二次函数图像对称变换前后系数的关系专题.doc

二次函数图像对称变换前后系数的关系
课时学习目标:
1.能熟练根据二次函数的解析式的系数确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性区域。
2.会根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上描述出函数的一些性质。
3.能说出抛物线y=ax2+bx+c，关于x轴、y轴对称变换后的解析式、关于坐标原点对称变换前后的解析式系数变化规律，能根据系数变化规律，熟练写出函数图像对称变换后解析式。
学习重点：
利用函数的图像，观察认识函数的性质，结合解析式，认识a、b、c、的取值，对图像特征的影响。。
学习难点：利用图像认识总结函数性质变化规律。
一、复习预备
1.抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____时， y随着x的增大而增大； 在 侧，即x_____时, y随着x的增大而减小；当x= 时，函数y最 值是 。
2.抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____时， y随着x的增大而增大； 在 侧，即x_____时, y随着x的增大而减小；当x= 时，函数y最 值是____ 。
3.已知函数y= x2 -2x -3 ,
(1)把它写成的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；
(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；
(4)画出函数图象的草图；
(5)设图像交x轴于A、B两点，交y 轴于P点，求△APB的面积；
(6)根据图象草图，说出 x取哪些值时， ① y=0; ② y<0; ③ y>0.

4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图—2所示，则：a 0; b 0;c 0; 0。
例3：已知二次函数的图像如图—3所示，下列结论：
(1)a+b+c﹤0， (2)a-b+c﹥0， (3)abc ﹥0， (4)b2a
其中正确的结论的个数是（ ）A.1个，B.2个，C.3个，D.4个.

二、归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
与系数a、b、c、的关系
系数的符号
图像特征
a的符号决定开口方向
a>0.
抛物线开口向
a<0
抛物线开口向
a、b的符号决定对称轴方位
ab>0，同号
抛物线对称轴在y 轴的 侧
ab=0，b=0
抛物线对称轴在
ab<0，异号
抛物线对称轴在y 轴的 侧
c的符号决定y轴交点方位
c>0.
抛物线与y轴交于
C=0
抛物线与y轴交于
c<0
抛物线与y轴交于
的符号决定与x轴交点个数
>0.
抛物线与x 轴有 个交点
=0
抛物线与x 轴有 个交点
<0
抛物线与x 轴有 个交点

三、二次函数图像对称变换前后系数的关系探究
例1. 某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于y轴成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例2. 某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于x轴成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例3.某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于原点成中心对称，请你求出该抛物线的关系式。

例4.某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于顶点坐标成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例5.某抛物线和函数y= -x2 +2x -3的图象关于点（3,2）成中心对称, 请你求出该抛物线的关系式。

函数y= ax2 +bx+c的图象对称变换后，解析式系数变化规律：
变换形式
图像关系
系数关系
原 因
关于轴x轴对称变换

a
系数a互为相反数
开口方向相反
b
系数b互为相反数
值不变，a、b同变
c
系数c互为相反数
两交点关于x轴对称的点
关于轴y轴对称变换

a
系数a不变
开口方向相同
b
系数b互为相反数
变号，a不变b变
c
系数c不变
两交点重合
关于原定中心对称变换

a
系数a互为相反数
开口方向相反
b
系数b不变
变号，a变号b不变
c
系数c互为相反数
两交点关于x轴对称的点

四、达标检测
1. 二次函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点A(a,b)在( )
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.二次函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列条件不正确的是( )
A.a<0,b>0,c<0 B.b2-4ac<0 C.a+b+c<0 D.a-b+c>0

(1)
(2)
y
x
y
x

3.二次函数y= 6x2 +7x -3的图象关于x轴对称的图象解析式为___________,
关于y轴对称的图象解析式为________________,关于坐标原点对称的解析式___________________.

二次函数图象变换规律
一、二次函数图象的平移变换
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点，然后做出二次函数的图像，将抛物线平移，使其顶点平移到.具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”.

