双曲线知识点总结例题.doc

二）双曲线知识点及巩固复习
1。双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数,常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支
F1,F2为两定点，P为一动点，(1)若|｜PF1|—｜PF2||=2a
①0<2a<｜F1F2｜则动点P的轨迹是
②2a=｜F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
（2) 若|P F1｜-|PF2｜=2a
①0〈2a<｜F1F2｜则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
2.双曲线的标准方程
3.双曲线的性质
(1）焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点 焦点 对称轴 对称中心
实半轴的长 虚半轴的长 焦距
离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越
准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= |PF2｜= (F1,F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点）
（1） 焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点 焦点 对称轴 对称中心
实半轴的长 虚半轴的长 焦距
离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越
准线 渐近线 焦半径公式|PF1|= ｜PF2｜= （F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)
1. 等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为
2. 共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
6.双曲线系
（1） 共焦点的双曲线的方程为(0
（2） 共渐近线的双曲线的方程为
例题
在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值"，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1：（x＋4）2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程
【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2，P是两条曲线的一个交点,则｜PF1｜·|PF2｜的值是 ( ）
A. B. C。 D。
【例3】已知双曲线与点M(5,3），F为右焦点,若双曲线上有一点P,使最小,则P点的坐标为
考点2、求双曲线的方程
求双曲线标准方程的方法
1．定义法,根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．
2．待定系数法
（2）待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t（t≠0);
②若双曲线的渐近线方程是y＝±x,则双曲线的方程可表示为－＝t(t≠0);③与双曲线－＝1共焦点的方程可表示为－＝1（－b2＜k＜a2)；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为＋＝1（mn＜0）；
⑤与椭圆＋＝1(a＞b＞0）有共同焦点的双曲线方程可表示为＋＝1（b2＜λ＜a2)．
例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．
（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3,2）；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
1。在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的,那么焦点在y轴上,且对于双曲线，a不一定大于b.
2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,可设双曲线方程为:mx2＋ny2＝1（mn＜0)，以避免分类讨论．
考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系,充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程
例5、（12分）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P，使·＝0,求此双曲线离心率的取值范围．
例6、【活学活用】 3。（2012北京期末检测）若双曲线－＝1（a＞0,b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且｜PF1｜＝3｜PF2｜,则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
【例7】直线过双曲线的右焦点,斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是 ( )
A。e> B。1两个焦点，若，则的面积为（ )A． B． C。 D．
【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前
不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能
临场发现的。
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维
能力，这正是命题人的高明之处。
渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线,渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例9】过点（1，3)且渐近线为的双曲线方程是
【评注】在双曲线中，令即为其渐近线。根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.
共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易,所得双曲线方程为:.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用。
【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明:=1.
设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求。请看下例：
【例11】双曲线的一弦中点为（2，1)，则此弦所在的直线方程为 （ ）
A。 B。 C。 D。
“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用。不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
【例12】在双曲线上，是否存在被点M（1,1)平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求"的手段，会有如下解法：
练习
1．(2011安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( ）
A．2 B．2 C．4 D．4
2．(2011山东高考）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( ）
A.5(x2)－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
3.（2012嘉兴测试)如图，P是双曲线－y2＝1右支(在第一象限内）上的任意一点,A1，A2分别是左、右顶点,O是坐标原点，直线PA1，PO,PA2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是( ）
A．(0，1） B．(0，） C．(0，） D．（0，）
4．（金榜预测)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A（－5,0）和C(5，0),顶点B在双曲线－＝1上,则为（ ）
A.2(3) B。 C。 D.
5．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则｜PM|－|PN｜的最大值为( ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2012南宁模拟）已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( ）
A。＋1 B。＋1 C．2 D．2
7．方程＋＝1表示双曲线．那么m的取值范围是________．
8．（2012大连测试)在双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA｜·｜OB|＝15,其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值是________．
10（2012肇庆模拟）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（－3，0)，一条渐近线的方程是 x－2y＝0.
