时域分析解析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,/58,1,/58,上节课回顾,信息、信号。,信号分析、信号处理。,测试系统、控制系统与信号处理系统。,2,/58,第,2,章 连续时间信号分析,本章的教学目的与要求,模拟信号分析是信号分析的基本内容之一，也是本课程的最基础部分。通过对模拟信号的频谱分析，掌握信号频谱的概念以及周期信号、非周期信号和抽样信号频谱特点，为离散信号的分析打下良好的基础。,要求学生掌握周期信号、非周期信号和抽样信号频谱分析方法，理解与掌握周期信号、非周期信号和抽样信号频谱特点。,3,/58,本章基本内容,连续信号的时域分析,周期信号的频谱分析,傅里叶级数,非周期信号的频谱分析,傅里叶变换,抽样信号的傅里叶变换,4,/58,本节课基本内容,2.1,连续信号的时域分析,基本的连续信号,连续信号的运算,连续信号的分解,连续信号的时域分析方法,卷积法,2.2,周期信号的频谱分析,傅里叶级数,2.2.1,正交函数,本节课重点,典型信号及其函数和图形表示,卷积原理,5,/58,信号分析是将一复杂信号分解为若干简单分量的叠加，并以这些分量的组成情况去考察信号的特性。,时域分析,（波形分析）：是,研究信号的幅值和相位等参数、信号的稳态和交变分量随时间的变化情况,，其中最常用的是把一个信号在时域上分解为具有不同延时的简单冲激信号分量的叠加，通过,卷积,的方法进行系统的时域分析。,6,/58,时域,(,Time domain,),：方法直观；一般求解微分方程，对复杂信号的分解很难。,频域,(,Frequency domain,),：可得到直观的频谱图；对复杂信号转换成简单代数方程求解。,频域分析,：是,把一个复杂信号分解为一系列正交函数的线性组合,，把信号从时域变换到频域中进行分析，其中最基本的是把信号分解为不同频率的正弦分量的叠加，即用傅里叶变换（级数）的方法进行信号分析，也称,“,频谱,分析,”,。,7,/58,2.1,连续时间信号的时域分析,最为重要的方法是将信号分解为,冲激信号,的叠加，在这一基础上，线性连续系统的响应,，可应用,卷积积分,的方法来求解。,重点掌握典型信号和卷积的原理。,2.1.1,基本的连续信号,1,、,正弦信号（,sine,）,x,(,t,)=,A,sin(,t,+,),A,-,振幅；,-,角频率；,-,初相角。,正弦信号常用于测试仪器仪表的频率特性、相位差、稳态响应等。,t,x,(,t,),A,2,8,/58,正弦信号是周期信号，周期为,T,，角频率为,和频率为,f,在信号与系统分析中，有时要用到衰减的正弦信号,0,1,x,(,t,),t,9,/58,2,、,指数信号,x,(,t,)=,A,e,at,(,exponential,),式中，,a,是实常数。,若,a,0,信号随时间而增加。若,a,0,a1),或扩展,(,a,1),。,此运算也称为时间轴的,尺度倍乘或尺度变换，也可简称尺度,。,23,/58,【,例,2-1】,已知信号,x,(,t,),的波形如图，试画出,x,(,3,t,2),的波形。（,和书上第,12,页的,例,2-1,比较,）,2,1,o,1,x,(,t,),t,2,1,o,1,x,(3,t,),t,2,1,o,1,x,(,3,t,),t,2,1,o,1,x,(,3,t,2,),t,因为倍乘（尺度）关系，所以，时间轴,t,上的移位应该是尺度变换以后的数值。,2/3,24,/58,4.,信号微分,(,differential,),信号,x,(,t,),的微分运算是指,x,(,t,),对,t,取导数，即,o,1 2,x,(,t,),t,o,x,(,t,),t,1 2,信号,x,(,t,),经,微分,后突出了它的,变化,部分。,25,/58,o,x,(,t,),t,1 2,1,5.,信号积分,(,integration,),信号,x,(,t,),的积分运算是指,x,(,),在,(,，,t,),区间内的,定积分,(,definite,integration,),，即,信号,x,(,t,),经,积分,后，突变部分可变的,平滑,，利用这一作用可削弱信号中的毛刺的影响。