预初-1整数和整除的意义、因数和倍数(教师版).doc

初中数学备课组
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学生情况：
主课题：1.1整数和整除的意义&1.2因数和倍数
教学目标：
1. 掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念
2. 掌握整除的条件，会区分整除和除尽
3. 在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数
4. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数
5. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数

教学重点：
1. 自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件
2. 掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数
3. 掌握求一个整数在一定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数

教学难点：
1.掌握整数最小和最大的因数
2.掌握整数最小的倍数
考点及考试要求：
1.自然数、整数、正整数、负整数的分类
2.给出算式判断是否为整除
3.会在一定范围内求一个正整数的因数、倍数

知识精要
知识点1：整数的意义和分类
自然数：零和正整数统称为自然数（natural number）；
整数：正整数、零、负整数，统称为整数（integer）。
自然数
正整数

零
整数
负整数

知识点2：整除
（1） 整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.
（2） 整除的条件（两个必须同时满足）：
①　 除数、被除数都是整数；
②　 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
知识点3：除尽与整除的异同点
相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除
不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零。
知识点4：因数和倍数
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约
数）。
注：（1）在整除的条件下才有因数和倍数的概念；
（2）说法：例如，63=2，只能说6是3的倍数，3是6的因数，不能单独说6是倍数，3是因数
（3）如果a是b的倍数，那么b一定是a的因数；反之，如果b是a的因数，
那么a一定是b的倍数
知识点5：求一个数的因数的方法
（1）列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数
例：6=1×6，6=2×3，所以1、2、3、6都是6的因数
（2）列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数
例：81=8，82=4，所以1，2，4，8都是8的因数
规律总结：一个数的因数个数是有限的。一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
1的因数只有1，最大的因数和最小的因数都是1，除1以外的整数，至少有两个因数
知识点6：求一个数的倍数的方法
求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数
例：2×1=2，2×2=4，2×3=6，2×4=8……，则2，4，6，8都是2的倍数
规律总结：一个数的倍数是无限的，一个数的最小倍数是它本省，没有最大倍数
知识点7：因数和倍数的性质（规律总结）
（1） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；
（2） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数
（3） 一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数

热身练习
1、把下列各数放入相应的圈内
-1，-0.2，0，0.7,13，0.2323……，
0，
13
-1，0，13
整数
自然数

正整数
负整数
13
-1

2、最小的自然数是 0 ，最小的正整数是 1 ,最大的负整数是 -1
3、下列各组数中，哪个数能整除另一个数？
①8和36 ②26和52 ③17和3
④35和0.5 ⑤50和25 ⑥1.9和38
答：②26能整除52；⑤25能整除50
4、、判断题：
（1）负整数中有最大的数。（ √ ）
（2）0是整数，所以它也是正整数。（ × ）
（3）1001能被11整除。（ √ ）
（4）能整除6的数一共有4个。（ √ ）
（5）整数a除以b的商为整数，余数为零，那么a能被b整除。（×）
5、182=9，我们可以说 18 能被 2 整除，也可以说 2 能整除 18
6、 已知39能被正整数n整除，则n可能是 1，39，3，13
7、 84=2，则 8 是 4 的倍数， 4 是 8 的因数，8的最大因数是 8 ，最小倍数是 8
8、 已知下列除法算式：
577=8……1 217=3 220.2=110 225=4.4
03=0 24=0.5
（1） 表示能除尽的算式有哪几个？
（2） 哪些算式中可以说被除数能被除数整除？
答：（1）表示能除尽的算式有：217=3 220.2=110 225=4.4
03=0 24=0.5
（2）被除数能被除数整除的算式有： 217=3 03=0
9、（1）试说说正整数、负整数零、自然数、整数之间的关系
（2）试比较正整数、负整数，零的大小
（3）试比较负整数，自然数的大小
答：（1）整数包括自然数和负整数，或者说整数包括正整数、零和负整数；自然数包括零和正整数
（2）负整数<零<正整数
（3）自然数>负整数
10、 分别写出36和19的因数
解：36=1×36=2×18=3×12=4×9
所以36的因数有：1，2，3，4，9，12，18，36
19=1×19
所以19的因数有：1，19
11、 在圈内填写满足条件的数：

27
2，
6 1，3，9
18
18的因数
27的因数
既是18的因数又是27的因数

精解名题
例1、先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？
--1，2，-0.3……，15，-0.7，0，3.83，0.3，1，3.83……
0，1，2,15
15，-1，0，1，2，
整数
自然数

