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二次函数综合题训练题型合集和答案
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二次函数综合题训练题型集合
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1、(06年海南省中考)如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
（1）求的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
x
y
O
3
 －9
－1
－1
A
B
图2
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

E
B
A
C
P
图1
O

x
y
D

2、(07年河北中考)如图2，已知二次函数的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离.
3、(07年海口模拟一)如图3，已知抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)三点，连结AB，过点B作BC∥轴交该抛物线于点C.
（1） 求这条抛物线的函数关系式.
（2） 两个动点P、Q分别从O、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A→B→C的路线向C点运动. 设这两个动点运动的时间为（秒) (0＜＜4)，△PQA的面积记为S.
① 求S与的函数关系式；
② 当为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；
③ 是否存在这样的值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.

-3

0

-1

-2

1

2

3

4

S(万元)

图4
1 2 3 4 5 6 t(月)

P
B
A
C
O

Q

⌒

图3

4、(07年海南省调研)某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和S与之间的关系）.
根据图象提供信息，解答下列问题：
（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；
（2）累积利润S与时间之间的函数关系式；
（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；
（4）求第8个月公司所获利是多少元？
5、(07年海口模拟二)如图5，已知抛物线的顶点坐标为E（1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.
（1）求该抛物线的函数关系式.
（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥轴交抛物线于D，过B作BC⊥轴交抛物线于C. 设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S.
① 求S与之间的函数关系式.
② 求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？
③ 当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.

E
O

1
备用图

D
图5
E
B
A
C
O

1

6、(07浙江中考)如图6，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
图6
图7
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

7、（07海南中考）如图7，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；
（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线 按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S .
①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
③设是②中函数S的最大值，那么 = .

图8
8、（05海南中考）如图8，抛物线与轴交于
A(-1,0),B(3,0) 两点.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上
滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；
(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上
是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；
若不存在，请说明理由.
x经
y经
0经
1经
2经
3经
4经
-1经
-1经
-2经
-3经
1经
2经
A
B
C
D
图9

9、（04海口中考）如图9、已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，
求出它所对应的函数关系式；
(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧
的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，
再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.
①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，
并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.

10、（07本校模拟一）如图10，已知点A(0,8)，在
A
B
C
D
O
y
x
图10
抛物线上，以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形，
且项点B，C，D在抛物线上，AD∥x轴，点D在第一象限.
(1)求BC的长；
(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，
△DAP的面积是7.
(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，
直线OE将o ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的
坐标及直线OE的函数关系式.

11、（07本校模拟二）M
N
10米
20米
6米
5米
图11-1
图11-2
D
E
O
x
A
B
C
y
一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如
图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，
其表达式是的形式. 请根据所给的数据求出的值.
（2）求支柱MN的长度.
（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米
的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的
三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

★参考答案★

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二次函数综合题训练题型集合
1、 (1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，
∴ 4=3+m. ………………………………（1分）
∴ m=1. ………………………………（2分）
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. ………………………………（3分）
∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，
∴ 4=a(3-1)2,
∴ a=1. ………………………………（4分）
∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.
即y=x2-2x+1. ………………………………（5分）
(2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE .
∴ PE=h=yP-yE ………………………………（6分）
=(x+1)-(x2-2x+1) ………………………………（7分）
=-x2+3x. ………………………………（8分）
即h=-x2+3x (0＜x＜3). ………………………………（9分）
(3) 存在. ………………………………（10分）
解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. …………………（11分）
∵ 点D在直线y=x+1上,
∴ 点D的坐标为(1,2),
∴ -x2+3x=2 .
即x2-3x+2=0 . ………………………………（12分）
解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分）
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. ……………（14分）
解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE. ………………（11分）
设直线CE的函数关系式为y=x+b.
∵ 直线CE 经过点C(1,0),
∴ 0=1+b,
∴ b=-1 .
∴ 直线CE的函数关系式为y=x-1 .
∴ 得x2-3x+2=0. ………………………………（12分）
解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) ………………………………（13分）
∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. ……………（14分）
2、解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得
解得 ∴二次函数的表达式为．
（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入，得 ，
解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．
∴ m=6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．
3、（1）∵ 抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)，
∴ .解得 . ………（2分）
∴ 所求抛物线的函数关系式为. ………………（3分）
(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)
（2）① 过点B作BE⊥轴于E，则BE=，AE=1，AB=2.
由tan∠BAE=，得∠BAE =60°. …………（4分）