,o,t,1 2,1,26,/58,（三）两信号的相加或相乘,x,1,(,t,)=sint,x,2,(,t,)=sin8,t,x,1,(,t,)+,x,2,(,t,)=sin,t,+sin8,t,纵轴上平移,x,1,(,t,),x,2,(,t,)=sin,t,sin8,t,幅值钳位,27,/58,x,1,(,t,),t,x,2,(,t,),t,x,1,(,t,),+x,2,(,t,),t,28,/58,x,1,(,t,),t,x,2,(,t,),t,x,1,(,t,),x,2,(,t,),t,29,/58,2.1.3,连续信号的时域分解,为了便于分析与处理，有时需要将信号分解为一些简单的基本信号之和，犹如在力学中将任一方向的力分解为几个分力一样。信号可以从不同角度分解：,1.,直流分量与交流分量,信号,平均值,即为信号的,直流分量。从原信号去掉直,流分量即为信号的交流分量。,x,(,t,)=,x,D,+,x,A,(,t,),x,(,t,),t,x,A,(,t,),t,x,D,(,t,),t,30,/58,2.,奇分量与偶分量,(,odd&even,),x,e,(,t,)=,x,e,(,t,),x,o,(,t,)=,x,o,(,t,),x,(,t,)=0.5,x,(,t,)+,x,(,t,)+,x,(,t,),x,(,t,),=0.5,x,(,t,)+,x,(,t,)+0.5,x,(,t,),x,(,t,),x,e,(,t,)=0.5,x,(,t,)+,x,(,t,)x,o,(,t,)=0.5,x,(,t,),x,(,t,),-2 ,1,o,1 2,x,e,(,t,),t,1,0.5,x,(,t,),t,1,-2 ,1,o,1 2,x,o,(,t,),t,0.5,-2 ,1,o,1 2,THANK YOU,SUCCESS,2025/7/9 周三,31,可编辑,32,/58,x,(,t,),t,o,1,x,e,(,t,),t,o,0.5,x,o,(,t,),t,o,0.5,33,/58,t,0,x,(,t,),t,1,t,1,在任意时刻,t,=,t,1,时,脉冲可表示为,3.,脉冲分量（,impulse,）,一个复杂信号可以分解为一系列具有不同时延的矩形窄脉冲的,叠加,（,Linear System,）。,x,(,t,1,),u,(,t,t,1,),u,t,t,1,t,1,),34,/58,当,t,1,窄脉冲变为冲激函数。所以,任意复杂信号分解为具有不同时延冲激信号的叠加,其冲激强度即为冲激处的函数值,x,(,t,1,),与,t,1,的乘积。,上式实际上是函数的卷积积分表达式,表明：,时域里任意函数等于这一函数与冲激函数的卷积,卷积的几何解释是上述一系列矩形窄脉冲的求极限过程,。,35,/58,4.,实部分量与虚部分量,(,real&imaginary,),若,x,(,t,),是复函数,x,(,t,)=,x,r,(,t,)+j,x,i,(,t,),共轭函数,x,*,(,t,)=,x,r,(,t,),j,x,i,(,t,),x,(,t,),x,*,(,t,)=|,x,(,t,)|,2,=,x,r,2,(,t,)+,x,i,2,(,t,),虽然,实际信号都是实函数,，但在信号分析理论中，常借助复信号来研究实信号的问题。它可以建立某些有益的概念或,简化运算,。,36,/58,5.,正交函数分解（,2.2.1,中详细介绍,）,(,orthogonal,),如果用正交函数集来表示一个信号，那么组成信号的各分量就是相互正交（,垂直，夹角为,90,度,）的。例如，用各次谐波,(,harmonic,),的,正弦与余弦信号,叠加表示一个矩形脉冲，各正弦、余弦信号就是此矩形脉冲信号的正交函数分量。,把信号分解为正交函数分量的研究方法，在信号与系统理论中占有重要地位，这将使本课程的主要课题之一。,37,/58,2.1.4,连续信号的时域分析方法,卷积法,(,convolution,),(i),输入信号可分解为一系列矩形窄脉冲,时的极限,不同时延冲激信号分量的叠加,(ii),分别求出每个冲激信号分量的响应,(iii),根据,LS,的叠加性（,additivity,）,，各分量响应的叠加得到系统总的输出响应。,h,(,t,),y,(,t,),x,(,t,),1,、卷积法求线性系统（,LS,）的,零状态响应,设一线性系统，其初始条件为,0,（齐次性homogeneity,）,，若系统的,冲激响应为,h,(,t,),，当输入为,x,(,t,),时，可用卷积法求出其零状态响应,y,(,t,),。