正整数
负整数
1，2,15

-1

从小到大排列如下：-1，-0.7，-0.3……，0，0.3，1，2，3.83，3.83……,15
其中最小的正整数是1，最小的自然数0，最大的负整数-1

例2、15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？
两种：分给3人，每人5支；或分给5人，每人3支。
例3、五个连续自然数，已知中间数是a，那么其余四个数分别是 a-2， a-1，a+1 和 a+2 。若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数。
解：a-2+a-1+a+a+1+a+2=20，可得a=4
这五个数分别是2，3，4，5，6
例4、2011年的教师节是星期六，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2012年的教师节是星期几呢？
解析：2011年9月10日到2012年9月10日有366天，而一个星期的周期是7天，所以每相差7天的日期，它们的星期都是一样的，所以我们用366除以7，如果能整除，那么2012年教师节就是星期五，如果不能整除，我们只要按照余数顺延就可以得到答案了。
因为3667=52……2，所以2012年教师节是星期六后边顺延两天天，也就是星期一
注：2012年为闰年
闰年：普通年能被4整除且不能被100整除的为闰年；世纪年能被400整除的是闰年。
例5、李明去儿童乐园玩，儿童乐园是1路车和13路车的始发站，1路车每5分钟发车一次，13路车每6分钟发车一次。现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？
解析：1路车每5分钟发车一次，也就是每次发车都是5的倍数，13路车每6分钟发车一次，则每次发车都是6的倍数，再次同时发车，这个时间应该既是5的倍数，又是6的倍数，又要求至少再经过多少分钟，就应声5和6的公倍数当中最小的那个数
5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35……
6的倍数有：6、12、18、24、30、36……
既是5的倍数，又是6的倍数的最小数是30，所以应再过30分钟两车又同时发车
例6、有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
（）—1=（）÷5=（）+2
解析：令（）—1=（）÷5=（）+2=a
则这三个自然数分别表示为a+1，5a，a-2
则a+1+5a+a-2=13，得到a=2
则这三个数分别为：3，10，0

拓展提高
1、已知A=2×3×5×7，那么A的全部因数的个数是 （ D ）
A．10个 B、12个 C、14个 D、16个
2、 如果（n）表示n的全部因数的和，如（4）=1+2+4=7，则（18）-（21）= 7 。
3、如果两个整数a、b都能被整数c整除，那么它们的和、差、积也能被c整除吗？为什么？
答：能。若整数a、b都能被整数c整除，则可设cm=a，cn=b（m、n均为整数），那么，a+b=cm+cn=c(m+n);a-b=cm-cn=c(m-n);ab=cm·cn，
所以它们均能被c整除。
思考：（1）如果两个数都不能被同一个数整除，那么它们的和差是否一定不能被这个数整除？举例说明；
（2）在加法中，如果有一个加数不能被某个数整除，其它的加数都能被这个数整除，那么这些加数的和能被这个数整除吗？举例说明。
答：（1）不一定不能；
（2）一定不能。
4、学校有10个兴趣小组，各组的人数如下表：
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
3
11
6
8
10
12
4
7
13
8
一天下午，学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座，已知有9个小组去听讲座，其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是第几组？
解析：“听英语讲座的人数是听语文讲座人数的6倍”的条件可知听讲座的9个小组人数之和是7的倍数，十个小组的总人数经计算是82人，又因为82除以7以后余5，所以留下讨论的那一组人数被7除也应该余5，观察表格，只有第六组符合条件
解：总人数为：82人
因为82÷（6+1）=11……5，而12÷（6+1）=1……5
所以留下来讨论问题的是第六组

巩固练习
1、 判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）0是最小的自然数 ( √ )
（2） 正整数是自然数 ( √ )
（3） 正整数和负整数统称为整数 ( × )
（4） 整数包括自然数和负整数 ( √ )
2、 下列说法正确的是（ D ）
A. 两个整数相除，商一定是整数
B. 非负整数是正整数
C. 小数一定比整数小
D.自然数包括正整数和零
3、 下列各组数中，第一个数不能被第二个数整除的是（ C ）
A.21和3 B.0和8 C.12和0.3 D.11和1
4、 找出1～25以内符合条件的数
3，6,9，12，15，18，21，24
有因数3
4，8，12，16，20，24
4的倍数
1，2，4，5，10，20
20的因数

