSYS提供了数种求解器，用户可以根据分析要求选择合适的求解器。
（4）强大的非线性分析功能。ANSYS具有强大的非线性分析功能，可进行几何非线性、材料非线性及状态非线性分析。
（5）智能网格划分。ANSYS具有智能网格划分功能，根据模型的特点自动生成有限元网格。
（6）良好的优化功能。
（7）良好的用户开发环境。
3.2ANSYS 软件使用方法简介
ANSYS典型的分析过程由前处理、求解计算和后处理3个部分组成。
3.2.1 前处理
有限元模型是进行有限元分析的计算模型或数学模型，它为计算提供原始的数据。建模是整个有限元分析过程的关键，模型合理与否将直接影响计算结果的精度、计算时间的长短及计算过程能否完成，其中建模主要包括以下几步：
(1) 确定工作名和分析标题；
(2) 设置分析模块；
(3) 定义单元类型和选项；
(4) 定义实常数；
(5) 定义材料性质；
(6) 创建分析几何模型；
(7) 建立有限元模型；
(8) 对模型进行网格划分；
选择单元的要点包括：
(1)对线性结构(应力)分析，建议采用高阶单元;
(2)对非线性应力分析，用低阶单元采用较密网格，而不用较粗网格高阶单元；
(3)对壳应力分析，四边形比三角形结果要好。
3.2.2 加载及求解
加载即用边界条件数据描述结构的实际情况，即分析结构和外界之间的相互作用。载荷的含义有：自由度约束位移、节点力(力，力矩)、表面载荷压力、惯性载荷(重力加速度，角加速度)。可以在实体模型或FEA（有限元分析）模型(节点和单元）上加载。直接在实体模型加载优点是几何模型加载独立于有限元网格，重新划分网格或局部网格修改不影响载荷 ；同时加载的操作更加容易，尤其是在图形中直接拾取时。但要注意：无论采取何种加载方式，ANSYS求解前都将载荷转化到有限元模型上。因此，加载到实体的载荷将自动转化到其所属的节点或单元上。
3.2.3 后处理
后处理是将计算所得的结果可视化。ANSYS有两个后处理器：通用后处理器，它只能观看整个模型在某一时刻的结果；时间历程后处理器，可观看模型在不同时间的结果。但此后处理器只能用于处理静态或动力分析结果。动力分析结果后处理的步骤主要包括：①从求解计算结果中读取数据；②对计算结果进行各种图形化显示；③可对计算结果进行列表显示；④进行各种后续分析。而静力分析结果后处理的步骤主要包括：①绘变形图，②变形动画，③支反力列表，④应力等值线图。
3.3ANSYS应用实例

图5 两对集中力作用下的节点应力云图

图6 矩形截而杆件的扭转翘曲变形

参考文献：
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