二次函数必背知识点精辟).pdf

适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！1二次函数必背知识点二次函数必背知识点 冲刺中考冲刺中考1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.cbacbxaxy,(2)0ayx2.二次函数的性质2axy（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.2axy y（2）函数的图像与的符号关系.2axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；0a当时抛物线开口向下顶点为其最高点.0a（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.y2axy）（0a3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.cbxaxy2y4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中cbxaxy2khxay2.abackabh4422，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；2axy kaxy2；.2hxaykhxay2cbxaxy26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；a0a0a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.yhx y0 x7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开a口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，顶点是，对称轴是abacabxacbxaxy442222）abacab4422直线.abx2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到khxay2适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！2顶点为(,)，对称轴是直线.h khx （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用cbxaxy2cba,（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.a2axy a（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy2，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称abx20by0abab轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧.y0ababy（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.ccbxaxy2y 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：0 xcy cbxaxy2yc ，抛物线经过原点;,与轴交于正半轴；,与轴交于负0c0cy0cy半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 y.0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy（轴）0 xy（0,0）kaxy2（轴）0 xy(0,)k2hxayhx(,0)hkhxay2hx(,)h kcbxaxy2当时0a开口向上当时0a开口向下abx2()abacab4422，11.用待定系数法求二次函数的解析式适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！3（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般cbxaxy2xy式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.khxay2（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：x1x2x.21xxxxay12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0,).ycbxaxy2c（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,yhx cbxaxy2h).cbhah2（3）抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元cbxaxy2x1x2x二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一02cbxaxx元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；0 x 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；x0 x 没有交点抛物线与轴相离.0 x （4）平行于轴的直线与抛物线的交点x 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.kkcbxax2 （5）一次函数的图像 与二次函数的图像0knkxyl02acbxaxy的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同Gcbxaxynkxy2的解时与有两个交点;方程组只有一组解时与只有一个交点；lGlG方程组无解时与没有交点.lG （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为xcbxaxy2x适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！4，由于、是方程的两个根，故0021，xBxA1x2x02cbxaxacxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121考点一、考点一、二次函数的概念和图像二次函数的概念和图像 （38 分）分）1、二次函数的概念一般地，如果，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。)02acbacbxaxy是常数，2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：cbxaxy2当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、考点二、二次函数的解析式二次函数的解析式 （1016 分）分）二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线与 x 轴有交点时，即对应二次好方程cbxaxy2有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式02cbxax1x2x，二次函数可转化为两根式)(212xxxxacbxaxcbxaxy2适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！5。如果没有交点，则不能这样表示。)(21xxxxay考点三考点三、二次函数的最值、二次函数的最值 （10 分）分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。abx2abacy442最值如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围21xxxab2内，若在此范围内，则当 x=时，；若不在此范围内，21xxxab2abacy442最值则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，21xxx则当时，当时，；如果在此范2xx cbxaxy222最大1xx cbxaxy121最小围内，y 随 x 的增大而减小，则当时，当时1xx cbxaxy121最大2xx。cbxaxy222最小考点四、考点四、二次函数的性质二次函数的性质 （614 分）分）1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，a0a0图像 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是（，ab2ab2）；abac442（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=，顶点坐标是ab2（，）；ab2abac442适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！6（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x=时，y 有最ab2小值，abacy442最小值（3）在对称轴的左侧，即当 x时，y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最ab2大值，abacy442最大值2、二次函数中，的含义：表示)0,(2acbacbxaxy是常数，cb、aa开口方向：0 时，抛物线开口向上，0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小yxxhy值k0a 向下hk，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大yxxhy值k适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！12 2.平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk概括成八个字“同左上加，异右下减”三、二次函数三、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成2245yxx2yaxbxc。2ya xhk总结：总结：从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过2ya xhk2yaxbxc配方可以得到前者，即者，即，其中，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，四、二次函数四、二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确2yaxbxc2()ya xhk定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点y0c，0c，、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴2hc，x10 x，20 x，x对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！13五、二次函数五、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2bxa yx2bxa yx时，有最小值2bxa y244acba 2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当0a 2bxa 2424bacbaa，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2bxa yx2bxa yx2bxa 有最大值y244acba六、二次函数解析式的表示方法六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：（，为常数，）；2()ya xhkahk0a 3两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以x240bac用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越0a aa大；当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a aa大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决小决aaa适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！14定开口的大小定开口的大小2.一次项系数一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；ab 同号同左上加0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的右侧a,b 异号异右下减0b 02bay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；a,b 异号异右下减0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的左侧ab 同号同左上加0b 02bay总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置ab总结：同左上加 异右下减 3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于轴对称x 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcx2yaxbxc 适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！15关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhkx2ya xhk 2.关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcy2yaxbxc关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhky2ya xhk 3.关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是；2ya xhk2ya xhk 4.关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc222byaxbxca 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk2ya xhk 5.关于点对称 mn，关于点对称后，得到的解析式是2ya xhkmn，222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择a合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：x一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20axbxc2yaxbxc0y 图象与轴的交点个数：x 当时，图象与轴交于两点，其中的240bac x1200A xB x，12()xx是一元二次方程的两根这两点间的距离12xx，200axbxca.2214bacABxxa 当时，图象与轴只有一个交点；0 x 当时，图象与轴没有交点0 x 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；10a xx0y 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 20a xx0y 适合任何版本的数学教材，希望能帮到你。相信你会成功。加油！162.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；2yaxbxcy(0)c3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中2yaxbxcabc，的符号判断图象的位置，要数形结合；abc 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.x 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所2(0)axbxc a含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之x0a 间的内在联系：图像参考：0 抛物线与轴x有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0 抛物线与轴x只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0 抛物线与轴x无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2x2y=-x2y=-x22y=x22y=2x2y=x2