E
F
P
B
A
C
O

Q

⌒

图13
（ⅰ）当点Q在线段AB上运动，即0＜≤2时，QA=t，PA=4-.
过点Q作QF⊥轴于F，则QF=，
∴ S=PA·QF

. ……（6分）
（ⅱ）当点Q在线段BC上运动，即2≤＜4时，Q点的纵坐标为，PA=4-.
这时，S=. ……………………（8分）
②（ⅰ）当0＜≤2时，.
∵ ，∴ 当=2时，S有最大值，最大值S=. ……（9分）
（ⅱ）当2≤＜4时，
∵ ， ∴ S随着的增大而减小.
∴ 当=2时，S有最大值，最大值.
综合（ⅰ）（ⅱ），当=2时，S有最大值，最大值为.
△PQA是等边三角形.
③ 存在.
当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA，即4-=2，∴ .
∴ P、Q两点的坐标分别为P1(,0)，Q1(,). ……（13分）
当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-=，∴
∴ P、Q两点的坐标分别为P2(,0)，Q2(,). ………………（14分）
(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)
4、（1）由图象可知公司从第4个月末以后开始扭亏为盈. ………………………（1分）
（2）由图象可知其顶点坐标为(2,-2)，
故可设其函数关系式为：y=a(t-2)2-2. …………（2分
∵ 所求函数关系式的图象过(0,0)，于是得
a(t-2)2-2=0，解得a= . ……（4分）
∴ 所求函数关系式为：S=t-2)2-2或S=t2-2t. …………（6分）
（3）把S=30代入S=t-2)2-2，得t-2)2-2=30. …………（7分）
解得t1=10，t2=-6（舍去）. ……………………（8分）
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元. ………………………（9分）
（4）把t=7代入关系式，得S=×72-2×7=10.5 ……………………………（10分）
把t=8代入关系式，得S=×82-2×8=16
16-10.5=5.5 …………（11
答：第8个月公司所获利是5.5万元. ………………………………（12分）

E
O

1
D
B
A
C
P
5、（1）∵ 抛物线顶点为F（1,0）
∴ ………（1分）
∵ 该抛线经过点E（0,1）
∴
∴
∴ ，
即所求抛物线的函数关系式为. ………（3分）
（2① ∵ A点的坐标为（,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上，
∴ B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2). …（5分）
∴ .………（7分）
② . ………（8分）
∴ 当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16， ………（9分）
此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形. ………（10分）
③ 当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD上存在点P, 使得ΔPAE的周长最小. ………（11分）
∵AE=4（定值），
∴要使ΔPAE的周长最小，只需PA+PE最小.
∵此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,
∴由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.
∵点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）
∴直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2.
∴ P(,) ………（13分）
在Rt△CEB中，CE=,
∴ △PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+. ………（14分）
6、解：（1）令y=0，解得或（1分）
∴A（－1，0）B（3，0）；（1分）
将C点的横坐标x=2代入得y=－3，∴C（2，－3）（1分）
∴直线AC的函数解析式是y=－x－1
（2）设P点的横坐标为x（－1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，－x－1），（1分）
E（（1分）
∵P点在E点的上方，PE=（2分）
∴当时，PE的最大值=（1分）
（3）存在4个这样的点F，分别是
7、解：（1）令，则
令则.∴、
∵二次函数的图象过点，
∴可设二次函数的关系式为
┄1分
又∵该函数图象过点、
∴┄2分
解之，得，
∴所求二次函数的关系式为 ┄3分
（2）∵
=

∴顶点M的坐标为 ┄4分
过点M作MF轴于F
∴
=
∴四边形AOCM的面积为10 ┄6分
（3）①不存在DE∥OC ┄7分
∵若DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时 12，不满足1C. ┄9分
②根据题意得D、E两点相遇的时间为
（秒） ┄10分
现分情况讨论如下：
ⅰ当0 <≤ 1时，；
┄11分
ⅱ当1<≤2时，设点E的坐标为
∴，∴
∴ ┄12分
ⅲ当2 <<时，设点E的坐标为，类似ⅱ可得
设点D的坐标为

∴，
∴
∴

= ┄13分
③ ┄14分
10、（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC.
∵A(0,8),
∴设D点坐标为(x1,8), 代入中， 得x1=±4.
又∵D点在第一象限，
A
B
C
D
O
y
x
E
∴ x1=4，∴ BC=4.
（2）∵C(2,2)，D(4,8)，
∴直线CD的函数关系式为y=3x-4.
设点P在线段CD上，P(x2,y2)，
∴y2=3x2-4.
∵AD=BC=4,
∴×4(8-y2)=7， ∴y2=.
∴3x2-4=， ∴x2=. ∴P(,),
即当点P在(,)的位置时，△DAP的面积是7.
（3）连接AC，当点E运动到AC的中点（或AC与BD的交点）时，即E点为o ABCD
的中心，其坐标为E（1,5）,直线OE将o ABCD分成面积相等的两部分.
设直线OE的函数关系式为y=kx,
∴k=5，∴直线OE的函数关系式为y=5x.
11、(1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
G
H
图12-2
D
E
O
x
A
B
C
y
将B、C的坐标代入，得
解得.
∴抛物线的表达式是.
(2) 可设N(5,)，
于是.
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.
(3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，
则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则.
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

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