代数式的化简求值问题(含答案).doc

第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题
例1．若多项式的值与x无关，
求的值.
分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零
因为
所以 m=4
将m=4代人，

利用“整体思想”求代数式的值
例2．x=－2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式的值。
分析： 因为
当x=－2时， 得到，
所以
当x=2时，=
例3．当代数式的值为7时,求代数式的值.
分析：观察两个代数式的系数
由 得 ，利用方程同解原理，得
整体代人，
代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。
例4． 已知，求的值.
分析：解法一（整体代人）：由 得
所以：

解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。
由，得，
所以：

解法三（降次、消元）：（消元、、减项）

例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元）
第一年： A公司 10000； B公司 5000+5050=10050
第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250
第n年：A公司 10000+200(n－1）；
B公司：[5000+100(n－1)]+[5000+100(n－1)+50]
=10050+200(n－1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。
例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，
则 的值是_______ 。
解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数
又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。
不妨设a<0，b>0，c>0
则ab<0，ac<0，bc>0
所以x=－1+1+1－1－1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。
同理，当b<0，c<0时，x=0。
另：观察代数式 ，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。

规律探索问题：

1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
（1）“17”在射线 ____上，
“2008”在射线___________上．
（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的
代数式表示为__________．

分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…
观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，
归纳得到，这列数可以表示为6n－5
因为17=3×6－1，所以17在射线OE上。
因为2008=334×6+4=335×6－2，所以2008在射线OD上

例8． 将正奇数按下表排成5列:
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 1 3 5 7
第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23
第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在
A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列
分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找
第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n－5

因为2007=250×8+7=251×8－1
所以，2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，
所以2007应该在第251行第5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
26
13
44
11
第一次
F②
第二次
F①
第三次
F②
…

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．
分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为（其中k是使 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。

449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，
169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，
1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，
所以，结果是8。
三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

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