,38,/58,t,0,x,(,t,),t,0,x,(,),h,(,t,),t,0,y,(,t,),39,/58,2.,卷积运算的图解,(i),变量置换,t,，将,x,(,t,),h,(,t,),x,(,),h,(,),；,(ii),反褶,h,(,),h,(,),时间轴反转,；,(iii),平移,h,(,),h,(,t,),；,(iv),相乘,x,(,),与,h,(,t,),两图形相乘，有重叠部分即为乘积值，不重叠部分乘积为零；,(v),积分求和x,(,),与,h,(,t,),乘积曲线下的面积，就是,t,时刻的卷积值。不断平移,h,(,t,-,),，,h,(,t,-,),和,x,(,),两图形无重合面积为止，即可得到所有响应时刻的卷积值。,举例说明,0,x,(,t,),t,0.5,0,h,(,t,),t,40,/58,（,a,）变量置换,（,d,）最终卷积结果,0,x,(,),0.5,0,h,(,),（,b,）反褶,0.5,1,0,h,(,),（,c,）平移相乘,0,t,x,(,),h,(,t,),0,x,(,),h,(,t,),y,(,t,),t,0,2,0,t,x,(,),h,(,t,),0,t,x,(,),h,(,t,),41/58,t,0,y,(,t,)=,x,(,t,),h,(,t,),=0,0,t,1,1,t,2,y,(,t,)=,x,(,t,),h,(,t,),=0,积分限表示的是,x,(,),和,h,(,),的交叉部分。如果交叉部分的长度一直在变，则积分限中有变量；如果在一段内，交叉部分的长度不变，则积分限为常值。,42,/58,卷积的性质,（）,任意函数与冲激函数的卷积仍为该函数本身,x,(,t,),(,t,t,0,),=,x,(,t,t,0,),（）,任意函数,x,(,t,),与阶跃函数的卷积有,（）,交换律,x,1,(,t,),x,2,(,t,),=,x,2,(,t,),x,1,(,t,),（）,分配律,x,1,(,t,),x,2,(,t,)+,x,3,(,t,),=,x,1,(,t,),x,2,(,t,)+,x,1,(,t,),x,3,(,t,),43,/58,物理意义,：,(i),线性系统对于几个相加输入信号的零状态响应等于每个激励单独作用的叠加。,(ii),由冲激响应为,h,1,(,t,),及,h,2,(,t,),的并联系统等效于一个冲激响应为,h,1,(,t,)+,h,2,(,t,),的系统。,h,(,t,),y,(,t,),x,1,(,t,)+,x,2,(,t,),y,(,t,),+,+,h,(,t,),y,1,(,t,),x,1,(,t,),h,(,t,),y,2,(,t,),x,2,(,t,),y,(,t,),+,+,h,1,(,t,),y,1,(,t,),h,2,(,t,),y,2,(,t,),x,(,t,),h,1,(,t,)+,h,2,(,t,),y,(,t,),x,(,t,),44,/58,（）,结合律,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,3,(,t,),=,x,1,(,t,),x,2,(,t,),x,3,(,t,),若冲激响应分别为,h,1,(,t,),和,h,2,(,t,),的串联系统可等效为一个冲激响应为,h,1,(,t,),h,2,(,t,),系统。,h,1,(,t,),x,(,t,),h,2,(,t,),y,(,t,),h,1,(,t),h,2,(,t,),y,(,t,),x,(,t,),45,/58,（,6,）,两函数卷积后的导数等于其中一函数之导数与另一函数之卷积，即,46,/58,（,7,）,两函数卷积后的积分等于其中一函数之积分与另一函数之卷积，即,47,/58,2.2,周期信号的频谱分析,傅里叶级数,2.2.1,正交函数,1,、正交矢量（,vector,）,斜投影,x,x,y,y,当,=90,，称,v,1,与,v,2,相互垂直的矢量为正交矢量。,将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个正交矢量的组合。把相互正交的两个矢量组成一个二维的,“,正交矢量集,”,。在此平面上的任意分量都可用二维正交矢量集的分量组合来表示。,可推广应用于,n,维信号矢量空间。,垂直投影,x,y,v,48,/58,2,正交函数,假定，要在区间,t,1,，,t,2,内用函数,x,2,(,t,),近似表示,x,1,(,t,),x,1,(,t,),c,12,x,2,(,t,),这里的系数怎样选择才能得到最佳的近似？