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中档题型训练(五) 解直角三角形的应用

解直角三角形的应用是贵阳中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．
仰角、俯角问题

1．(2016郴州中考)小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法．他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9 m．请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度．(结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7)

解：∵BE∥DC，CD⊥AB，EB⊥AB，DC＝BE＝9.在Rt△ACD中，AD＝CD·tan30°＝9×3(3)＝3，在Rt△BCD中，BD＝CD·tan45°＝9×1＝9.∴AB＝AD＋BD＝9＋3≈14(m)．
答：对面楼房AB的高度约为14 m.

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2．(2016吉林中考)如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝43°.求飞机A与指挥台B的距离．(结果取整数，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)

解：依题意，得∠ACB＝90°，∠ABC＝43°，AC＝1 200.在Rt△ABC中．∵sin∠ABC＝AB(AC)，∴AB＝sin∠ABC(AC)＝sin43°(1 200)＝0.68(1 200)≈1 765(m)．
答：飞机A与指挥台B的距离约为1 765 m.

3．(2016深圳中考)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)

解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线．由题意得∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝4×8＝32 m，∴AD＝CD＝AB·sin30°＝16 m，BD＝AB·cos30°＝16 m，∴BC＝CD＋BD＝16＋16(m)，∴BH＝BC·sin30°＝8＋8(m)．
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4．(2016宜宾中考)如图，CD是一高为4 m的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3 m到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
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解：过点C作CF⊥AB于点F，设AF＝x m．则有：CF＝DB，CD＝BF＝4 m，AB＝x＋4，在Rt△ACF中，tan∠α＝tan30°＝3(3)＝CF(AF)＝CF(x)，得CF＝x，∴BE＝BD－DE＝CF－DE＝x－3，在Rt△AEB中，tan∠β＝tan60°＝＝EB(AB)＝x－3(AB)得，AB＝3x－3，∴3x－3＝x＋4，解得x＝2＋2(3)∴AB＝6＋2(3)m，∴树高为(6＋2(3))m.

方位角问题

5．(2016宿迁中考)如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：≈1.73)
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解：过点P作PC⊥AB交AB延长线于点C，由题意知∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，设PC＝x，在Rt△PBC中，BC＝x，在Rt△PCA中，AC＝x，8＋x＝x，x＝10.92 m，PC>10，∴不会触礁．

6．(2016临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达位于灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：≈1.732，结果精确到0.1)

解：过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，在Rt△ACP中，∠ACP＝90°，∠APC＝60°，PA＝20.∵cos∠APC＝PA(PC)，sin∠APC＝PA(AC)，∴PC＝PA·cos60°＝20×2(1)＝10，AC＝PA·sin60°＝20×2(3)＝10，在Rt△BCP中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝10，∴AB＝AC－BC＝10－10＝10×1.732－10＝7.3.
答：轮船向东航行约7.3海里到达位于灯塔P南偏西45°方向上的B处．

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坡度、坡比问题w w w .x k b 1.c o m

7．(2016泸州中考)如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30 m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈3(4)，计算结果用根号表示，不取近似值)
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解：过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，则四边形CEBF是矩形．∵斜坡DB的斜面坡度i＝1∶，即∠BDE＝30°，在Rt△BDE中，BD＝30，∴BE＝BD×sin30°＝15，∴CF＝15，∴ED＝BD×cos30°＝15，∴BF＝CE＝CD－ED＝45，在Rt△AFB中，∠ABF＝53°.∵tan53°＝BF(AF)，∴AF＝BF·tan53°＝45×3(4)＝60，∴AC＝AF＋CF＝60＋15(m)．x k b 1 . c o m
答：楼房AC的高度是(60＋15)m.

8．(2015内江中考)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC＝1∶)，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度．(测倾器的高度忽略不计)
解：在Rt△ABC中，tan∠ACB＝BC(AB)＝3(1)＝3(3)，∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∠PAC＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝90°，∴∠DAC＝60°.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6.在Rt△ACD中，DC＝AC·tan∠DAC＝6×tan60°＝6.在Rt△CDE中，DE＝DC·sin∠DCE＝6×sin60°＝9(m)．
答：树DE的高为9 m．
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