（1）求双曲线C的方程；
(2)若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
11．(文用）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0)，右顶点为(，0）．
(1）求双曲线C的方程；
（2)若直线：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，－1),求实数m的取值范围．
12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上,离心率e=的双曲线过点P（6，6) （1）求双曲线方程 (2）动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
13．已知双曲线,问过点A(1,1）能否作直线，使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点?若存在，求出直线的方程,若不存在，说明理由。
14已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
（二）双曲线知识点及巩固复习
1。双曲线的定义
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数(小于两定点间的距离）,那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支
F1，F2为两定点，P为一动点，(1）若｜｜PF1｜—｜PF2|｜=2a
①0〈2a〈|F1F2｜则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
（2） 若｜P F1|-|PF2|=2a
①0〈2a〈｜F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2｜则动点P的轨迹是
③2a0则动点P的轨迹是
2。双曲线的标准方程
3.双曲线的性质
(1）焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x，y的范围
顶点 焦点 对称轴 对称中心
实半轴的长 虚半轴的长 焦距
离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越
准线 渐近线 焦半径公式｜PF1｜= ｜PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)
（2） 焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x，y的范围
顶点 焦点 对称轴 对称中心
实半轴的长 虚半轴的长 焦距
离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越
准线 渐近线 焦半径公式|PF1｜= |PF2｜= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点,P为椭圆上的一点)
3. 等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为
4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
6。双曲线系
（3） 共焦点的双曲线的方程为（0〈k〈c2,c为半焦距）
（4） 共渐近线的双曲线的方程为
考点1。双曲线的定义及应用
在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值",弄清是指整条双曲线,还是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1:(x＋4）2＋y2＝2外切，与圆C2:（x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程
【自主解答】设动圆M的半径为r，则由已知
|MC1|＝r＋，|MC2｜＝r－,
∴|MC1|－|MC2｜＝2.
又C1（－4,0），C2（4，0)，∴｜C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.
根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1（－4,0)、C2（4，0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是：－＝1（x≥)．
【例1】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则｜PF1|·|PF2｜的值是 ( )
A。 B. C。 D。
【解析】椭圆的长半轴为
双曲线的实半轴为
，故选A.
【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义,是破解本题的关键.
【例2】已知双曲线与点M（5,3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小,则P点的坐标为
【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的
倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.
【解析】双曲线的右焦点F（6，0)，离心率
右准线为。作于N，交双曲线右支于P，
连FP,则.此时
为最小.
在中，令，得取.所求P点的坐标为。
考点2、求双曲线的方程
求双曲线标准方程的方法
1．定义法，根据题目的条件,若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．
2．待定系数法
(2）待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0）；
②若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程可表示为－＝t(t≠0）；③与双曲线－＝1共焦点的方程可表示为－＝1（－b2＜k＜a2）；
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为＋＝1（mn＜0)；
⑤与椭圆＋＝1(a＞b＞0）有共同焦点的双曲线方程可表示为＋＝1(b2＜λ＜a2)．
例2、求下列条件下的双曲线的标准方程．
（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线,且过点(－3，2）;
（2)与双曲线－＝1有公共焦点,且过点（3,2)．
【自主解答】（1)解法一：经检验知双曲线焦点在x轴上，故设双曲线的方程为－＝1，由题意，得解得a2＝,b2＝4，
所以双曲线的方程为－＝1。
(2)解法一：设双曲线方程为－＝1，由题意易求c＝2,又双曲线过点（3，2）,∴－＝1.又∵a2＋b2＝（2）2，∴a2＝12，b2＝8。 －＝1。
解法二:设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），将点（－3,2)代入得λ＝。
所以双曲线方程为－＝，即－＝1.
解法二：设双曲线方程为－＝1，且16－k＞0,4＋k＞0.
将点（3，2）代入得k＝4，且满足上面的不等式,所以双曲线方程为－＝1.
1.在双曲线的标准方程中,若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上;如果y2的系数是正的,那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.
2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为:mx2＋ny2＝1(mn＜0）,以避免分类讨论．
考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程
例3、(12分)双曲线C：－＝1(a＞0,b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0),若C上存在一点P,使·＝0,求此双曲线离心率的取值范围．
【规范解答】设P点坐标为(x,y)，
则由·＝0得AP⊥PQ,
即P点在以AQ为直径的圆上，
∴（x－）2＋y2＝(）2。①又P点在双曲线上，得－＝1.②
（a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0。
即[(a2＋b2）x－(2a3－ab2)］（x－a）＝0。6分
当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去当x＝时,满足题意的P点存在,需x＝＞a，化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2,＜。10分∴离心率e＝∈(1，）.12分
例4、【活学活用】 3。（2012北京期末检测)若双曲线－＝1(a＞0,b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3｜PF2|，则该双曲线的离心率e的取值范围是______．
解析：依题意得，
由此解得｜PF2|＝a≥c－a，即c≤2a,e＝≤2，
即该双曲线的离心率不超过2.