5、 若18能被正整数a整除，则a为 1、18、2、9、3、6 。
6、 数a能被数b整除，已知数a是最大的两位数，b小于20大于8，那么b的值可能是 9或11
7、 七个连续的自然数的和为70，那么这七个连续的自然数数是7、8、9、10、11、12、13
8、是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数
答；最小的正整数是1，没有最小的负整数，最小的自然数是0；
没有最大的正整数，最大的负整数是-1，没有最大的自然数
9、老师问：“当a=4.5时，b=0.9时，a能被b整除吗”，一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a能被b整除”你认为对吗？
答:不对，整除必须满足两个条件：（1）除数、被除数都是整数；（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。问题中的a，b不满足第一个条件，所以a不能被b整除，只能说是除尽。
10、求26以内能被5整除的所有数的和
解：26以内能被5整除的数有：5，10，15，20，25
所以26以内能被5整除的所有数的和为75
11、下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出。
（1）6和9 （2）27和51
解析：先写出各组数中各自的因数，注意不要忘记1
解：（1）6和9中，6的因数是1，2，3，6；9的因数是1，9，3
所以6和9含有的相同因数是1，3
（2）27和51中，27的因数是：1，3，9，27；51的因数是：1，3，17，51
所以27和51含有的相同的因数是1，3
12、 用16块面积是1平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长和宽分别是多少厘米？
解：正方形面积是1平方厘米，那么正方形的边长为1厘米
要拼成长方形，那么拼成的长方形的长和宽都是16的因数，1的倍数
因为16=1×16=2×8=4×4，所有的正整数都是1的倍数，所以长方形的长和宽可以分别是1、16；2、8；4、4.

13、整数a能被b整除，商是c，那么整数2 ×a能被b整除吗？如果能整除，商是多少，？若不能，请说明理由。
答：2 ×a能被b整除，因为a÷b=c，那么2 ×a÷b=2×（a÷b）=2×c=2c，所以2 ×a能被b整除，商是2c

自我测试
1、 下列说法正确的是（ D ）
A. 整数一定比小数大 B.没有最小的自然数
C.若mn余数为0，则n一定能整除m
D.若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除
2、 下列说法不正确的是（ B ）
A. a÷b=c（a，b，c都是正整数），则b是a的因数，a是b的倍数
B. 甲数的最大因数正好等于乙数的最小倍数，则甲数一定大于乙数
C. 12÷4=3，所以说12是4的倍数
D. 51的倍数一定能被17整除
3、下列算式中，被除数能被除数整除的是( D )
A.18÷4 B. 12÷0.4 C. 1.8÷1.8 D. 4÷4
4、已知m能整除71，那么m是（ C ）
A. 142 B.11 C.1或71 D. 213
5、除式9÷1.5=6表示（ C ）
A.9能被1.5整除 B.1.5能整除9
C.9能被1.5除尽 D.以上说法都不确切
6、 如果一个数既是60的倍数，又是120的因数，那么下列说法中正确的是（ C ）
A. 这样的数只有1个 B.这样的数有无数个
C.这样的数有2个 D.这样的数不存在
7、 能被96整除的数一定是下面（ B ）的倍数
A.18 B.32. C.36. D.192
8、把下列各数填入相应的圈内
-3 ，-1，0，0.5，2，8，-1.5，0.333……，18
0，28，18

自然数
-3，-1，0，2，18，8
整数

2，18，8
正整数
-3，-1
负整数

9、把表示下列算式的序号填入适当的空格内。
（1）30÷10 （2）7÷25 （3）35÷0.1 （4）18÷3
（5）0.4÷2 （6）3.9÷0.3 （7）27÷9 （8）16÷4
被除数能被除数整除的： （1）,（4）,（7）,（8）
能够除尽的：（1）,（2），（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）
10、39÷13=3，我们可以说 39 能被 13 整除，也可以说 13 能整除 39
11、 在圈内写出满足条件的数（从小到大各写3个）
7，14，21
17，34，51

17的倍数

7的倍数

50，100，150
65，130，175

65的倍数
50的倍数

12、 若一个自然数a（a>0）则与它相邻的两个自然数可以表示为a-1，a+1，已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是17，18，19
13、 一个数的最小倍数是25，这个数的所有因数是：1，5，25
14、正整数32能被正整数a整除，写出满足条件的a的值
因为32÷1=32，32÷2=16，32÷4=8，32÷8=4，32÷16=2，32÷32=1
所以a可以是1，2，4，8，16，32
15、一个正整数既是48的因数，又是3的倍数，这个数可以是多少？
由于48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8
这个数是3的倍数，且是48以内的正整数，所以：3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12，3×5=15，3×6=18，3×7=21，3×8=24，3×9=27，3×10=30，3×11=33，3×12=36，3×13=39，3×14=42，3×15=45，3×16=48，
所以满足既是48的因数，又是3的倍数的正整数有：3，6，12，24，48
16、一个正整数只有2个因数而且这个数比10小，这个数可以是多少？
任何一个不等于1的正整数，都至少有两个因数，一个是1，一个是它本身，那么对于只有两个因数的正整数除了本身和1以外没有其它的因数了，10以内满足这个条件的正整数有2，3，5，7
17、有三个自然数，其和是19，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
（）+1=（）÷4=（）-2
解析：令（）+1=（）÷4=（）-2=a
则这三个自然数分别表示为a-1，4a，a+2
则a-1+4a+a+2=19，得到a=3
则这三个数分别为：2，12，5