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二次函数综合专题训练
二次函数综合专题训练
1。1因动点产生的线段和差问题
1。在坐标平面xoy内,Rt△BOC如图放置在坐标平面内，已知如图，tan∠CBO=2，将Rt△BOC绕直角顶点O顺时针旋转90°得到△EOA．抛物线y=ax2+bx+2经过A，B,C三点。
（1） 求抛物线的解析式;
（2） 设点P在坐标轴上，△PAE为等腰三角形,写出点P的坐标。
（3） 在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使|MB—MC|最大？
（4） 在抛物线上是否存在点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

2．2012•恩施州)如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c及一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点,及y轴交于点N．其顶点为D．
(1）抛物线及直线AC的函数关系式；
(2）设点M（3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴及直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B，D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
(4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1.2 因动点产生的特殊三角形问题
3。 如图,在平面直角坐标xOy中，正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．
(1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；（4分)
（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F,边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不及点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF= DG能成立吗？请说明理由；（4分）
（3）过（2)中的点F的直线交射线CB于点P,交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形,求Q点的坐标．(4分）

4。如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3,0），B（1。0），C（0， 3）。
(1）求抛物线的解析式;
（2)若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

5．如图，已知抛物线y=x2+bx+c及x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），及y轴交于点C(0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC及抛物线的对称轴交于点D。
（1）求抛物线的函数表达式;（2)求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上的一动点，CE的垂直平分线交CE于
点F,交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限。
①当线段时，求tan∠CED的值；
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.

备用图

1.3 因动点产生的特殊四边形问题
6． （2014恩施)已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中,如图14,点，．把矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点，、相交于点．(1）求的长； （2）求直线的函数解析式及点的坐标；
（3)求经过点、、抛物线的解析式；

（4）过点作x轴的垂线，交直线于点，点是抛物线上的任意一点，过点作轴的垂线，交直线于点．在抛物线上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

7。如图所示，在平面直角坐标系中,矩形的边在轴的
负半轴上，边在轴的正半轴上,且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点．
（1）判断点是否在轴上，并说明理由;
（2）求抛物线的函数表达式；
y
x
O

D
E
C
F
A
B
(3）在轴的上方是否存在点，点,使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上若存在，请求出点，点的坐标;若不存在，请说明理由．

8.

9． 如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E,它的对称轴及x轴交于点D．直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2,m）且及y轴交于点C，及抛物线的对称轴交于点F．
(1）求m的值及该抛物线对应的解析式；（4分）
（2)P（x，y）是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；（4分）
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由。（4分）

备用图

1.4 因动点产生的相似三角形问题
10.如图，抛物线的顶点为D（﹣1，4）,及轴交于点C（0，3），及轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。
（1)求抛物线的解析式;
（2)连接AC，CD,AD试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线上，EF⊥x轴于点F，以A、E、F为顶点的三角形及△ACD相似，试求出所有满足条件的点E的坐标。

11．(2013恩施)如图所示,直线l：y=3x+3及x轴交于点A，及y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式．
(2）若BD及抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形及△MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6?若存在，求出点P的坐标;若不存在，说明理由．

12。如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C(0,1），顶点为Q（2,3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1)求直线CD的解析式；(2）求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线及抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点,问：在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

1.5 因动点产生的面积问题
13. 如图，OA=1,tan∠CAO=3，将⊿AOC绕坐标原点O顺时针旋转90°，点C落到x轴上点B的位置.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连结BC，及抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
① 用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?
②设△BCF的面积为S，求S及m的函数关系．

14.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象及x轴的一个交点为B（5，0)，另一个交点为A，且及y轴交于点C（0，5）．
（1)求直线BC及抛物线的解析式;
(2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
(3）在（2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

15。 如图，把两个全等的Rt△ABO和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OC在x轴上。已知点A（1，2），抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过D、A、C三点.
（1）求该抛物线的函数解析式;
（2）点P为射线CD上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,若以点O， D, M, P为顶点的四边形是平行四边形,求出此时点P的坐标；
（3）将△COD沿CA方向平移,点C的对应点为C¢，且点C¢ 始终在线段CA上，设C¢ 的横坐标为t, △COD在平移过程中及△AOB重叠部分记为S， 试求S及t的函数关系式.

16。如图，抛物线及x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上一动点。
(1）求点A的坐标；
（2)以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x，当时，求x的取值范围。

【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时,x<0、 ②当点P在第四象限是，x>0这二种情况。
（1）∵
∴A（—2，-4）
（2)四边形ABP1O为菱形时,P1（-2,4）
四边形ABOP2为等腰梯形时，P1（)
四边形ABP3O为直角梯形时，P1()
四边形ABOP4为直角梯形时，P1（)
(3）

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x—8，所以直线的函数关系式是y=-2x
①当点P在第二象限时，x<0，
△POB的面积
∵△AOB的面积，
∴
∵，
∴
即 ∴
∴x的取值范围是
②当点P在第四象限是，x〉0，
过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′
则四边形POA′A的面积

∵△AA′B的面积
∴
∵，
∴ 即 ∴
∴x的取值范围是

（1） 点在轴上
（2）
理由如下：
连接，如图所示,在中，,，
，
y
x
O

D
E
C
F
A
B
由题意可知：

点在轴上,点在轴上．
(2）过点作轴于点
，
在中,,
点在第一象限，
点的坐标为
由(1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为
抛物线经过点，

由题意，将,代入中得
解得
所求抛物线表达式为：（3)存在符合条件的点，点． 10分
理由如下:矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2
依题意设点的坐标为
点在抛物线上

解得，,
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
y
x
O
D
E
C
F
A
B
M
,，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，．

【答案】(1）由题意得 ，解得：,
∴解析式的解析式为：。

(3）设E，分两种情况讨论：

①若△AFE∽△ACD，如图1,则,即，
整理,得，解得（及点A重合,舍去）,
当时，。
∴此时,点E的坐标为.

【考点】二次函数综合题，二次函数顶点，直角三角形的判定，勾股定理和逆定理,相似三角形的性质,解一元二次方程,分类思想的应用。

14.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3,0），B（1.0），C(0, 3).
（1）求抛物线的解析式；
（2)若点P为抛物线在第二象限上的一点,设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B(1，0），
∴可设抛物线的解析式为：，
将C点坐标（0， 3）代入，得:，解得 。
∴抛物线的解析式为：，即。

∴PN=PE﹣NE=（）﹣(）=﹣x2﹣3x。
∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，
∴。
∴当x= 时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）。
(3）在y轴上存在点M，能够使得△ADE是等腰直角三角形。理由如下：
∵，∴顶点D的坐标为（﹣1， 4）。

【考点】二次函数综合题,待定系数法的应用，曲线上点的坐标及方程的关系,由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理和逆定理。

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