我们选择误差的方均值（或均方值）最小，这时，可以认定已经得到了最好的近似。,均方误差,定义为,49,/58,上式表示,x,1,(,t,),有,x,2,(,t,),的分量，此分量的系数是,c,12,。如果,c,12,等于零，则,x,1,(,t,),不包含,x,2,(,t,),的分量，这种情况称为：,x,1,(,t,),与x,2,(,t,),在区间,t,1,，,t,2,内正交。得出,两函数在区间,t,1,，,t,2,内正交的条件是,【,例,2-2】,试用正弦函数,sin,t,在区间,0,，,2,内来近似表示余弦函数,cos,t,。,解：显然，由于,cos,t,与,sin,t,两函数正交。,50,/58,【,例,2-3】,设矩形脉冲,x,(,t,),有如下定义,波形如图，试用正弦波,sin,t,在区间,0,，,2,内近似表示此函数，使均方误差最小。,解：函数,x,(,t,),在区间,0,，,2,内近似为,x,(,t,)=,c,12,sin,t,为使均方误差最小，,c,12,应满足,51,/58,52,/58,3正交函数集,定义：,假设有,n,个函数,g,1,(,t,),，,g,2,(,t,),，,，,g,n,(,t,),构成的一个函数集，这些函数在区间,t,1,，,t,2,内满足如下的正交特性,其中,k,i,为常数，则函数序列,g,1,(,t,),g,2,(,t,),g,3,(,t,),g,n,(,t,),是,t,1,，,t,2,区间上的正交函数集。,三角函数（,trigonometric function,）序列,1,cos,1,t,cos2,1,t,cos3,1,t,cos,n,1,t,，,sin,1,t,sin2,1,t,sin3,1,t,sin,n,1,t,为区间,0,2,/,1,上的正交函数集。,53,/58,令任一函数,x,(,t,),在区间,t,1,，,t,2,内由这,n,个互相正交的函数线性组合所近似，表示式为,x,(,t,),c,1,g,1,(,t,)+,c,2,g,2,(,t,)+,+,c,n,g,n,(,t,),为满足最佳近似的要求，可利用均方误差最小的条件求系数,c,1,，,c,2,，,，,c,n,。均方误差表示式为,54,/58,4,、,完备,(perfect),正交函数集,定义一,:,如果用正交函数集,g,i,(,t,),在区间,t,1,，,t,2,内近似表达函数,x,(,t,),，即,x,(,t,),c,1,g,1,(,t,)+,c,2,g,2,(,t,)+,+,c,n,g,n,(,t,),若令,n,，其均方误差的极限等于零,则此正交函数集为完备正交函数集。,如果对某一正交函数集,k,i,=1,，称此正交函数集为,“,归一化正交函数集,”,。,55,/58,定义二,如果在正交函数集,g,1,(,t,),，,g,2,(,t,),，,，,g,n,(,t,),之外，不存在函数,f,(,t,),满足等式,则此函数集称为完备正交函数集。,常用的完备正交函数集有,（,1,）三角函数,1,，,cos,1,t,，,cos2,1,t,，,，,cos,n,1,t,sin,1,t,，,sin2,1,t,，,，,sin,n,1,t,（,2,）复指数函数,e,j,n,1,n,=0,1,2,（,3,）沃尔什函数,Wal(,k,t,),56,/58,数学上可以证明，当函数,x,(,t,),在区间,t,1,t,2,内具有连续的一阶导数和逐段连续的二阶导数，,x,(,t,),可以用完备的正交函数集来表示，这就是所谓的函数,“,正交分解,”,。,对于任意周期信号,x,(,t,)=,x,(,t+nT,1,),，在满足狄里赫利条件下，可展成傅里叶级数。狄里赫利条件：,1,）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；,2,）在一个周期内，极大值与极小值的数目应是有限个；,3,）在一个周期内，信号是绝对可积的，即,57,/58,下节课内容,2.2,周期信号的频谱分析,傅里叶级数,周期信号的频谱分析,傅里叶级数,典型周期信号的傅里叶级数,吉布斯现象,2.3,非周期信号的频谱分析,傅里叶变换,傅里叶变换,58,/58,作业,P,55,2-1,2-2,2-3,2-4,59,/58,结 束,THANK YOU,SUCCESS,2025/7/9 周三,60,可编辑,