又双曲线的离心率大于1，
因此该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2］．
【例5】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2。若与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e的范围是 （ ）
A.e> B。1
【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就
考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握，
但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线
的斜率为2,所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的
渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与
之相交.故有如下妙解。
【解析】如图设直线的倾斜角为α,双曲线渐近线
的倾斜角为β。显然.当β＞α时直线与双曲线的两
个交点分别在左右两支上。由
.
∵双曲线中，故取e〉。选D。
【例6】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ )
A． B． C。 D．
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:.设；
于是，
故知△PF1F2是直角三角形，∠F1P F2=90°。
∴.选B。
【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前
不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能
临场发现的。
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维
能力，这正是命题人的高明之处.
渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有。 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开。
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中。
【例7】过点(1,3)且渐近线为的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为
点（1，3）代入：。代入（1）：
即为所求
【评注】在双曲线中，令即为其渐近线。根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.
共轭双曲线—— 虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易,所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线。它们有相同的焦距而焦点的位置不同;它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用。
【例8】两共轭双曲线的离心率分别为，证明:=1.
【证明】双曲线的离心率；
双曲线的离心率。
∴.
考点5、直线与双曲线位置关系
设而不求-—与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求。请看下例:
【例9双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）
A. B. C。 D.
【解析】设弦的两端分别为。则有：
。
∵弦中点为（2，1)，∴。故直线的斜率。
则所求直线方程为：，故选C。
“设而不求"具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是，“设而不求”的手段应当慎用。不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：
【例10】在双曲线上，是否存在被点M（1，1)平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：
【错解】假定存在符合条件的弦AB,其两端分别为：A(x1，y1）,B（x2，y2）。那么:
.
∵M（1，1）为弦AB的中点，
∴
故存在符合条件的直线AB，其方程为：.
这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
其一：将点M（1,1）代入方程,发现左式=1—＜1，故点M（1,1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件。
【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
这里,故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件。
此外,上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2。若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.
结论；不存在符合题设条件的直线.
练习
1．（2011安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（ )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：2x2－y2＝8化为标准形式:－＝1,∴a2＝4。∴a＝2.∴实轴长2a＝4.
2．(2011山东高考）已知双曲线－＝1（a＞0,b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.5(x2)－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D。－＝1
解析：由题意得，－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x,
即bx±ay＝0，又圆C的标准方程为:(x－3）2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3，0)．
∴a2＋b2＝32＝9，且＝2，解得a2＝5，b2＝4。∴该双曲线的方程为－＝1。
3。(2012嘉兴测试）如图,P是双曲线－y2＝1右支（在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1,PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是( ）
A．(0,1） B．(0，） C．0，） D．（0，)
解析：设P(x，y），则∈（0,),且x2－4＝4y2(x＞0,y＞0)，∴k1k2k3＝＝∈（0，)．
4．(金榜预测）在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A（－5,0)和C（5,0），顶点B在双曲线－＝1上，则为( ）
A.2(3) B。 C。 D。
解析：由题意得a＝4，b＝3，c＝5。 A、C为双曲线的焦点，∴||BC|－｜BA｜|＝8，｜AC|＝10.
由正弦定理得＝＝＝。
5．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN｜的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：易知两圆圆心为F1（－5,0)，F2（5,0）．由双曲线方程知a＝3，b＝4，则c＝5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点．
｜PM|－｜PN｜的最大值为如图所示的情况，
即|PM｜－｜PN|≤|PF1｜＋|F1M｜－(|PF2|－|NF2|）＝|PF1|＋2－|PF2｜＋1＝2a＋3＝2×3＋3＝9。
6．(2012南宁模拟）已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为（ ）
A.＋1 B.＋1
C．2 D．2
解析：不妨设P点在双曲线的右支上,
则|PF1｜－|PF2|＝2a.