二、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
无论抛物线作何种对称变换，形状不变，不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，先确定已知抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，再写出其对称抛物线的表达式．
【习题分类】
一、二次函数图象的平移变换
1、函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）
右移两个单位，下移一个单位 右移两个单位，上移一个单位
左移两个单位，下移一个单位 左移两个单位，上移一个单位
2、函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤
是（　 ）
右移三个单位，下移四个单位 右移三个单位，上移四个单位
左移三个单位，下移四个单位 左移四个单位，上移四个单位
3、二次函数的图象如何移动就得到的图象（ ）
向左移动个单位，向上移动个单位. 向右移动个单位，向上移动个单位.
向左移动个单位，向下移动个单位. 向右移动个单位，向下移动个单位.
4、将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5、把抛物线的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得的图象的解析式是，则________________．
6、对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7、把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为( )
A． B． C． D．
8、将抛物线向下平移个单位，得到的抛物线是（　　）
A． B． C． D．
9、将抛物线向上平移个单位，得到抛物线的解析式是（ ）

10、一抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后得抛物线，则平移前抛物线的解析式为________________．
11、如图，中，，点的坐标是，，以点为顶点的抛物线 经过轴上的点，．
⑴ 求点，，的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式．

12、抛物线与轴相交于点，且过点．
⑴ 求的值和该抛物线顶点的坐标．
⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
二、二次函数图象的对称变换

1、函数与的图象关于______________对称，也可以认为是函数的图象绕__________旋转得到．
2、已知二次函数，求：
⑴关于轴对称的二次函数解析式；
⑵关于轴对称的二次函数解析式；
⑶关于原点对称的二次函数解析式．

3、在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．　 　B．
C．　 　D．
4、已知二次函数的图象是．
⑴ 求关于成中心对称的图象的函数解析式；
⑵ 设曲线与轴的交点分别为，当时，求的值．

5、已知抛物线，求
⑴ 关于轴对称的抛物线的表达式；
⑵ 关于轴对称的抛物线的表达式；
⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．

6、设曲线为函数的图象，关于轴对称的曲线为，
关于轴对称的曲线为，则曲线的函数解析式为_．

7、对于任意两个二次函数：，当时，
我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有，，记过三点的二次函数抛物线为“”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．

⑴ 若已知，（图1），请通过计算判断与是否为全等抛物线；
⑵ 在图2中，以三点为顶点，画出平行四边形．
① 若已知，求抛物线的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与全等的抛物线解析式．
② 若已知，当满足什么条件时，存在抛物线？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“”；若不存在，请说明理由．

8、已知：抛物线．　试写出把抛物线向左平行移动个单位后，所得的新抛物线的解析式；以及关于轴对称的曲线的解析式．画出和的略图，
并求：
⑴ 的值什么范围，抛物线和都是下降的；
⑵ 的值在什么范围，曲线和围成一个封闭图形；
⑶ 求在和围成封闭图形上，平行于轴的线段的长度的最大值．

二次函数图形变换综合压轴题
1、在平面直角坐标系中，抛物线（m≠0）与x轴交于A（3,0），B两点.
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标.
（2）当-2＜x＜3时的函数图像记为G，求此时函数y的取值范围.
（3）在（2）的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b（k≠0）与图像M在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b的取值范围.

2、已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于轴左侧的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G．当直线与图象G有3个公共点时，请你直接写出的取值范围.

3、已知：抛物线C1：的顶点为P,与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是１
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C2的顶点为M，当点P，M关于点B成中心对称时，求平移后的抛物线C2的解析式；
（3）直线y=-x+m与抛物线C1,C2的对称轴分别交于点E,F，设由点E，P，F，M构成的四边形的面积为S，试用含m的代数式表示S。

4、 将抛物线沿c1：沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c2的表达式．
（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

5、将抛物线沿c1：沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c2的表达式．
（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．