∵△PF1F2是等腰直角三角形，
∴只能是∠PF2F1＝90°，∴｜PF2|＝|F1F2|＝2c,
∴｜PF1|＝2a＋｜PF2｜＝2a＋2c,∴（2a＋2c)2＝2·(2c)2，
即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0。∵e＞1,∴e＝＋1.
7．方程＋＝1表示双曲线．那么m的取值范围是________．
解析：注意分两种情况．一是实轴在x轴上，二是实轴在y轴上．依题意有或得m＞3或－3＜m＜2。
8．（2012大连测试)在双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线上分别取点A和B，使得｜OA|·|OB|＝15,其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．
解析:双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线方程为2x±y＝0,设A(m,2m），B（n,－2n），AB中点M(x，y），则即所以4x2－y2＝4mn。
由|OA|·｜OB｜＝×＝|m｜×|n|＝15，得|mn｜＝3，
所以AB中点的轨迹方程是4x2－y2＝±12,即－＝±1。
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0）的离心率是2,则的最小值是________．
解析：＝2⇒＝4⇒a2＋b2＝4a2⇒3a2＝b2,则＝＝a＋≥2＝，
当a＝，即a＝时取最小值.
10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（－3,0），一条渐近线的方程是 x－2y＝0.
(1)求双曲线C的方程;
(2）若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题设得5解得
所以双曲线C的方程为：
(2）设直线l的方程为：－＝1. y＝kx＋m（k≠0)，
则点M（x1，y1）,N(x2，y2）的坐标满足方程组得－＝1，
整理得(5－4k2)x2－8kmx－4m2－20＝0.此方程有两个不等实根，于是5－4k2≠0，
且Δ＝（－8km)2＋4(5－4k2)（4m2＋20)＞0，整理得m2＋5－4k2＞0。③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0)满足x0＝＝,y0＝kx0＋m＝,从而线段MN的垂直平分线的方程为y－＝－(x－）．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为
（，0)，(0，)，由题设可得｜｜·｜｜＝，
整理得m2＝，k≠0。将上式代入③式得＋5－4k2＞0，
整理得(4k2－5)(4k2－｜k｜－5)＞0，k≠0,解得0＜｜k|＜或|k|＞.
所以k的取值范围是(－∞,－)∪（－，0)∪（0，)∪(,＋∞）．
10．(文用）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(,0)．
（1)求双曲线C的方程；
(2）若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A（0，－1），求实数m的取值范围．
解：（1）设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2。
又a2＋b2＝c2,得b2＝1。故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2）联立整理得，（1－3k2）x2－6kmx－3m2－3＝0。
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴
可得m2＞3k2－1且k2≠。①设M(x1，y1）,N（x2,y2)，MN的中点为B（x0，y0),
则x1＋x2＝，x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.
由题意，AB⊥MN，∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0）．
整理得3k2＝4m＋1.②将②代入①,得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4。
又3k2＝4m＋1＞0（k≠0），即m＞－.∴m的取值范围是(－，0）∪(4，＋∞)．
11已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6） （1）求双曲线方程 (2）动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论
解 （1）如图，设双曲线方程为=1 由已知得，解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1
(2）P、A1、A2的坐标依次为(6，6）、（3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2,2）平分线段MN，设M（x1，y1)，N（x2，y2） 则有
，∴kl=∴l的方程为
y= (x－2)+2，由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0，∴所求直线l不存在
12．已知双曲线，问过点A（1,1)能否作直线，使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在,求出直线的方程，若不存在，说明理由。
错解 设符合题意的直线存在，并设、
则 （1)得 因为A(1，1）为线段PQ的中点, 所以 将（4)、（5)代入（3)得
若，则直线的斜率 所以符合题设条件的直线存在。 其方程为 剖析 在（3）式成立的前提下，由（4）、(5）两式可推出(6)式,但由(6）式不能推出(4）（5）两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的. 应在上述解题的基础上，再由
得 根据,说明所求直线不存在。
13已知点N（1，2)，过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
解：（1）设直线AB:代入得 （*）
令A(x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 ∴ 且
∵ ∴ N是AB的中点 ∴
∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1
(2）将k = 1代入方程(＊）得 或 由得， ∴ ，∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为
即代入双曲线方程整理得 令,及CD中点则，, ∴，
｜CD| =， ，即A、B、C、D到M距离相等
∴ A、B、C、D四点共圆
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